導數在高中數學中的地位及解題中的應用11

1、導數在高中數學中的地位及解題中的應用重慶師范大學涉外商貿學院 數學與應用數學（師范）2013級3班 李錦華指導老師 袁南橋中文摘要：在近幾年的高考中，對導數的考察越來越多，與導數有關的知識也成為高考考察的重要內容.導數作為選修課進入新課程，為高中階段研究函數的相關性質提供了有力工具，本文試圖以導數在函數、不等式以及切線中的應用為例，說明導數在高中數學解題中的應用分析關鍵詞：高中數學 導數 解題 應用一. 導數在高中數學中的地位1.1有利于學生更好地掌握函數思想導數在現行的高中數學教材中處于一種特殊的地位，在高中階段學習函數時，為了理解函數的性態(tài)，學生主要學習函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、

2、周期性、有界性等。我們知道，函數的這些性質都可以通過函數的圖像來反映，因而，如果能準確地作出函數的圖像，函數的性質就一目了然，函數的性態(tài)也容易掌握了。如果所涉及的函數是基本初等函數，用描點法就可以作出函數的圖像。但是，如果所涉及的函數是非基本初等函數，比如，等函數，僅用描點法就很難較為準確地作出圖像。但是，掌握了導數的知識之后，學生就可以利用函數的一階導數判定函數的單調區(qū)間、極值點、最值點；利用極限的思想找出其水平漸近線和垂直漸近線，然后再結合描點法，就能較為準確地作出函數的圖像。這樣就有利于學生更好地理解函數的性態(tài)，同時也拓寬了學生的知識。數學上的許多問題，用初等數學方法是不能解決的，或者難

3、以解決，而通過數學模型建立函數關系，利用函數思想，然后用導數來研究其性質，充分發(fā)揮導數的工具性和應用性的作用，可以輕松簡捷地獲得問題的解決.其實我們不難發(fā)現，函數是建立在中學數學知識和導數之間的一座橋梁，不管是在證明不等式，解決數列求和的有關問題，以及解決一些實際應用問題，我們都可以構造函數模型，并且利用導數，來解決相關問題.1.2有利于學生學好其他學科高中的物理、化學等課程都與數學緊密相關，我們所學的導數是微分學的核心概念，它在物理、化學、生物、天文、工程以及地質學等中都有著廣泛的應用.例如：根據做變速直線運動物體的運動方程：s=s（t），算出物體的瞬時速度：v（t）=ds/dt、瞬時加速度

4、：a（t）=d2s/dt2；對化學中的反應速度、冷卻速度等也都可以通過微積分的方法來解決了.1.3有利于發(fā)展學生的思維能力 通過學習導數把中學所學的知識全部串聯起來，讓學生成為知識的“”發(fā)現者”“探究者”和“運用者”，一真正發(fā)展學生的各項科學素質，培養(yǎng)學生的各項能力，為學生的終身發(fā)展和個性發(fā)展，科學世界觀和科學價值的形成打下基礎.二. 導數在高中數學解題中的應用2.1導數在研究函數的極值和最值的應用1.函數的最值與極值求函數的最值是高中數學的重點，也是難點，是高考經常要考查的內容之一，它涉及函數知識的很多方面，用導數解決這類問題可以使解題過程簡單化，步驟清晰，也容易掌握，從而進一步明確了函數的

5、性質.一般的，求可導函數的極值和最值的步驟(1)確定函數的定義區(qū)間，求導數(2)求方程的根，計算在根和端點的函數值(3) 比較在根和端點的函數值，最大的是最大值，最小的是最小值若滿足，且在x0的兩側的導數異號，則x0是的極值點，是極值.2.判別是極大、極小值的方法若滿足，且在的兩側的導數異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值.例1. 求函數在上的最大值和最小值分析：先求出的極值點，然后比較極值點與區(qū)間端點的函數值，即可得該函數在區(qū)間，上的最大值和最小值解：由于，則 當時， 所以為函數的單調區(qū)間當

6、，所以為函數的單調區(qū)間又因為，所以當時，取得最小值；當時，取得最大值.例2 求函數的極值.解： 令，得駐點12+0-0+0+極大極小是函數的極大值；是函數的極小值2.2利用導數研究曲線的切線1導數的幾何意義過曲線上任意一點的切線的斜率就是在處的導數，即k=fx0=limx0yx=limx0fx0+x-f(x0)x.也就是說，曲線在點處的切線的斜率是，切線方程為.2導數幾何意義應用的三個方面 導數的幾何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現在以下幾個方面： (1)已知切點求斜率k，即求該點處的導數值： (2)已知斜率k，求切點，即解方程(3)已知過某點 (不是切點)

7、的切線斜率為k時，常需設出切點，利用-求解例3求曲線在點處的切線方程.分析：此題較為簡單，只須求出曲線的導數，并代入點斜式方程即可解：由則在點處斜率，故所求的切線方程為，即例4求與直線的平行的拋物線的切線方程.分析：此題可利用斜率求出切點，再用點斜式方程加以解決解：設為切點，則切點的斜率為得到切點故切線方程為.即例5 求過曲線上的點的切線方程分析：過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法解：設想為切點，則切線的斜率為切線方程為又知切線過點，把它代入上述方程，得解得，或故所求切線方程為，或.即，或2.3利用導數研究函數的單調性1、函數的單調性函數在某個區(qū)間 內可

8、導函數的單調性的充分條件若，則為增函數；若，則為減函數.函數的單調性的必要條件若為增函數，則；若為減函數，則.例6已知函數 (1)求的單調增區(qū)間； (2)是否存在，使在(2,3)上為減函數，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由思維點撥：函數的單調性和函數中的參數有關，要注意對參數的討論解 （1） 若，則即在上單調遞增 若，令，則 因此當時，的單調增區(qū)間為當時，的單調增區(qū)間為.（2）在上恒成立 在上恒成立 ，只需 當時，在上恒成立 即在上為減函數， 故存在實數，使在上為減函數.2.4利用導數證明不等式利用導數證明不等式，就是利用不等式與函數之間的聯系，直接或間接等價變形后，結合不等式的結

9、構特征，構造相應的函數通過導數運算判斷出函數的單調性，將不等式的證明轉化為函數問題對證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構造形如的函數型并通過一階或二階、三階求導達到證明目的的不等式。作輔助函數型：對含有兩個變量的不等式，可構造出以其中一個變量為自變量的函數，再采用上述方法證明不等式.例：:求證：不等式在上成立分析：通過作差，構造函數 在通過對和求導來判斷.證明：構造函數則： 知在上單調遞增，又因為，所以即 成立又構造函數則： 知在上單調遞增又因為，所以即 綜上所述，原命題成立.三總結導數的相關知識一直是高考命題的重點與熱點.將導數這一概念引入到高中數學教學中,不僅使高中數學的教學更顯活力,同時也為函數的求解過程提供了更簡單更靈活的解題工具.利用導數可以更便捷的解決高中數學中一些用傳統(tǒng)方法難以解決的問題,并且能夠提高解題的準確率與速度,在實際問題的解決中也能發(fā)揮作用.本文通過闡述導數在求最值與極值，切線方程，不等式等的求解方式,對其在高中數學解題過程中的應用進行探討.事實上，導數的應用范圍還遠遠不止這么多.例如在向量中的應用，在解析幾何與立體幾何中都具有重要的應用.導數為函數問題的解決提供了簡捷有效的途徑，而應用導數來解題，則需要在平時多加訓練，才能快速熟練的應用.參考文獻1李