恒成立問題初探

1、恒成立、能成立、恰成立問題分析及應(yīng)用 恒成立,也就是一個等式或不等式在某一個給定的范圍內(nèi)總是成立的,例如:，在實(shí)數(shù)范圍既xR內(nèi)恒成立. 能成立,也就是一個等式或不等式在某一個給定的范圍內(nèi)存在值使之成立,使之成立的值有可能是一個,兩個或是無窮多個,即個數(shù)是不定的,而在這個給定的范圍內(nèi)可以存在使之不成立的值,也可以不存在這樣的值,例如:x+10在x-2上能成立.恰成立,也就是一個等式或不等式在某一個給定的范圍內(nèi)恰好是成立的,或是說只有在這個范圍內(nèi)成立,在這個范圍外的值都不能成立.例如:，在x1時恰成立. 可以說恰成立是恒成立的一種特例,在給定的范圍內(nèi)恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的條件中還有可能

2、符合代數(shù)式的在給定的范圍之外,即恒成立不一定包含了滿足這個代數(shù)式的所有的值,但是恰成立包含了滿足這個代數(shù)的所有值,并且給定的范圍也全都滿足這個代數(shù)式. 例如:x+10在x-5上是能成立的,在x-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1x0恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，. 對稱軸為.當(dāng)時，則，；時，；當(dāng)時，. 綜上，.例3：若不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍.方法一：解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將原不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是.練習(xí)：1.當(dāng)0x時，4xlogax，則a的取值范圍是（ ） （A）(1，) （B）(，1) （C）(0，)

3、（D）(，2)2.已知關(guān)于的不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.3（1）已知函數(shù)（為常數(shù)），若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是 .(2)若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則=_.3、設(shè)其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍.或者方法二：時，恒成立，可化為時，恒成立.可分情況討論但較為麻煩.則，則；時，方法三：分情況分離變量：，在恒成立； 或 ，在恒成立.即時，例4：（1）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請看下題：（2）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真對比上面兩個例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這

4、樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法 對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖象，如果兩個函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對應(yīng)的圖象在在區(qū)間對應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。 例6：若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時，不等式恒成立

5、，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點(diǎn)P(m,n)在直線的右側(cè)，而點(diǎn)P(m,n)在圓上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，故選D。同步練習(xí)1、設(shè)其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍。分析：如果時，恒有意義，則可轉(zhuǎn)化為恒成立，即參數(shù)分離后，恒成立，接下來可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：如果時，恒有意義，對恒成立.恒成立。令，又則對恒成立，又在上為減函數(shù)，。2、設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問題轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：是增函數(shù)對于任意恒成立對于任

6、意恒成立對于任意恒成立，令，所以原問題，又即 易求得。3、 已知當(dāng)xR時，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。方法一）分析：在不等式中含有兩個變量a及x，本題必須由x的范圍（xR）來求另一變量a的范圍，故可考慮將a及x分離構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)定義域上的最值求解a的取值范圍。解：原不等式當(dāng)xR時，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立設(shè)則方法二）題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次不等式，從而可利用二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：不等式a+cos2x5-4sinx可化為a+1-2si

7、n2x5-4sinx,令sinx=t,則t-1,1,不等式a+cos2x0,t-1,1恒成立。設(shè)f(t)= 2t2-4t+4-a，顯然f(x)在-1，1內(nèi)單調(diào)遞減，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a24、 設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x-1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：在f(x)a不等式中，若把a(bǔ)移到等號的左邊，則原問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間恒成立問題。解：設(shè)F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)當(dāng)=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0時，即-2a1時，對一切x-1,+)，F(xiàn)(x) 0恒成立；）當(dāng)=4（a-1)(a+2) 0時由圖

8、可得以下充要條件：-1oxy即得-3a-2;綜上所述：a的取值范圍為-3，1。5、當(dāng)x(1,2)時，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過特指求解a的取值范圍。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：設(shè)T1:=,T2:,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2), 1,并且必須也只需故loga21,a1,10,若將等號兩邊分別構(gòu)造函數(shù)即二次函數(shù)y= x2+20x與一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。xyl1

9、l2l-20o解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,則如圖所示，T1的圖象為一拋物線，T2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使T1和T2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當(dāng)直線為l1時，直線過點(diǎn)（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a=;當(dāng)直線為l2時，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=a的范圍為，）。7、對于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應(yīng)范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可