微積分基本定理

1、1.6微積分基本定理（2）一、【教學(xué)目標(biāo)】重 點(diǎn)：使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡單的定積分.難 點(diǎn)：利用微積分基本定理求積分；找到被積函數(shù)的原函數(shù)能力點(diǎn)：正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡單的定積分.教育點(diǎn)：通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力.自主探究點(diǎn)：通過實(shí)例探求微分與定積分間的關(guān)系，體會(huì)微積分基本定理的重要意義.易錯(cuò)點(diǎn)：準(zhǔn)確找到被積函數(shù)的原函數(shù)，積分上限與下限代人求差注意步驟，以免符號(hào)出錯(cuò).考試點(diǎn)：高考多以填空題出現(xiàn)，以考查定積分的求法和面積的計(jì)算為主.二、【知識(shí)梳理】1. 定積分定義：如果函

2、數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)，將區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間，在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和，當(dāng)時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即，這里、分別叫做積分的下限與上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.2定積分的幾何意義如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積. 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積取負(fù)號(hào) 3.定積分性質(zhì)（1）；（2）（3

3、）4.微積分基本定理；一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.把記成，即.微積分基本定理表明，計(jì)算定積分的關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù).通常，我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則從反方向上求出.特別強(qiáng)調(diào)：原函數(shù)F（x）不唯一，它們差一個(gè)常數(shù).微積分基本定理的作用是：建立了積分與導(dǎo)數(shù)間的密切聯(lián)系，并提供了計(jì)算定積分的有效方法5.常見基本函數(shù)的定積分: = 【設(shè)計(jì)意圖】核心知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化，題目千變?nèi)f化，都圍繞這些知識(shí)點(diǎn),知識(shí)點(diǎn)為習(xí)題作理論指導(dǎo).三、【范例導(dǎo)航】題型一 直接應(yīng)用微積分基本定理求定積分值例1. 計(jì)算下列定積分（1） （2） （3）【分析】(1)（2）是復(fù)合函數(shù)的積分，先化簡，再

4、求積分，準(zhǔn)確找到原函數(shù)（3）利用函數(shù)性質(zhì)及定積分的幾何意義求積分.【解答】（1），=.（2），= (3)記,定義域?yàn)椋?1，1），因?yàn)樗詾槠婧瘮?shù),故=0.【點(diǎn)評(píng)】求定積分應(yīng)該注意的幾點(diǎn)：（1） 對(duì)被積函數(shù)不易求出時(shí)，要先化簡，再求積分.（2） 要注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的逆應(yīng)用，要“見影想形”,由推測，再加以驗(yàn)證.（3） 利用函數(shù)的奇偶性，奇函數(shù)的積分為零，偶函數(shù)的定積分是半個(gè)區(qū)間上的二倍.變式訓(xùn)練：計(jì)算下列定積分（1）. （2）答案：（1）2 (2)【設(shè)計(jì)意圖】(1)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)先化簡再積分;（2）是利用定積分的幾何意義求積分.題型二 借助函數(shù)圖象求分段函數(shù)的定積分值例2.已知函數(shù)先畫出函數(shù)圖

5、象,再求這個(gè)函數(shù)在上的定積分.【分析】被積函數(shù)是分段函數(shù),依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”,分段積分再求和.【解答】【點(diǎn)評(píng)】(1)分段函數(shù)在區(qū)間的定積分可分成段定積分和的形式,分段的標(biāo)準(zhǔn)可按照函數(shù)的分段標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行.(2)帶絕對(duì)值號(hào)的解析式，可先化為分段函數(shù)，然后求解.變式訓(xùn)練：1設(shè)求. 答案：.2. 答案： 3 答案：10【設(shè)計(jì)意圖】求分段函數(shù)的定積分時(shí)，可利用積分性質(zhì)將其表示為幾段定積分和的形式，若函數(shù)解析式中含有絕對(duì)值，應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義找到分界點(diǎn)，去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為分段函數(shù)后再求積分.題型三 綜合應(yīng)用利用定積分求參數(shù)已知,求使恒成立的k值.【分析】注意隱含條件積分下限小于積分上限，k<

6、3,分類討論時(shí)，或問題.例3.【解答】(1)當(dāng)時(shí),= ,解得k=-1,但,k=-1(舍去). (2) 時(shí)， = = = ,解得, 綜上所述，.【點(diǎn)評(píng)】利用定積分求參數(shù)時(shí)，注意方程思想的應(yīng)用.一般地，首先要弄清楚積分變量和被積函數(shù).當(dāng)被積函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，必須分清常數(shù)和變量，再進(jìn)行計(jì)算；其次要注意積分下限不大于積分上限.【變式訓(xùn)練】已知是二次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)(1,0),且.【答案】四、【解法小結(jié)】1.求定積分的一些常用技巧：（1）對(duì)被積函數(shù)，要先化簡，再求積分.（2）若被積函數(shù)是分段函數(shù)，依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”,分段積分再求和.（3）對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)才能積分.

7、(4)利用函數(shù)的奇偶性求定積分2. 利用定積分求參數(shù)時(shí)，注意方程思想的應(yīng)用五、【布置作業(yè)】必做題：1.計(jì)算下列定積分（1） （2） （3） （4）.2.計(jì)算定積分（1） （2）.3.求函數(shù)，求的最大值. 必做題答案：1.（1）（2） （3）4+ln2 （4）2.（1）4 （2） 3. 【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的習(xí)慣，檢查學(xué)習(xí)效果，及時(shí)反饋，查漏補(bǔ)缺.選做題：1.求定積分（1） （2）2.已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值.選做題答案：1.（1）（2）2 2. 1 【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生留出自我發(fā)展的空間，嘗試能力，拓展創(chuàng)新.課外探究：計(jì)算由曲線所圍圖形的面積；總結(jié)解題步驟.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生養(yǎng)成預(yù)習(xí)的好習(xí)慣.六、【教后反思】1.本教案的亮點(diǎn)是：一是對(duì)所學(xué)知識(shí)的宏觀把握；二是例題選擇有代表性，分別為分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求定積分及定積分的綜合應(yīng)用；關(guān)注定積分的基礎(chǔ)知識(shí)和利用定積分求封閉圖形面積的一