新北師大版八下數學三角形的證明

1、第一章 三角形的證明【單元分析】 本章是八年級上冊第七章平行線的證明的繼續(xù)，在“平等線的證明”一章中，我們給出了 8 條基本事實，并從其中的幾條基本事實出發(fā)證明了有關平行線的一些結論。 運用這些基本事實和已經學習過的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論。 在這之前，學生已經對圖形的性質及其相互關系進行了大量的探索，探索的同時也經歷過一些簡單的推理過程，已經具備了一定的推理能力，樹立了初步的推理意識，從而為本章進一步嚴格證明三角形有關定理打下了基礎。 【單元目標】 1.知識與技能   

2、;   （1）等腰三角形的性質和判定定理；       （2）直角三角形的性質定理和判定定理；    2.過程與方法 （1） 會運用等腰三角形的性質和判定定理解決相關問題；      （2） 直角三角形的性質定理和判定定理解決簡單的實際問題；     3.情感態(tài)度與價值觀     

3、0;  （1）經歷由情景引出問題，探索掌握有關數學知識，再運用于實踐的過程，培養(yǎng)學數學、用數學的意識與能力；        （2）感受數學文化的價值和中國傳統(tǒng)數學的成就，激發(fā)學生熱愛祖國與熱愛祖國悠久文化的思想感情。 【單元重點】 在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結論，能夠借助數學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理?！締卧y點】 明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數學語言正確表達等。 【教學

4、思路】 1.對于已有命題的證明，教學過程中要注意引導學生回憶過去的探索、說理過程，從中獲取嚴格證明的思路；對于新增命題，教學過程中要重視學生的探索、證明過程，關注該命題與其他已有命題之間的關系；對于整章的命題，注意關注將這些命題納入一個命題系統(tǒng)，關注命題之間的關系，從而形成對相關圖形整體的認識。 2.對于證明的方法，除了注重啟發(fā)和回憶，還應注意關注證明方法的多樣性，力圖通過學生的自主探索，獲得多樣的證明方法，并在比較中選擇適當的方法。 3.證明過程中注意揭示蘊含其中的數學思想方法，如轉化、歸納、類比等。 4.作為初中階段幾何證明的最后階段，教學中應要求學

5、生掌握綜合法和分析法證明命題的基本要求，掌握規(guī)范的證明表述過程，達成課程標準對證明表述的要求。 【單元課時安排】 課 題  課 時1.1 等腰三角形 4課時1.2  直角三角形  2課時 1.3  線段的垂直平分線   2課時1.4  角平分線  2課時 回顧與思考  2課時  主備人沙春紅使用人沙春紅審核參加人員沙春紅備課時間課題1.等腰三角形（一）課型新授課使用時間教學目標知識與技能理解作為證明基礎的幾條公理的內容，應用這

6、些公理證明等腰三角形的性質定理；在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結論，能夠借助數學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理；過程與方法經歷“探索發(fā)現猜想證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；鼓勵學生在交流探索中發(fā)現證明方法的多樣性，提高邏輯思維水平；情感態(tài)度與價值觀啟發(fā)引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補充的辯證關系；培養(yǎng)學生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學習習慣.教學重點探索證明等腰三角形性質定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；教學難點明確

7、推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數學語言正確表達等。教法、學法分析引導啟發(fā)式通過溫故知新，知識遷移，引導學生發(fā)現新的結論，通過比較、分析，應用獲得的知識達到理解并掌握的目的.媒體使用和選擇二次備課教學過程第一環(huán)節(jié)：回顧舊知 導出公理活動內容：提請學生回憶并整理已經學過的8條基本事實中的5條：1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）；4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）；5.三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）；在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件：1.（

8、推論）兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AAS），并要求學生利用前面所提到的公理進行證明；2.回憶全等三角形的性質?；顒幽康模航涍^一個暑假，學生難免有所遺忘，因此，在第一課時，回顧有關內容，既是對前面學習內容的一個簡單梳理，也為后續(xù)有關證明做了知識準備；證明這個推論，可以讓學生熟悉證明的基本要求和步驟，為后面的其他證明做好準備?；顒有Чc注意事項：由于有了前面的鋪墊，學生一般都能得到該推論的證明思路，但由于有了一個暑假的遺忘，可能部分學生的表述未必嚴謹、規(guī)范，教學中注意提請學生分析條件和結論，畫出簡圖，寫出已知和求證，并規(guī)范地寫出證明過程。具體證明如下：已知：如圖，A=D,B=E,

9、BC=EF.求證：ABCDEF.證明：A=D,B=E（已知），又A+B+C=180°，D+E+F=180°（三角形內角和等于180°），C=180°-(A+B)，F=180°-(D+E)，C=F（等量代換）。又BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）。第二環(huán)節(jié)：折紙活動 探索新知活動內容：在提問：“等腰三角形有哪些性質？以前是如何探索這些性質的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質嗎？并根據折紙過程，得到這些性質的證明嗎？”的基礎上，讓學生經歷這些定理的活動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學生先獨自折紙觀察、探索并寫出等腰三角形的性質，然后再以

10、六人為小組進行交流，互相彌補不足?；顒幽康模和ㄟ^折紙活動過程，獲得有關命題的證明思路，并通過進一步的整理，再次感受證明是探索的自然延伸和發(fā)展，熟悉證明的基本步驟和書寫格式。第三環(huán)節(jié)：明晰結論和證明過程活動內容：在學生小組合作的基礎上，教師通過分析、提問，和學生一起完成以上兩個個性質定理的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明,其余學生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯總各小組的結果以及具體證明方法，給學生明晰證明過程。（1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合活動目的：和學生一起完成性質定理的證明，可以讓學生自主經歷命題的證明過程；明晰證明過程，意

11、圖給學生明晰一定的規(guī)范，起到一種引領作用；活動2，則是前面命題的直接推論，力圖讓學生形成拓廣命題的意識，同時也是一個很好的鞏固練習。第四環(huán)節(jié)：隨堂練習 鞏固新知活動內容：學生自主完成P4第2題：如圖（圖略）,在ABD中,C是BD上的一點，且ACBD，AC=BC=CD，（1）求證：ABD是等腰三角形；（2）求BAD的度數?；顒幽康模红柟倘热切闻卸ü淼膽茫瑥土暤妊切巍暗冗厡Φ冉恰钡挠梅?。第五環(huán)節(jié)：課堂小結活動內容：讓學生暢談收獲，包括具體結論以及其中的思想方法等?；顒幽康模盒纬杉皶r總結語反思的意識與習慣，提高學生能力。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)板書設計1. 等腰三角形（一）教學反思主備人沙春紅

12、使用人沙春紅審核參加人員沙春紅備課時間課題1. 等腰三角形（二）課型新授課使用時間教學目標知識與技能探索發(fā)現猜想證明等腰三角形中相等的線段，進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性過程與方法經歷“探索發(fā)現猜想證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；在命題的變式中，發(fā)展學生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學生的學習能力和思維能力，提高學生學習的主體性；在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質：對稱性，發(fā)展學生的幾何直覺；情感態(tài)度與價值觀鼓勵學生積極參與數學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲體驗數學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數

13、學的嚴謹性教學重點經歷“探索發(fā)現一一猜想證明”的過程，能夠用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論教學難點用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論教法、學法分析引導啟發(fā)式通過溫故知新，知識遷移，引導學生發(fā)現新的結論，通過比較、分析，應用獲得的知識達到理解并掌握的目的.媒體使用和選擇二次備課教學過程第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課活動內容：在回憶上節(jié)課等腰三角形性質的基礎上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結論嗎?活動目的：回顧性質，既為后續(xù)研究判定提供了基礎；同時，直接提出新的問題，過渡自然，引入本課研究內容，而新的

14、問題是原有性質的一個自然拓廣，有助于提高學生提出問題的能力。第二環(huán)節(jié)：自主探究活動內容：在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明?；顒幽康模鹤寣W生再次經歷“探索發(fā)現猜想證明”的過程，進一步體會證明的必要性，并進行證明，從中進一步體會證明過程，感受證明方法的多樣性。第三環(huán)節(jié)：經典例題 變式練習活動內容：提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？并在學生思考的基礎上，研究課本“議一議”：在課本圖14的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一個什么結論?(2)如果AD=A

15、C，AE=AB，那么BD=CE嗎?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么結論?活動目的：提高學生變式能力、問題拓廣能力，發(fā)展學生學習的自主性。第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性質活動內容：提請學生在上面等要三角形性質定理的基礎上，思考等邊三角形的特殊性質：等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60°.已知：如圖，ABC中，AB=BC=AC求證：A=B=C=60°.證明：在ABC中，AB=AC，B=C(等邊對等角) 同理：C=A，A=B=C（等量代換） 又A+B+C180°（三角形內角和定理），A=B=C60° 第五環(huán)節(jié)： 隨堂練習 及時鞏固

16、活動內容：在探索得到了等邊三角形的性質的基礎上，讓學生獨立完成以下練習。1. 如圖,已知ABC和BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD活動意圖：在鞏固等邊三角形的性質的同時，進一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明的書寫格式。 第六環(huán)節(jié)：探討收獲 課時小結本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結論歸納出一般結論，第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)板書設計1. 等腰三角形（二）教學反思主備人沙春紅使用人沙春紅審核參加人員沙春紅備課時間課題1. 等腰三角形（三）課型新授課使用時間教學目標知識與技能理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明了解反證法的基本證明思路，并能簡

17、單應用。過程與方法探索等腰三角形判定定理情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生的逆向思維能力。教學重點等腰三角形判定定理等腰三角形的判定定理教學難點反證法教法、學法分析引導啟發(fā)式通過溫故知新，知識遷移，引導學生發(fā)現新的結論，通過比較、分析，應用獲得的知識達到理解并掌握的目的.媒體使用和選擇二次備課教學過程第一環(huán)節(jié)：復習引入 活動過程：通過問題串回顧等腰三角形的性質定理以及證明的思路，要求學生獨立思考后再進交流。 問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？ 問題2.我們是如何證明上述定理的？ 問題3.我們把性質定理的條件和結論反過來還成立么？如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個

18、角所對的邊也相等？ 活動意圖：設計是問題串是為引出等腰三角形的判定定理埋下伏筆。學生獨立思考是對上節(jié)課內容有效地檢測手段。第二環(huán)節(jié)：逆向思考，定理證明活動過程與效果：教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數學結論的一條途徑例如“等邊對等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?生如圖，在ABC中，B=C，要想證明AB=AC，只要構造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應邊就可以了師你是如何想到的? 生由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以

19、把ABC分成兩個全等的三角形師很好同學們可在練習本上嘗試一下是否如此，然后分組討論生我們組發(fā)現，如果作BC的中線，雖然把ABC分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們全等因為我們得到的條件是兩個三角形對應兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的后兩種方法是可行的師那么就請同學們任選一種方法按要求將推理證明過程書寫出來(教師可讓兩個同學在黑板上演示，并對推理證明過程講評)(證明略)師我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊我們不僅發(fā)現了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現了數學

20、語言的對稱美第三環(huán)節(jié)：鞏固練習活動過程與效果：將書中的隨堂練習提前到此，是為了及時鞏固判定定理。引導學生進行分析。已知：如圖，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2求證：AB=AC證明：ADBC，1=B(兩直線平行，同位角相等)，2=C(兩直線平行，內錯角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角對等邊)第四環(huán)節(jié)：適時提問 導出反證法活動過程與效果：我們類比歸納獲得一個數學結論，“反過來”思考問題也獲得了一個數學結論如果否定命題的條件，是否也可獲得一個數學結論嗎?我們一起來“想一想”：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等你認為這個結論成立嗎?如果成立，你能證明它

21、嗎?有學生提出：“我認為這個結論是成立的因為我畫了幾個三角形，觀察并測量發(fā)現，如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等但要像證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因為它的條件和結論都是否定的”的確如此像這種從正面人手很難證明的結論，我們有沒有別的證明思路和方法呢?我們來看一位同學的想法：如圖，在ABC中，已知BC，此時AB與Ac要么相等，要么不相等假設AB=AC，那么根據“等邊對等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法，假設有兩個角是直角，不妨設A=90°

22、;，B=90°，可得A+B=180°，但ABA+B+C=180°, “A+B=180°”與“A+B+C=180°”相矛盾，因此ABC中不可能有兩個直角引導學生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢?引出反證法。都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對等邊”，最后結合實例了解了反證法的含義第五環(huán)節(jié)：拓展延伸 活動過程與效果：在一節(jié)課結束之際，為培養(yǎng)學生思維的綜合性、靈活

23、性特安排了2個練習。一個是通過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉換求圖形的周長。另一個是一個開放性的問題，考察學生多角度多維度思考問題的能力。學生在獨立思考的基礎上再小組交流。1.如圖，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，設AB=12，AC=18，求AMN的周長. .NMCBAD2. 現有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數? 第六環(huán)節(jié)：課堂小結（1）本節(jié)課學習了哪些內容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？ （3）結合本節(jié)課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區(qū)別和聯(lián)系（4）舉例談談用反證法說理的基

24、本思路第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)：板書設計2. 等腰三角形（三）教學反思主備人沙春紅使用人沙春紅審核參加人員沙春紅備課時間課題1. 等腰三角形（四）課型新授課使用時間教學目標知識與技能理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30º角的直角三角形性質及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。過程與方法經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維經歷實際操作，探索含有30º角的直角三角形性質及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力；在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學生的能力。情感態(tài)度與價值觀積

25、極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.教學重點等邊三角形判定定理的發(fā)現與證明.含30°角的直角三角形的性質定理的發(fā)現與證明教學難點含30°角的直角三角形性質定理的探索與證明.引導學生全面、周到地思考問題.教法、學法分析引導啟發(fā)式通過溫故知新，知識遷移，引導學生發(fā)現新的結論，通過比較、分析，應用獲得的知識達到理解并掌握的目的.媒體使用和選擇二次備課教學過程第一環(huán)節(jié)：提問問題，引入新課活動內容：教師回顧前面等腰三角形的性質和判定定理的基礎上，直接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質呢？又如何判

26、別一個三角形是等腰三角形呢？從而引入新課?；顒幽康模洪_門見山，引入新課，同時回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊?；顒有Ч涸诶蠋煹囊龑拢话銓W生都能得出等邊三角形的性質；對于等邊三角形的判別，學生可能會出現多種情況，如直接從等邊三角形性質出發(fā)，當然也可能有學生考慮分步進行，現確定它是等腰三角形，再增補條件，確定它是等邊三角形。這是教師可以適時提出問題：如果已知一個三角形是等邊三角形的基礎上，如何確定它是等邊三角形呢？下面是實際教學中的部分師生活動實況：生等腰三角形已經有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底相等，等腰三角形就成了等邊三角形生等邊三角形的三個內角都相等，且分別都等于60°我認為

27、等腰三角形的三個內角都等于60°，等腰三角形就是等邊三角形了(此時，部分同學同意此生的看法，部分同學不同意此生的看法，引起激烈地爭論教師可讓同學代表充分發(fā)表自己的看法)生我不同意這位同學的看法因為任何一個三角形滿足這個條件都是等邊三角形根據等角對等邊，三個內角都是60°，所以它們所對的邊一定相等但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時便是等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，浪費!師給三個角都是60°，這個條件的確有點浪費，那么給什么條件不浪費呢?下面同學們可在小組內交流自己的看法(2)你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的

28、結論嗎?把你的證明思路與同伴交流(教師應給學生自主探索、思考的時間)第二環(huán)節(jié)：自主探索活動內容：學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結論，教師適時要求學生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導學生總結出下表：性質判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60°等邊三角形三個角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形活動目的：經歷定理的探究過程，即明確有關定理，同時提高學生的自主探究能力。第三環(huán)節(jié)：實際操作 提出問題 活動內容：教師直接提

29、出問題：我們還學習過直角三角形，今天我們研究一個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關系，有哪些線段存在倍數關系，你能得到什么結論？說說你的理由活動目的：讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現結論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半第四環(huán)節(jié)：變式訓練 鞏固新知活動1：直接提請學生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°

30、嗎?如果是，請你證明它在師生分析的基礎上，給出證明：已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BC=AB求證：BAC=30°證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.ACB=90°，ACD=90°又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等邊三角形B=60°在RtABC中，BAC=30°注意事項：該命題的證明中輔助線較復雜，但恰有前面原命題探究活動過程的鋪墊，可以給學生一些啟示，因此，教學中，教師可以引導學生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？活

31、動2 ：呈現例題，在師生分析的基礎上，運用所學的新定理解答例題。例題等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高CD的長.分析：觀察圖形可以發(fā)現在RtADC中，AC=2a而DAC是ABC的一個外角，而DAC=×15°=30°，根據在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD解：ABC=ACB=15°DAC=ABC+ACB=15°+15°=30°CD=AC=×2a= a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)活動目的：在例題求解中鞏

32、固新知。第五環(huán)節(jié)：暢談收獲 課時小結讓學生對課堂學習進行小結，注意總結具體的知識、結論，以及解決問題的方法和蘊含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)板書設計1. 等腰三角形（四）教學反思主備人沙春紅使用人沙春紅審核參加人員沙春紅備課時間課題2直角三角形（一）課型新授課使用時間教學目標知識與技能（1）掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應用定理解決與直角三角形有關的問題。（2）結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立過程與方法（1）進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發(fā)

33、展抽象思維（2）進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力情感態(tài)度與價值觀教學重點了解勾股定理及其逆定理的證明方法結合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立教學難點勾股定理及其逆定理的證明方法教法、學法分析引導啟發(fā)式通過溫故知新，知識遷移，引導學生發(fā)現新的結論，通過比較、分析，應用獲得的知識達到理解并掌握的目的.媒體使用和選擇二次備課教學過程1：創(chuàng)設情境，引入新課通過問題1，讓學生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質。問題1一個直角三角形房梁如圖所示，其中BCAC， BAC=30°，AB=10 cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分別是

34、B1、C1，那么BC的長是多少? B1C1呢?解：在RtABC中，CAB=30°，AB=10 cm，BCAB×105 cmCB1AB，B+BCB190°又A+B90°BCB1 A30°在RtACB1中，BB1BC×5 cm25 cmAB1ABBB1102.57.5(cm)在RtC1AB1中，A30°B1C1 AB1× 7.53.75(cm)解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經證明的“30°角的直角三角形的性質”由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質呢?”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數方格和割

35、補圖形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推導出的定理，能夠證明勾股定理嗎?請同學們打開課本P18，閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導出的定理，證明勾股定理的方法2：講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請有興趣的同學課后閱讀（1）勾股定理及其逆定理的證明已知：如圖，在ABC中，C90°，BCa，ACb，ABc求證：a2+b2c2證明：延長CB至D，使BDb，作EBDA，并取BEc，連接ED、AE(如圖)，則ABCBEDBDE90°，EDa(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)四邊形ACDE是直角梯形S梯形ACD

36、E(a+b)(a+b) (a+b)2ABE180°(ABCEBD)180°90°90°，ABBESABEc2S梯形ACDESABE+SABC+SBED，(a+b) 2 c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2c2 + ab,a2+b2c2教師用多媒體顯示勾股定理內容，用課件演示勾股定理的條件和結論，并強調具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結論你能證明此結論嗎?師生共同來完成已知：如圖：在ABC中，AB2+

37、AC2BC2求證：ABC是直角三角形分析：要從邊的關系，推出A90°是不容易的，如果能借助于ABC與一個直角三角形全等，而得到A與對應角(構造的三角形的直角)相等，可證證明：作RtABC，使A90°，ABAB，AC、AC(如圖)，則AB2AC2.(勾股定理)AB2AC2BC2，ABAB，ACBC2BC2BCBCABCABC（SSS）AA90°(全等三角形的對應角相等)因此，ABC是直角三角形總結得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形（2）互逆命題和互逆定理觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系?在前面的學習中還

38、有類似的命題嗎?通過觀察，學生會發(fā)現：上面兩個定理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結論，結論是第二個定理的條件這樣的情況，在前面也曾遇到過例如“兩直線平行，內錯角相等”，交換條件和結論，就得到“內錯角相等，兩直線平行”又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半”交換此定理的條件和結論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”。3：議一議觀察下面三組命題：學生以分組討論形式進行，最后在教師的引導下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)別與

39、聯(lián)系，要能夠清晰地分別出一個命題的題設和結論，能夠將一個命題寫出“如果；那么”的形式，以及能夠寫出一個命題的逆命題。活動中，教師應注意給予適度的引導，學生若出現語言上不嚴謹時，要先讓這個疑問交給學生來剖析，然后再總結。活動時可以先讓學生觀察下面三組命題： 如果兩個角是對頂角，那么它們相等如果兩個角相等，那么它們是對頂角如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎三角形中相等的邊所對的角相等三角形中相等的角所對的邊相等上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎?與同伴交流不難發(fā)現，每組第二個命題的條件是第一個命題的結論，第二個命題的結論是第一個命題的條件在兩個命題中，如果

40、一個命題條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題請同學們判斷每組原命題的真假逆命題呢?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第三組中，原命題和逆命題都是真命題由此我們可以發(fā)現：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題4：想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結論，然后把結論變換成條件，條件變換成結論，就得到了逆命題請學生寫出命題“如果兩個

41、有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？從而引導學生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎? 并通過具體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理 能舉例說出我們已學過的互逆定理?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內錯角相等”與“內錯角相等，兩直線平行”“全等三角形對應邊相等”和“三邊對應相等的三角形全等”、“等邊對等角”和“等角對等邊”等5：隨堂練習說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假;(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內旁內角互補；(3)如果ab0，那么

42、a0， b0分析互逆命題和互逆定理的概念，學生接受起來應不會有什么困難，尤其是對以“如果那么”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定困難可先分析命題的條件和結論，然后寫出逆命題解：(1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題(2)同旁內角互補，兩直線平行原命題與逆命題同為正(3)如果a0，60，那么ab0原命題是假命題，而逆命題是真命題6：課時小結這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結合數學和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進一步發(fā)展了演繹推理能力板書

43、設計2.直角三角形（一）教學反思主備人沙春紅使用人沙春紅審核參加人員沙春紅備課時間課題2.直角三角形（二）課型新授課使用時間教學目標知識與技能能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進一步理解證明的必要性利用“HL定理解決實際問題過程與方法進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維情感態(tài)度與價值觀進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維教學重點能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理。教學難點能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理。教法、學法分析引導啟發(fā)式通過溫故知新，知識遷移，引導學生發(fā)現新的結論

44、，通過比較、分析，應用獲得的知識達到理解并掌握的目的.媒體使用和選擇二次備課教學過程1：復習提問1.判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？2.已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，怎么畫？同學們相互交流。3、有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個角是直角呢？請證明你的結論。我們曾從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角”。那么我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明“等邊對等角”要求學生完成，一位學生的過程如下：已知：在ABC中， AB=AC 求證：B=C證明：過A作ADBC，垂足為C，ADB=

45、ADC=90°又AB=AC，AD=AD，ABDACD B=C（全等三角形的對應角相等）在實際的教學過程中，有學生對上述證明方法產生了質疑。質疑點在于“在證明ABDACD時，用了“兩邊及其中一邊的對角對相等的兩個三角形全等”而我們在前面學習全等的時候知道，兩個三角形，如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的可以畫圖說明(如圖所示在ABD和ABC中，AB=AB，B=B，AC=AD，但ABD與ABC不全等)” 也有學生認同上述的證明。教師順水推舟，詢問能否證明：“在兩個直角三角形中，直角所對的邊即斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”，從而引入新課。2：引入新課（1

46、）“HL”定理由師生共析完成已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90°，AB=AB，BC=BC求證：RtABCRtABC證明：在RtABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)又在Rt A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'RtABCRtA'B'C' (SSS)教師用多媒體演示：定理 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 這一定

47、理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示 從而肯定了第一位同學通過作底邊的高證明兩個三角形全等，從而得到“等邊對等角”的證法是正確的 練習：判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等； (2)斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等； (3)兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等； (4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等 對于（1）、（2）、（3）一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在了問題（4），學生感覺是真命題，一時有無法直接利用已知的定理支持，教師引導學生證明已知：RABC和RtA'B ' C'，C

48、=C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分別是AC、A'C'邊上的中線且BDB'D' (如圖)求證：RtABCRtA'B'C'證明：在RtBDC和RtB'D'C'中，BD=B'D',BC=B'C',RtBDCRtB 'D 'C ' (HL定理)CD=C'D'又AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，AC=A'C'在RtABC和RtA &#

49、39;B 'C '中，BC=B'C '，C=C '=90°，AC=A'C '，RtABCCORtA'B'C(SAS)通過上述師生共同活動，學生板書推理過程之后可發(fā)動學生去糾錯，教師最后再總結。3：做一做問題 你能用三角尺平分一個已知角嗎? 請同學們用手中的三角尺操作完成，并在小組內交流，用自己的語言清楚表達自己的想法（設計做一做的目的為了讓學生體會數學結論在實際中的應用，教學中就要求學生能用數學的語言清楚地表達自己的想法，并能按要求將推理證明過程寫出來。）4：議一議如圖，已知ACB=BDA=90°，要使

50、ACBBDA，還需要什么條件?把它們分別寫出來 這是一個開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已學過的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨立思考的基礎上，通過同學之間的交流，獲得各種不同的答案(教師一定要提供時間和空間，讓同學們認真思考，勇于向困難提出挑戰(zhàn))5： 例題學習如圖，在ABCA'B'C'中，CD，C'D'分別分別是高，并且ACA'C'，CD=C'D'ACB=A'C'B'求證：ABCA'B'C'分析：要證ABCA'B'C'，由已知中找到條

51、件：一組邊AC=A'C'，一組角ACB=A'C'B'如果尋求A=A'，就可用ASA證明全等；也可以尋求么B=B'，這樣就有AAS；還可尋求BC=B'C'，那么就可根據SAS注意到題目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'觀察圖形，這里有三對三角形應該是全等的，且題目中具備了HL定理的條件，可證的RtADCRtA'D'C'，因此證明A=A' 就可行證明：CD、C'D'分別是ABCA'B'C'的高(已知)，ADC

52、=A'D'C'=90°在RtADC和RtA'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D' (已知)，RtADCRtA'D'C' (HL)A=A'，(全等三角形的對應角相等)在ABC和A'B'C'中，A=A' (已證)，AC=A'C' (已知)，ACB=A'C'B' (已知)，ABCA'B'C' (ASA)6：課時小結本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應相等的兩

53、個三角形不一定全等而當一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法HL定理，并用此定理安排了一系列具體的、開放性的問題，不僅進一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學們演繹推理的能力同學們這一節(jié)課的表現，很值得繼續(xù)發(fā)揚廣大7：課后作業(yè)板書設計2. 直角三角形（二）教學反思主備人沙春紅使用人沙春紅審核參加人員沙春紅備課時間課題3線段的垂直平分線(一)課型新授課使用時間教學目標知識與技能能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點。過程與方法經歷猜想、探索，能夠作出符合條件的三角形情感態(tài)度與價值觀學會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結果。教學重點學會與他人合作，并能

54、與他人交流思維的過程和結果。教學難點學會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結果。教法、學法分析引導啟發(fā)式通過溫故知新，知識遷移，引導學生發(fā)現新的結論，通過比較、分析，應用獲得的知識達到理解并掌握的目的.媒體使用和選擇二次備課教學過程第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什么位置?其中“到兩個倉庫的距離相等”，要強調這幾個字在題中有很重要的作用線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸我們用折紙的方法，根據折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質：線段垂直平分線上的

55、點到線段兩個端點的距離相等所以在這個問題中，要求在“A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質就能完成進一步提問：“你能用公理或學過的定理證明這一結論嗎?”第二環(huán)節(jié)：性質探索與證明教師鼓勵學生思考，想辦法來解決此問題。通過討論和思考，引導學生分析并寫出已知、求證的內容。已知：如圖，直線MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點求證：PA=PB分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等證明：MNAB，PCA=PCB=90°AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS) ；PA=PB(全等三角形的對應邊相等)教師用多媒體完整演示證明過程 第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它