數(shù)字信號(hào)處理ch

1、l5.1 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)l5.2 線性常系數(shù)差分方程LTI系統(tǒng)l5.3 有理系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應(yīng)l5.4 有理函數(shù)系統(tǒng)幅度與相位間關(guān)系l5.5 全通系統(tǒng)l5.6 最小相位系統(tǒng)l5.7 廣義線性相位LTI系統(tǒng) yn=hn*xnY(ej)=H(ej)X(ej) Y(z)=H(z)X(z)在頻域中分析，按復(fù)平面極坐標(biāo)分解為：H(ej) = |H(ej)|ejH(ej) 幅頻特性： |Y(ej)|=|H(ej)| |X(ej)| 對(duì)數(shù)表達(dá)：10log10(功率譜)=10log10 |H(ej)|2(dB分貝)20log10|Y(ej)| = 20log10|H(ej)| + 20log10|X(e

2、j)| 相頻特性：Y(ej) = H(ej) + X(ej) l一般表達(dá)：H(ej)l相角主值：- ARGH(ej)l連續(xù)相角：argH(ej) H(ej)=ARGH(ej)+2r()理想延時(shí)系統(tǒng)：yn=xn-F H(ej)=e-j幅頻|H(ej)|=1，相頻H(ej)=-1.該系統(tǒng)不改變信號(hào)幅頻特性，相頻線性失真2.相位線性改變，對(duì)應(yīng)信號(hào)延時(shí)，時(shí)域波形不變，數(shù)字通信等很需要該特性3.理想幅頻系統(tǒng)與延時(shí)系統(tǒng)串聯(lián)得線性相位系統(tǒng)l幅頻：理想直流與門(mén)函數(shù)之差l相頻：線性相位理想延時(shí)系統(tǒng)|0)(0ccnjjhpeeH)()(sin000nnnnnnnhchpl定義：l實(shí)際系統(tǒng)可分解為幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)

3、，而相頻響應(yīng)的線性度成為衡量相位失真的指標(biāo)l群延遲的數(shù)學(xué)意義：=0的信號(hào)分量通過(guò)系統(tǒng)后延時(shí)為grdH(ej)|= 0l對(duì)線性相位系統(tǒng)，grd為常數(shù)，所有頻率分量延時(shí)相同，相當(dāng)于信號(hào)整體延時(shí)grddeHdeHgrdjj)(arg)(. 7包絡(luò)中心/角頻率：30/0.85，110/0.25，170/0.5角頻率: 0.25 0.5 0.85 群延時(shí)(樣本數(shù)): 210 60 50衰減（dB）: 0 0 100后發(fā)先至!lH(z)與差分方程之間可直接互換，且H(z)為有理函數(shù)多項(xiàng)式之比的形式425 . 03 125 . 012)(.0, 0,)()()(42310000nynynxnxnxnyzzz

4、zzHgekhbkforaFIRforzazbzXzYzHknxbknyakkNkkkMkkkNkMkkkyn-2.5yn-1+yn-2=xnH(z)=1/(1-2.5z-1+z-2) =1/(1-0.5z-1)(1-2z-1) 有三種收斂域l穩(wěn)定：ROC包含單位圓l因果：ROC為最外極點(diǎn)之外l穩(wěn)定、因果LTI系統(tǒng)必要條件：所有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)取脈沖輸入：xn=an初始松弛：yn=0，當(dāng)n|a|穩(wěn)定：|a|1lhn為階躍函數(shù)有無(wú)限多項(xiàng)，故為IIR將上例IIR的hn截?cái)嗟肍IR：hn = akn-kH(z) = akz-k =(1-aM+1z-(M+1)/(1-az-1)yn = akxn-k

5、或 yn-ayn-1=xn- aM+1xn-M-1lROC為全z平面，因果穩(wěn)定不再要求限定alH(z)也可表現(xiàn)為多項(xiàng)式之比，非坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)被零點(diǎn)抵消。FIR也可用遞推實(shí)現(xiàn)。425 . 03 125 . 012)(.0, 0,)()()(42310000nynynxnxnxnyzzzzzHgekhbkforaFIRforzazbzXzYzHknxbknyakkNkkkMkkkNkMkkk425 . 03 125 . 012)(.0, 0,)()()(42310000nynynxnxnxnyzzzzzHgekhbkforaFIRforzazbzXzYzHknxbknyakkNkkkMkkkNkM

6、kkk425 . 03 125 . 012)(.0, 0,)()()(42310000nynynxnxnxnyzzzzzHgekhbkforaFIRforzazbzXzYzHknxbknyakkNkkkMkkkNkMkkkH(ej)=(b0/a0) (1-cke-j)/ (1-dke-j)幅頻：20lg|H(ej)|=20lg|b0/a0|+ 20lg|1-cke-j|- 20lg|1-dke-j|相頻：H(ej) =(b0/a0)+ (1-cke-j)- (1-dke-j)群延遲：gndH(ej) = gnd(1-cke-j)- gnd(1-dke-j)l系統(tǒng)頻響的三種參數(shù)都由和式構(gòu)成l極點(diǎn)

7、或零點(diǎn)在和式中占一項(xiàng)，表達(dá)相似，符號(hào)相反)(| argargarg)(arg| )(| )(|1111MNdeceBeHdeceBzHeHNkkjMkkjjNkkjMkkjezjj)(| argargarg)(arg| )(| )(|1111MNdeceBeHdeceBzHeHNkkjMkkjjNkkjMkkjezjj)(| argargarg)(arg| )(| )(|1111MNdeceBeHdeceBzHeHNkkjMkkjjNkkjMkkjezjj)(| argargarg)(arg| )(| )(|1111MNdeceBeHdeceBzHeHNkkjMkkjjNkkjMkkjezjj

8、)(| argargarg)(arg| )(| )(|1111MNdeceBeHdeceBzHeHNkkjMkkjjNkkjMkkjezjj)(| argargarg)(arg| )(| )(|1111MNdeceBeHdeceBzHeHNkkjMkkjjNkkjMkkjezjj)(| argargarg)(arg| )(| )(|1111MNdeceBeHdeceBzHeHNkkjMkkjjNkkjMkkjezjj)(| argargarg)(arg| )(| )(|1111MNdeceBeHdeceBzHeHNkkjMkkjjNkkjMkkjezjj設(shè)零點(diǎn)極坐標(biāo)表達(dá)為：zo= rej單零點(diǎn)

9、的頻率響應(yīng)：Hs(ej) = 1 - reje-j = 1 r cos(-) + jr sin(-)幅頻：20lg|Hs(ej)| =10lg1 + r2 - 2rcos(-) 相頻：ARGHs(ej) = arctgr sin(-)/(1rcos(-) )群延遲：gnd Hs(ej) = r2 - r cos(-)/1 + r2 - 2rcos(-)l零點(diǎn)r=0.9, =0, /2, l都為(-)的函數(shù)，改變僅使圖形平移，形狀不變l在=處出現(xiàn)大的特性變化：幅頻：陷波相頻：非線性群延遲：負(fù)峰值l零點(diǎn)= ,r=0.5, 0.7, 0.9, 1lr趨近1時(shí)，零點(diǎn)接近單位圓，特性變化最為劇烈：幅頻：

10、陷波至0(對(duì)數(shù)負(fù)無(wú)窮)相頻： 突變?nèi)貉舆t：不連續(xù)間斷點(diǎn)l零點(diǎn)= ,r=1/0.9, 1.25, 2.0lr在單位圓外，r加大時(shí)：幅頻：陷波變緩相頻： 2突變?nèi)貉舆t：正峰值l-=時(shí)：幅頻最大值=20lg(1+r)l-=0：幅頻最小值=20lg|1-r|極點(diǎn)向量：v1=ej零點(diǎn)坐標(biāo)：v2=rej零點(diǎn)向量：v3=v1-v2Hs(ej) = (ej rej)/ej幅頻：|Hs(ej)| = |v1-v2| / |v1| = |v3|相頻：Hs(ej)=v3-v1=3-l頻率響應(yīng)H(ej)等效在z平面單位圓上求值l隨著的變化，向量v3在經(jīng)過(guò)單位圓上零點(diǎn)前后時(shí)方向相反，產(chǎn)生相位突變l向量v3在=前后3由正

11、變負(fù)，產(chǎn)生相位2突變l相頻響應(yīng)其實(shí)連續(xù)，主值限定引入2突變l單極點(diǎn)的分析與單零點(diǎn)相同，符號(hào)相反l為了穩(wěn)定因果，一般極點(diǎn)半徑 r1l除了常數(shù)因子，零/極點(diǎn)決定了H(z)有理函數(shù)l由H(z)可得出線性常系數(shù)差分方程l由線性常系數(shù)差分方程便可完成運(yùn)算、實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)l常數(shù)因子表征了系統(tǒng)增益，可另行考慮l最小相位系統(tǒng)，存在因果穩(wěn)定的二零點(diǎn)逆系統(tǒng)l右圖取負(fù)得逆系統(tǒng)頻率響應(yīng)l簡(jiǎn)單低通，阻帶衰減25dBl極點(diǎn)構(gòu)成通帶，零點(diǎn)構(gòu)成阻帶令：C(z)=H(z)H*(1/z*)C(ej)= H(ej) H*(ej)= |H(ej)|2l對(duì)有理函數(shù)系統(tǒng)，C(z)中零點(diǎn)ck，1/ck*，極點(diǎn)dk，1/dk*以共軛倒數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，

12、單位圓內(nèi)、圓外對(duì)應(yīng)，一個(gè)與H(z)相關(guān)，另一個(gè)與H*(1/z*)相關(guān)。由 |H(ej)| |H(ej)|2 C(ej) C(z)l由C(z)確定H(z)時(shí)有非唯一但有限種選擇，幅頻相同但相頻不同l穩(wěn)定因果：極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)l最小相位：零/極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)l線性常系數(shù)差分方程中系數(shù)為實(shí)數(shù)：零/極點(diǎn)分布關(guān)于實(shí)軸上下對(duì)稱(chēng)因果穩(wěn)定：極點(diǎn)選p1，p2，p3實(shí)系數(shù)，上下對(duì)稱(chēng)，零點(diǎn)有四種選擇： z1，z2，z6或 z4，z5，z3或 z4，z5，z6或 z1，z2，z3 (最小相位)全通因子：Hap(z)=(z-1-a*)/(1-az-1)l極點(diǎn)a，零點(diǎn)1/a*，共軛倒數(shù)成對(duì)幅頻：l注意：零點(diǎn)因式(z-1-

13、a*)的格式相頻：Hap(ej)=-2arctgr sin(-)/(1rcos(-) )群延遲：grdHap(ej) = (1-r2) / |1 - reje-j|2l性質(zhì)1：因果穩(wěn)定全通系統(tǒng) r1，群延遲恒為正11)1 (111| )(|1)(*1*1jjjjjjjjjaeeaeaeeaeaeaeeHazazzH一般實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)：l復(fù)極點(diǎn)共軛成對(duì)，系統(tǒng)響應(yīng)共軛對(duì)稱(chēng)，零極點(diǎn)圖也關(guān)于實(shí)軸上下對(duì)稱(chēng)l零點(diǎn)與極點(diǎn)共軛倒數(shù)lHap(ej0) = 0crMkkkkkMkkkapzeezzeezzddzAzH11*11*1111111)(由性質(zhì)1可得全通系統(tǒng)相頻函數(shù)斜率恒為負(fù)，且Hap(ej0) = 0，

14、得：l性質(zhì)2：連續(xù)相位非正值argHap(ej)0，0l去除主值限定產(chǎn)生的2跳變，連續(xù)相位非正值依然成立l應(yīng)用：相位、群延遲補(bǔ)償l每一個(gè)全通因子產(chǎn)生一個(gè)群延遲的正峰值，極點(diǎn)越接近單位圓，峰值越高l定義：所有零/極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)l已知應(yīng)用：穩(wěn)定因果，且存在逆系統(tǒng)也穩(wěn)定因果l廣義定義：?jiǎn)挝粓A上也可以有零點(diǎn)，后述最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)依然成立l定義：任何有理函數(shù)系統(tǒng)H(z)能分解為最小相位系統(tǒng)Hmin(z)與全通系統(tǒng)Hap(z)的串聯(lián)：H(z) = Hmin(z) Hap(z)l證明：在H(z)單位圓外零點(diǎn)共軛倒數(shù)位置（一定在單位圓內(nèi)）補(bǔ)一對(duì)作用抵消的零/極點(diǎn)，新零點(diǎn)歸Hmin(z)，新極點(diǎn)與原零點(diǎn)構(gòu)成

15、Hap(z)l注意：|H(z)| = |Hmin(z)| lH(z)與Hap(z)僅限穩(wěn)定不限因果時(shí)，圓外極點(diǎn)一樣處理，全通分解同樣成立+3,-3兩個(gè)單位圓外零點(diǎn)兩個(gè)單位圓外零點(diǎn)注意：零點(diǎn)因子的格式注意：零點(diǎn)因子的格式)81. 01 ()911)(2 . 01 (9)()911 ()9/1()()911 ()911 ()9/1(9)81. 01 ()2 . 01 ()(:)81. 01 ()91)(2 . 01 ()(.221min2222221221zzzzHzzzHzzzzzzHsolutionzzzzHgeap失真系統(tǒng)：Hd(z)= Hdmin(z) Hap(z)Hdmin(z)存在穩(wěn)定

16、因果的逆系統(tǒng) Hc(z)=1/ Hdmin(z)級(jí)聯(lián)結(jié)果：G(z)= Hd(z) Hc(z)= Hap(z)幅頻完全恢復(fù)，相頻仍有Hap(ej)的失真FIR系統(tǒng)，有2零點(diǎn)在單位圓外，自身無(wú)法求出穩(wěn)定因果的逆系統(tǒng)原失真系統(tǒng) 被補(bǔ)償?shù)淖钚∠辔幌到y(tǒng) 殘余的全通系統(tǒng)x4原失真系統(tǒng) 被補(bǔ)償?shù)淖钚∠辔幌到y(tǒng) 殘余的全通系統(tǒng)在所有幅頻特性相同， |H(z)| = |Hmin(z)|的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)具有：l最小相位滯后-argHmin(ej) -argH(ej)argH(ej) = argHmin(ej)+argHap(ej)注意全通相位的非正值性：argHap(ej)0l最小群延時(shí)gndHmin(ej)

17、 gndH(ej)grdH(ej) = grdHmin(ej)+grdHap(ej)注意全通群延時(shí)的正值性：gndHap(ej)0l最小能量延遲定義部分能量：則：Eminn En 對(duì)全部 n0 成立n=0時(shí)： Emin0=|hmin0|2 En =|h0|2即： |hmin0| |h0|n=時(shí)為全部能量，有:E = Emin = 02min02| | |nnnhnhnmmhnE02| |四種相同幅頻響應(yīng)的FIR系統(tǒng)全部零點(diǎn)都在單位圓外的稱(chēng)最大相位系統(tǒng)，具有最大能量延遲。最小與最大相位系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)完全倒序。l非線性相位(包括全通)系統(tǒng)會(huì)對(duì)信號(hào)波形產(chǎn)生失真l線性相位系統(tǒng)定義： H(ej) = |

18、H(ej)|e-j，|H(ej)= -grdH(ej)= l該定義事實(shí)上就是理想延時(shí)系統(tǒng)l=5，4.5，4.3時(shí)的延時(shí)l注意：當(dāng)2為整數(shù)時(shí)，以為中心偶對(duì)稱(chēng)，有h2-n=hnl假想：對(duì)稱(chēng)的可能就是線性相位系統(tǒng)。當(dāng)然非對(duì)稱(chēng)也可以是線性相位l定義：H(ej) = A(ej)e-j+jargH(ej) = - grdH(ej)= 、為常數(shù)，A(ej)為的實(shí)函數(shù)l當(dāng)零點(diǎn)在單位圓上，A(ej)可能有正負(fù)變化，引起的相位跳變l例：TeAeTTjeHeamplejjj)(, 2/, 0,/)(:2/2)(int22/32/)2(2)(int20)1(:0)(sin0)sin()cos()cos()sin(nh

19、nhegerMornhnhegerMorisaboveequationthesatisfiesthatconditionsofsettwonnhnnnhnn對(duì)全部 必要條件！)cos()sin()cos()sin()(tanarg)sin()cos()()sin()cos()(nnhnnheHjeAeeAnnhjnnhenheHnnjjjjjnnnjnj=0 或 hn以為中心偶對(duì)稱(chēng)2 = M = 整數(shù) A(ej)為的實(shí)偶函數(shù)h2-n = hn=/2 或 3/2 hn以為中心奇對(duì)稱(chēng)2 = M = 整數(shù) A(ej)為的實(shí)奇函數(shù)h2-n = -hnl保證廣義線性相位的充分條件H(ej)=2+e-j+

20、2e-j2=(1+4cos)e-j 廣義， =1， =0H(ej)=1+3e-j+e-j2=(3+2cos)e-j狹義， =1， =0H(ej)=1+2e-j +3e-j2非線性相位H(ej) =1- e-j2 =2sin()e-j(-/2)廣義， =1， = /22 2 3 1 2 1 3 將二組特解加因果限制，得：hn=0，當(dāng) nMl偶對(duì)稱(chēng)：hn=hM-n， 0 n M hn=0， nM H(ej) = Ae(ej)e-jM/2， Ae(ej)為實(shí)偶周期函數(shù)l奇對(duì)稱(chēng)：hn= - hM-n， 0 n M hn=0， nM H(ej) = Ao(ej)e-jM/2+j/2，Ao(ej)為實(shí)奇周

21、期函數(shù)IIIIIIIVhnhn=hM-nhn= - hM-n整數(shù)M偶奇偶奇-M/2-M/2+/2群延遲M/2零點(diǎn)-111l注意：這里的M與差分方程中的一致lH(z)為z的M次多項(xiàng)式，有M個(gè)零點(diǎn); hn有M+1項(xiàng)，通過(guò)歐拉公式前后對(duì)稱(chēng)組合，可化簡(jiǎn)H(ej)lI類(lèi)： H(ej)= e-jM/2( akcosk) a0=hM/2 ak=2hM/2-k，k=1,2,M/2同理可得 II、III、IV類(lèi)相似結(jié)果MnnjjenheH0)(2/.2, 1,2/22/0:)cos(2212cos2cos 212212cos212cos212212cos212cos21)(:12/012/012/012/012

22、/12/00MkkMhkaMhawherekkaMhnMnhnMMnMhMhnMnhnMnhMhnMnhnMnheAtypeIMkMnMnMnMMnMnMnjlhn偶對(duì)稱(chēng)，M偶數(shù)，I類(lèi)lhn偶對(duì)稱(chēng)，M奇數(shù)，II類(lèi)lhn奇對(duì)稱(chēng)，M偶數(shù)，III類(lèi)lhn奇對(duì)稱(chēng)，M奇數(shù)，IV類(lèi)l平滑濾波，低性能的低通l零點(diǎn)數(shù)等于M，且零點(diǎn)在單位圓上時(shí)幅頻衰減為零l群延遲=M/2=2（常數(shù)）l平滑濾波，無(wú)高頻的低通l幅頻取絕對(duì)值，相頻跳變l群延遲=M/2=2.5l差分，高低通吃的帶通lhn實(shí)函數(shù)，H(ej)共軛對(duì)稱(chēng)l群延遲=M/2=1l差分，無(wú)直流的高通l=0時(shí)，初始相位為/2l群延遲=M/2=0.5l若z0為H(z)的零點(diǎn)，1/z0必定也是零點(diǎn)，實(shí)函