數(shù)分定義上冊(cè)

1、1.集合又稱(chēng)集，是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對(duì)象匯集成的總體，這些對(duì)象稱(chēng)為該集合的元素。1. 有一類(lèi)特殊的集合，它不包含任何元素，我們稱(chēng)之為空集，記為。集合的基本運(yùn)算有交、并、補(bǔ)、差四種。定義(集合的交、并、差) 設(shè)是集合，與的公共元素所組成的集合成為與的交集，記作；把和B中的元素合并在一起組成的集合成為與的并集，記做；從集合中去掉屬于的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為與B的差集，記做。2. 集合S有n個(gè)元素組成，這里的n是確定的非負(fù)整數(shù)，則稱(chēng)集合S為有限集。不是有限集的集合稱(chēng)為無(wú)限集。3. 如果一個(gè)無(wú)限集中的元素可以按某種規(guī)律排成一個(gè)序列，或者說(shuō)，這個(gè)集合可表示為，則稱(chēng)其為可列集

2、。4. 設(shè)X,Y是兩個(gè)給定的集合，若按照某種規(guī)則，使得對(duì)集合X中的每一個(gè)元素x，都可以找到集合Y中惟一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則是集合X到集合Y的一個(gè)映射，記為：XY，y=（x）。其中y稱(chēng)為在映射之下x的像，x稱(chēng)為在映射之下y的一個(gè)逆像（也稱(chēng)原像）。集合X稱(chēng)為映像的定義域，記為。而在映射之下，X中的元素x的像y的全體稱(chēng)為映射的值域，記為，即=yy并且y=（x），x。5. 設(shè)是集合X到集合Y的一個(gè)映像，若的逆像也具有惟一性，則稱(chēng)為單射；如果映射滿(mǎn)足=Y，則稱(chēng)為滿(mǎn)射；如果映射既是單射，又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)雙射（又稱(chēng)一一對(duì)應(yīng)）。6. 基本初等函數(shù)：常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)

3、，反三角函數(shù)。由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所產(chǎn)生的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù)。初等函數(shù)的自然定義域是指它的自變量的最大取值范圍。7. 函數(shù)的簡(jiǎn)單特性（詳見(jiàn)P19-P21）（1） 有界性：若存在兩個(gè)常數(shù)m和M，使函數(shù)y=（x），x滿(mǎn)足m（x）M，x，則稱(chēng)函數(shù)在D有界。其中m是它的下界，M是它的上界。（2） 單調(diào)性。（3） 奇偶性。（4） 周期性.8. 算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)， 調(diào)和平均數(shù)。9. 無(wú)界（非官方）：對(duì)任意M>0, 中必存在無(wú)窮多個(gè),滿(mǎn)足>M,則稱(chēng)數(shù)列無(wú)界。10. 上確界與下確界設(shè)S是一個(gè)非空數(shù)集，如果MR，使得xS，有xM，則稱(chēng)M是S的一個(gè)上界；如果mR，使得xS，有

4、xm，則稱(chēng)m是S的一個(gè)下界。當(dāng)數(shù)集S既有上界，又有下界時(shí)，稱(chēng)S為有界集。顯然 S為有界集X0，使得xS，有。設(shè)數(shù)集S有上界，記U為S的上界全體所組成的集合，則顯然U不可能有最大數(shù)，設(shè)U的最小數(shù)為，就稱(chēng)為數(shù)集S的上確界，即最小上界，記為=sup S。上確界滿(mǎn)足的性質(zhì)：1，是數(shù)集S的上界：xS，有x；2，任何小于的數(shù)不是數(shù)集S的上界：0，xS，使得x-。同理，下界全體所組成的集合中的最大數(shù)為數(shù)集S的下確界，即最大下界，記為=inf S 。11. 數(shù)列極限概念設(shè)是一給定數(shù)列，a是一個(gè)實(shí)常數(shù)。如果對(duì)于任意給定的0，可以找到正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，成立，則稱(chēng)數(shù)列收斂于a（或a是數(shù)列的極限），記為

5、有時(shí)也記為a（n）。如果不存在實(shí)數(shù)a，使收斂于a，則稱(chēng)數(shù)列發(fā)散。12. 在收斂的數(shù)列中，我們稱(chēng)極限為0的數(shù)列為無(wú)窮小量。13. 當(dāng)n增大時(shí)。數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值也無(wú)限制地增大，這樣的數(shù)列我們稱(chēng)為無(wú)窮大量。分析定義如下：若對(duì)于任意給定的G>0，可以找到正整數(shù)N, 使得當(dāng)n>N時(shí)成立,則稱(chēng)數(shù)列是無(wú)窮大量，記為。 G>0, N, n>N: 。14. 如果數(shù)列滿(mǎn)足，n=1,2,3，,則稱(chēng)為單調(diào)增加數(shù)列；若進(jìn)一步滿(mǎn)足，n=1,2,3，,則稱(chēng)為嚴(yán)格單調(diào)增加數(shù)列。類(lèi)似可以定義遞減的。15. 如果一列閉區(qū)間滿(mǎn)足條件：（1），n=1,2,3，；（2），則稱(chēng)這列閉區(qū)間形成一個(gè)閉區(qū)間套。16.設(shè)

6、是一個(gè)數(shù)列，而<<.<<<是一列嚴(yán)格單調(diào)增加的正整數(shù)，則，也形成一個(gè)數(shù)列，稱(chēng)為數(shù)列的子列，記為15. 如果數(shù)列具有以下特性：對(duì)于任意給定的>0,存在正整數(shù)N，使得n，m>N時(shí)成立，則稱(chēng)數(shù)列是一個(gè)基本數(shù)列，也稱(chēng)柯西序列。16. Cauchy收斂原理表明，由實(shí)數(shù)構(gòu)成的基本數(shù)列必存在實(shí)數(shù)極限，這一性質(zhì)稱(chēng)為實(shí)數(shù)系的完備性。17. 函數(shù)極限：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域中有定義，即存在>0,使。如果存在實(shí)數(shù)A，對(duì)于任意給定的>0,可以找到>0，使得當(dāng)時(shí)，成立，則稱(chēng)A是函數(shù)f(x)在點(diǎn)的極限，記為，或。如果不存在具有上述性質(zhì)的實(shí)數(shù)A，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)的極

7、限不存在。用符號(hào)表述為：。18. 單側(cè)極限：設(shè)在有定義（>0）。如果存在實(shí)數(shù)B，對(duì)于任意給定的>0, 可以找到>0，使得當(dāng)時(shí)，成立，則稱(chēng)B是函數(shù)f(x)在點(diǎn)的左極限，記為。類(lèi)似地，如果在有定義（>0）。如果存在實(shí)數(shù)C，對(duì)于任意給定的>0, 可以找到>0，使得當(dāng)時(shí)，成立，則稱(chēng)C是函數(shù)f(x)在點(diǎn)的右極限，記為。19. 函數(shù)極限定義的擴(kuò)充“A”：“”；“”：“G>0,：”；“+”：“G>0,：”；“-”：“G>0,：”；“”：“，>0，（）：”；“+”：“，>0，（）：”；“-”：“，>0，（）：”；“”：“，X>0,

8、()：”；“+”：“，X>0, (>X) ：”；“-”：“，X>0, (<-X) ：”。20. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域中有定義，并且成立，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，而稱(chēng)是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，符號(hào)表述：。21. 若函數(shù)在區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù)。22. 單側(cè)連續(xù)若，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)；若，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)右連續(xù)。 可表述為：；可表述為：。23. 若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且在左端點(diǎn)a右連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。24. 統(tǒng)一形式：設(shè)函數(shù)定義在某區(qū)間X上（X可以是開(kāi)區(qū)間，閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間）。如果與，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間X上連續(xù)。25. 不連續(xù)點(diǎn)類(lèi)型（1

9、）第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)（跳躍點(diǎn)）：函數(shù)在點(diǎn)的左、右極限都存在但不相等，即。（=sgn x）（2）第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)：函數(shù)在點(diǎn)的左、右極限中至少有一個(gè)不存在。（=sin）（3）第三類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)（可去不連續(xù)點(diǎn)或可去間斷點(diǎn)）：函數(shù)在點(diǎn)的左、右極限都存在而且相等，但不等于或者在點(diǎn)無(wú)定義。（=x sin）26.若 ，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小量。，是兩個(gè)變量，當(dāng)時(shí)，它們都是無(wú)窮小量。27. 0，當(dāng)時(shí)，關(guān)于是高階無(wú)窮小量。28. c0，當(dāng)時(shí)，與是同階無(wú)窮小量。29. 1，當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小量。30. 若，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮大量（or正、負(fù)無(wú)窮大量）。31.高階、同階、等價(jià)無(wú)窮大量定義類(lèi)似于無(wú)窮小量的。32.等價(jià)量指等價(jià)無(wú)窮小量

10、或等價(jià)無(wú)窮大量。33.設(shè)函數(shù)在區(qū)間X上有定義，若對(duì)于任意給定的>0,可以找到>0，只要，X滿(mǎn)足，就成立，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間X上一致連續(xù)。（一致連續(xù)的曲線(xiàn)較平緩）34.對(duì)函數(shù)定義域中的一點(diǎn)，若存在一個(gè)只與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)的數(shù)，使得當(dāng)0時(shí)恒成立關(guān)系式，則稱(chēng)在的微分存在，或稱(chēng)在處可微。若函數(shù)在某一區(qū)間上的每一點(diǎn)都可微，則稱(chēng)在該區(qū)間上可微。35.稱(chēng)為y的線(xiàn)性主要部分。當(dāng)在處可微且0時(shí)，將稱(chēng)為自變量的微分，記作d；將y的線(xiàn)性主要部分（即）稱(chēng)為因變量的微分，記作dy或d。微分關(guān)系式為dy=。36. 若函數(shù)在其定義域中的一點(diǎn)處極限存在，則稱(chēng)在處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限值為在處的導(dǎo)數(shù)，記為（或，）。若函數(shù)在某

11、一區(qū)間上的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱(chēng)在該區(qū)間上可導(dǎo)。37.導(dǎo)數(shù)又稱(chēng)“微商”（ ）38. =（左導(dǎo)數(shù)）=（右導(dǎo)數(shù)）39.一階微分的形式不變性（詳見(jiàn)P146）40.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，若它的導(dǎo)數(shù)（或，）任是個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù)(或，)被稱(chēng)為的二階導(dǎo)數(shù)，記為（或），這時(shí)我們稱(chēng)是二階可導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)二階可導(dǎo)）或者的二階導(dǎo)數(shù)存在。（n2時(shí)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)）41. 設(shè)函數(shù)的n-1階導(dǎo)數(shù)（n=2，3，）任是個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，則它的導(dǎo)數(shù)被稱(chēng)為的n階導(dǎo)數(shù)，記為。并稱(chēng)是n階可導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)n階可導(dǎo)）或者的n階導(dǎo)數(shù)存在。42. dy是函數(shù)y=的一階微分，則稱(chēng)dy的微分d（dy）=為y的二階微分。一般地，若y的n-1階微分為，定義y的n階微分為=

12、d（），n=2，3，.（如果的微分存在的話(huà)）。43.設(shè)在上有定義，如果存在點(diǎn)的某一個(gè)鄰域，使得則稱(chēng)是的一個(gè)極大值點(diǎn)，稱(chēng)為相應(yīng)的極大值。類(lèi)似可以定義極小值點(diǎn)和極小值。44. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上定義，若對(duì)I中的任意兩點(diǎn)和，和任意，都有 ，則稱(chēng)是I上的下凸函數(shù)。 若不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱(chēng)在I上是嚴(yán)格下凸函數(shù)。45.曲線(xiàn)在該點(diǎn)兩側(cè)的凸性相反，也就是說(shuō)，它們是曲線(xiàn)上凸與下凸的分界點(diǎn)，稱(chēng)這樣的點(diǎn)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。46.使=0的點(diǎn)稱(chēng)為的駐點(diǎn)。47.若在某個(gè)區(qū)間上，函數(shù)和成立關(guān)系= 或等價(jià)的 d（）=d，則稱(chēng)是在這個(gè)區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。48.一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)全體稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的不定積分，記作。 “”稱(chēng)為積分號(hào)，稱(chēng)為被積

13、函數(shù)，x稱(chēng)為積分變量。49. 設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，在上任意取分點(diǎn)，作成一種劃分，并任意取點(diǎn)。記小區(qū)間的長(zhǎng)度為，并令，若當(dāng)時(shí)，極限存在，且極限值與劃分P無(wú)關(guān)，又與對(duì)的取法無(wú)關(guān)，則稱(chēng)在上Riemann可積。和式稱(chēng)為Riemann和，其極限值I稱(chēng)為在上的定積分，記為，這里a和b分別被稱(chēng)為積分的下限和上限。50.語(yǔ)言：設(shè)有定數(shù)I，對(duì)任意給定的>0,存在>0,使得對(duì)任意一種劃分 ，和任意點(diǎn)，只要<，便有I<,則稱(chēng)在上Riemann可積，稱(chēng)I是在上的定積分。51.設(shè)，則定義和式（Darboux大和）（Darboux小和）【統(tǒng)稱(chēng)達(dá)布和】。52.記為在上的振幅。53.設(shè)是定義在上的

14、一列函數(shù)（n=0，1，2，.），若對(duì)任意的m和n， 在上可積，且有則稱(chēng)是上的正交函數(shù)列。特別地，當(dāng)是n次多項(xiàng)式時(shí)，稱(chēng)是上的正交多項(xiàng)式列。54.設(shè)平面曲線(xiàn)的參數(shù)方程為。對(duì)區(qū)間作如下劃分： ,得到這條曲線(xiàn)上順次排列的n+1個(gè)點(diǎn)。用表示連結(jié)點(diǎn)和的直線(xiàn)段的長(zhǎng)度，那么相應(yīng)的折線(xiàn)的長(zhǎng)度可以表示為。若當(dāng)0時(shí)，極限存在，且極限值與區(qū)間的劃分無(wú)關(guān)，則稱(chēng)這條曲線(xiàn)是可求長(zhǎng)的，并將此極限值稱(chēng)為該條曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)。55.若和在上連續(xù)，且，則由參數(shù)方程確定的曲線(xiàn)稱(chēng)為光滑曲線(xiàn)。光滑曲線(xiàn)上的切線(xiàn)是連續(xù)變化的。56.我們將 稱(chēng)為弧長(zhǎng)的微分。57.曲線(xiàn)的曲率（詳見(jiàn)P327-328）58.考慮積分區(qū)間無(wú)限或被積函數(shù)無(wú)界的積分問(wèn)題，這樣的積分稱(chēng)為反常積分（或廣義積分），Riemann積分被稱(chēng)為正常積分（或常義積分）。59.設(shè)函數(shù)在有定義，且在任意有限區(qū)間上可積，若極限 存在，則稱(chēng)反常積分收斂（或稱(chēng)在上可積），其積分值為 =否則稱(chēng)反常積分發(fā)散。60.如果函數(shù)在點(diǎn)的任何一個(gè)去心鄰域上是無(wú)界的，則稱(chēng)為的奇點(diǎn)。6