曲線積分與曲面積分復習21026

1、第8章 曲線積分與曲面積分8.1 向量值函數(shù)在有向曲線上的積分 第二型曲線積分概念與形式恒力沿直線方向做功變力沿曲線運動取微元，則。平面曲線，空間曲線，性質(zhì)一、 計算方法1設參數(shù)，化定積分2平面閉曲線上積分用格林公式，其中L是D的取正向的邊界曲線，D為單連通區(qū)域，P，Q與上有連續(xù)一階偏導數(shù)。3對于積分與路徑無關(guān)的可自選路徑4積分與路徑無關(guān)及偏導數(shù)于上連續(xù)。下列四個命題等價（1）0，對D內(nèi)任意閉曲線C.（2）積分與路徑無關(guān)（3）存在使du（4）在D內(nèi)恒成立.常以（4）為條件，（2）作為結(jié)論，自選路徑積分二、 例題1基礎(chǔ)題目，設參數(shù)，化定積分（1） 計算，如圖ABCDEA解 （1）設參數(shù)法于上 設

2、，于上 設，于上 以為參數(shù)，于上 以誒參數(shù) ，于上 ，以為參數(shù)()綜上解（2）（用格林公式） （2） 計算 。其中是曲線從軸正向看去，逆時針方向。解（1）令解（2） 由對稱性 ，而，由上述參數(shù)法 注（1）設參數(shù)注重平面，“抓住平面痕跡，解得空間曲線(2)對稱性問題，以直觀（幾何）定義解之為好（3） 計算：。交線，從軸正向看去逆時針方向。（令,，）例2 格林公式（加線減線）（1） 計算，從點沿曲線到點的曲線。連接O，A直線段（記為L）2L是不過原點的簡單閉曲線（正向）計算曲線積分。解 （1）當L不包圍原點時（2）當L包圍原點時，做小橢圓(使充分小，從而含于閉曲線內(nèi))。則。注：本題為一特殊類型，形

3、式：閉曲線圍奇點；只當滿足可微，此時對于任意圍奇點的閉曲線積分相等。例3 （積分與路徑無關(guān)問題） P，Q已知，積分與路徑無關(guān)，自選路徑（1）計算，L：，由至再到弧段解 易驗證，積分與路徑無關(guān)，做段（記為）則原式（2）計算，其中為起于沿到再沿至。解 bP，Q之一未知，已知積分于路徑無關(guān)問題。（1）設具有連續(xù)二階導數(shù)，且，其中L是任一不與軸相交的簡單光滑閉曲線，求。解 原積分為零，則，即，令，得，代入得，代入初值得,，則即（2）設函數(shù)與xOy平面上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，曲線積分路徑無關(guān)，且恒有求。解 由于積分與路徑無關(guān)，得，則，為待定函數(shù)，則從而 ，對t求導得 ，從而；小注：上述兩例由積分與路徑無關(guān)

4、，和P，Q之一未知而導得微分方程，稱為解方程問題。8.2 向量值函數(shù)在有向曲面上的積分一、 概念與形式1定義流量，2物理意義：計算流量，通量3性質(zhì)：4計算方法：投影，定號：上正下負，右正左負，前正后負，做二重積分5.高斯公式，或這里是的整個邊界曲面的外測,是在點處的法向量的方向余弦.二、 例題例1 求積分，其中，部分外測解 把分成兩部分：， 。例2 ，其中被所截部分曲面外測。解：綜上，原式。例3 計算，下半球面上側(cè)。解 做面，記，取下側(cè)，則原式例4 計算，其中具有連續(xù)偏導數(shù)，和所圍立體表面外測。解 例5 設為上半球面：，下列積分不為零的是（A）；（B）；（C）；（D） （B）8.3 Stoks

5、公式應用例一、 公式：,與的方向滿足右手定則。二、 例題例1 計算，C為曲線其方向為從軸正向看去為反時針方向。解 原式 由，。，。上式。例2 計算，其中L是平面與柱面的交線，從軸正向看去為逆時針方向。解 原式 注意到，上式。注：此類問題命題方式通常都是平面與曲面交線，且總是要化成第一型曲面積分來處理。同時為減少計算量P，Q，R通常為一次函數(shù)，充其量不過二次。習題課例1 計算，其中為，取逆時針方向.解 積分路徑如圖821，利用對稱性。將原式分成兩部分，即第一個積分，曲線關(guān)于軸對稱，L在上半平面部分的走向與L在下半平面部分的走向相反(前者，后者)，被積函數(shù)是y的偶函數(shù)。第二個積分，曲線關(guān)于軸對稱，

6、L在右半平面部分的走向與L在左半平面部圖821分的走向相反(前者，后者)，被積函數(shù)是x的偶函數(shù)。所以兩個積分均為零.即0上述結(jié)論再一般情況下也成立.對坐標的曲線積分，當平面曲線L是分段光滑的，關(guān)于軸對稱，L在上半平面與下半平面部分的走向相反時，（1）若（即為的偶函數(shù)），則；（2）若（即為的奇函數(shù)），則 ，其中為L的上半平面的部分.類似地，對的討論也有相應的結(jié)論.例2 設，在光滑的有向曲線上連續(xù)，L為曲線弧的弧長，而，證明證 由兩類曲線積分的聯(lián)系和性質(zhì)，有例3 計算其中是錐面被平面和所截得的部分的下側(cè).解 在計算時，可分為兩塊，即前面一塊和后面一塊，在yOz平面上的投影為正，在yOz平面上的投影

7、為負，其投影區(qū)域相同.見圖922.故圖822在計算時，可分為兩塊，即右面一塊和左面一塊，在zOx平面上的投影為正，在zOx平面上的投影為負，其投影區(qū)域相同.故在計算時，注意被積函數(shù)中，在xOy平面上的投影為負，投影區(qū)域可用極坐標表示為，故例4 計算，其中是平面在第一卦限部分的上側(cè).解 因為取上側(cè)，因此法向量n與z軸正向的夾角為銳角，其方向余弦是 ，則有.計算。的方程為，其在xOy平面的投影區(qū)域：，又曲面的面積元素所以 例8 計算，其中L是從點到點的上半圓弧，為常數(shù).解 我們補一條直線，得閉曲線，從而可以是呀格林公式 圖823其中為半圓又 ，故例9 計算，其中為任一不經(jīng)過原點的閉曲面的外測.解 因為，所以（1）當不包圍原點時，由高斯公式即得0。（2）當包圍原點時，取的外測，由高斯公式，得。而即 例10 計算，其中，是錐面 在xOy平面上方的部分，n是的上側(cè)的單位法向量.解 曲面與xOy平面的交線（即其邊界）為，并取為逆時針方向.由斯托克斯公式，知，在和所圍成的平面上，對上式右端閉路積分再次應用斯托克斯公式，得，其中 例11 設函數(shù)有連續(xù)的導數(shù)，且曲線積分與路徑無關(guān)，求