無窮級數(shù)習題課資料

1、 無窮級數(shù)習題課資料一、 本章主要內容常數(shù)項級數(shù)的概念與基本性質，正項級數(shù)審斂法，交錯級數(shù)與萊布尼茲審斂法，絕對收斂與條件收斂。冪級數(shù)的運算與性質（逐項求導、逐項積分、和函數(shù)的連續(xù)性），泰勒級數(shù)，函數(shù)展開為冪級數(shù)及冪級數(shù)求和函數(shù)，周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)及其收斂定理。二、 本章重點用定義判別級數(shù)的收斂，正項級數(shù)的審斂法，萊布尼茲型級數(shù)的審斂法，冪級數(shù)的收斂域與收斂半徑，冪級數(shù)求和函數(shù)，函數(shù)的泰勒級數(shù)，傅立葉級數(shù)收斂定理。三、 本章難點 用定義判別級數(shù)的收斂，級數(shù)審斂法，冪級數(shù)求和函數(shù)，函數(shù)的泰勒級數(shù)，傅立葉級數(shù)收斂定理。四、 例題選講例1：判別級數(shù)的斂散性。（用定義） 解：原式=級數(shù)的部分和， 所

2、以原級數(shù)收斂，且收斂于。例2：利用柯西審斂原理證明級數(shù)收斂。證明：，對任意的，取，則當時，對所有，都有，故原級數(shù)收斂。例3：判別下列級數(shù)的斂散性（1） ， （2） ， （3）（4） ，（5），（）（6）解：（1）， 因為 ， 且收斂，所以級數(shù)收斂。（2）因為，且收斂，所以原級數(shù)收斂。（3）用根值法， ，所以原級數(shù)收斂。（4）， ，用比值法可知收斂，所以原級數(shù)收斂。（5）比值法：，當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)收斂。所以，當時，級數(shù)收斂。（6）因為廣義積分，所以原級數(shù)收斂。例4：判斷級數(shù)的斂散性。解：，又，知級數(shù)發(fā)散，即發(fā)散。因為，且時， ，而單減，所以單減，由萊布尼茲判別法知，原級

3、數(shù)條件收斂。例5：證明級數(shù)收斂。證：設，則原級數(shù)為，又，故在內單增，從而，且，由萊布尼茲判別法知，原級數(shù)收斂。例6：設數(shù)列為單調增加的有界正數(shù)列，證明級數(shù)收斂。證明：因為數(shù)列單增有上界，所以極限存在。設，考慮而級數(shù)存在，由比較審斂法知，原級數(shù)收斂。例7：求下列冪級數(shù)的收斂域（1） ， （2） ，（3）解：（1），所以收斂半徑為，收斂區(qū)間。時，原級數(shù)為，發(fā)散；時，原級數(shù)為，收斂。所以收斂域為。（2）令，原級數(shù)為 因為，所以收斂半徑。又時級數(shù)為發(fā)散，時級數(shù)為，由萊布尼茲準則可知其收斂，故收斂域為，再由，解得原級數(shù)的收斂域為。（3），所以收斂半徑，收斂區(qū)間為，即當時，原級數(shù)收斂，當時，原級數(shù)發(fā)散。得

4、原級數(shù)的收斂域為。例8：求下列級數(shù)的和函數(shù)（1） ，（2） ，（3）解（1）記，時，所以收斂半徑，收斂域為。設（2）記，時，所以收斂半徑，又時，原級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為。設， 。（3）求得級數(shù)的收斂域為，記級數(shù)的和函為，因為，所以 ， 即， 對上式兩端求導得： 故有， 當時，由所給級數(shù)知。因此例9 把級數(shù) 的和函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解：記級數(shù)的和函為，即 ， 例10 求級數(shù)的和。解：， ，。例11 設，試將展開成的冪級數(shù)。解：的定義域為，所以， 。例12 設在上收斂，試證：當時，級數(shù)必收斂。證明 由已知收斂，所以，從而有界，即存在，使得 ， ，所以由比較準則可知級數(shù)收斂，且為絕對收斂。例13 求函數(shù)的傅立葉展開式。解：滿足展開定理條件，將周期延拓得（周期為），處處連續(xù)。 ， ，另求： ，另求： 所以函數(shù)的傅立葉級數(shù)為：。例14 已知函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，（1） 求的傅立葉級數(shù)；（2） 證