數(shù)學(xué)建模復(fù)習(xí)題西北農(nóng)林科大學(xué)計(jì)算機(jī)系

1、10級(jí)計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)模型復(fù)習(xí)資料西北農(nóng)林科大學(xué) 計(jì)算機(jī)專業(yè)相信這些都是重點(diǎn)的東西，大家一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取考好數(shù)模，祝大家考試順利第一部分（簡(jiǎn)答題）1敘述模型和數(shù)學(xué)模型的概念，并舉例說(shuō)明.（1）模型是指為了某個(gè)特定的目的將原型的某一部分信息簡(jiǎn)縮、提煉而構(gòu)造的原型替代物。（2）對(duì)某一實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法,通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)等對(duì)這一實(shí)際問(wèn)題近似刻劃所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),稱為此實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型.2寫出數(shù)學(xué)建模過(guò)程流程圖;數(shù)學(xué)建模過(guò)程流程圖為：實(shí)際問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)確定變量、參數(shù)歸結(jié)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)地、數(shù)值地 求解模型估計(jì)參數(shù)否 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?用實(shí)例或有關(guān)知識(shí))符合否？是評(píng)價(jià)、推廣并交付使用產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、

2、社會(huì)效益3建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟有哪些？1模型準(zhǔn)備(背景、目的、現(xiàn)象、數(shù)據(jù)、特征)2模型假設(shè)(合理性、簡(jiǎn)化性.但過(guò)份簡(jiǎn)單、過(guò)份詳細(xì)都不對(duì),或反映不了原問(wèn)題或無(wú)法表達(dá)模型,要充分發(fā)揮想象力、洞察力、判斷力,不斷修改或補(bǔ)充假設(shè))3模型構(gòu)成(建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu))4模型求解(包括推理、證明、數(shù)學(xué)地或數(shù)值地求解)5模型分析(數(shù)學(xué)意義分析、合理性分析、誤差分析、靈敏性分析)6模型檢驗(yàn)(接受實(shí)際檢驗(yàn)、往往在假設(shè)上)7模型應(yīng)用(取決于建模的目的)4寫出5個(gè)數(shù)學(xué)模型按照應(yīng)用領(lǐng)域分類的模型名稱.按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類 數(shù)學(xué)模型 5寫出5個(gè)按照建立數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)方法分類的模型名稱.按建模的數(shù)學(xué)方法分類數(shù)學(xué)模型 6寫出5個(gè)數(shù)

3、學(xué)模型按照建模目的分類的模型名稱.按建模目的來(lái)分類 數(shù)學(xué)模型 7. 長(zhǎng)方形椅子擺放問(wèn)題、人口問(wèn)題（習(xí)題8）、習(xí)題9.這些以小題形式出現(xiàn)（1）椅子擺放問(wèn)題認(rèn)真看書，要知道模型的假設(shè)和模型。（6-7頁(yè)）（2）人口問(wèn)題也要知道模型是怎么建的，兩種模型，指數(shù)增長(zhǎng)和阻滯增長(zhǎng)（9-13頁(yè)）（3）習(xí)題8和習(xí)題9的解答過(guò)程如下（考小題，這里大家要理解是如何做的）（23頁(yè)）8. 假定人口的增長(zhǎng)服從這樣的規(guī)律：時(shí)刻的人口為,單位時(shí)間內(nèi)人口的增量與成正比（其中為最大容量）.試建立模型并求解.作出解的圖形并與指數(shù)增長(zhǎng)模型、阻滯增長(zhǎng)模型的結(jié)果比較.解：現(xiàn)考察某地區(qū)的人口數(shù)，記時(shí)刻的人口數(shù)為（一般是很大的整數(shù)）,且設(shè)為連

4、續(xù)可微函數(shù).又設(shè).任給時(shí)刻及時(shí)間增量,因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與成正比, 假設(shè)其比例系數(shù)為常數(shù).則到內(nèi)人口的增量為： .兩邊除以,并令,得到 解為 如圖實(shí)線所示， 指數(shù)模型 當(dāng)充分大時(shí) 它與Logistic模型相近. Logistic模型 o t 9為了培養(yǎng)想象力、洞察力和判斷力，考察對(duì)象時(shí)除了從正面分析外，還常常需要從側(cè)面或反面思考.試盡可能迅速回答下面問(wèn)題：（1） 某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達(dá)山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：00回到旅店.某乙說(shuō)，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn).為什么？（2） 37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽

5、中出場(chǎng)的每?jī)芍蜿?duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束.問(wèn)共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽，共需進(jìn)行多少輪比賽.如果是支球隊(duì)比賽呢？解：（1）方法一：以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標(biāo)， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點(diǎn),兩天都在時(shí)刻經(jīng)過(guò)地點(diǎn). x d 方法二：設(shè)想有兩個(gè)人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時(shí)出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點(diǎn)記路程,設(shè)從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時(shí)刻走的路程為),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(>0

6、).由題意知：,.令,則有，由于,都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場(chǎng)比賽，因?yàn)槌谲婈?duì)外，每隊(duì)都負(fù)一場(chǎng)；6輪比賽，因?yàn)?隊(duì)賽1輪，4隊(duì)賽2輪，32隊(duì)賽5輪. 隊(duì)需賽場(chǎng)，若，則需賽輪.8傳染病模型、戰(zhàn)爭(zhēng)模型、房室模型、軍備競(jìng)賽模型.注：這幾個(gè)模型大家要能夠理解模型是如何建立的要寫得出相應(yīng)的模型，一定要記得住寫得出。傳染病模型（三個(gè)）見課本【136頁(yè)（5）式，137頁(yè)（9）式，139頁(yè)（14）式】戰(zhàn)爭(zhēng)模型見課本【148頁(yè)（1）式，149頁(yè)（3）式150頁(yè)（8）（9）式】房室模型見課本【154頁(yè)（3）式】軍備競(jìng)賽模型見課本【181頁(yè)（1）式，軍

7、備競(jìng)賽模型要能夠計(jì)算它的平衡點(diǎn)所以181頁(yè)（2）式-182頁(yè)（3）（4）（5）式都要明白。9層次分析模型（寫出層次結(jié)構(gòu)圖、層次分析步驟等）.這里給出兩個(gè)例子：層次分析模型大家要能夠根據(jù)題目的已知條件畫出層次結(jié)構(gòu)，【課本231頁(yè)】幾個(gè)基本步驟要知道，【課本235頁(yè)】那些圖作為參考大家要理解是怎么構(gòu)造的。（1）于省時(shí)、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項(xiàng)因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個(gè)方案中選一個(gè)，畫出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次結(jié)構(gòu)圖.越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益解：目標(biāo)層 建筑就 業(yè)岸間商 業(yè)當(dāng)?shù)厣虡I(yè)收入省時(shí) 準(zhǔn)則層修隧道建橋梁設(shè)渡輪 方案層 （2）述層次分析法的基本

8、步驟. 問(wèn)對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問(wèn)題要分成哪3個(gè)層次？具體內(nèi)容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造成對(duì)比較陣；（3）計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)；（4）計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn) 對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問(wèn)題，用層次分析法一般可分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次. 目標(biāo)層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準(zhǔn)則層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽(yù)、關(guān)系、位置等.10循環(huán)比賽（由得分向量寫出競(jìng)賽圖或鄰接矩陣、雙向連通圖、排名次等）.循環(huán)比賽雖然考小題，但是這里把練習(xí)答案附上，以便大家能更好更深刻

9、理解，怎么樣根據(jù)題畫圖寫矩陣和排名次。7. 右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競(jìng)賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次.21345解：這個(gè)5階競(jìng)賽圖是一個(gè)5階有向Hamilton圖.其一個(gè)有向Hamilton圈為3.所以此競(jìng)賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競(jìng)賽圖的鄰接矩陣為 令，各級(jí)得分向量為， ， ， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）.第二部分（大題） 老師給出的重點(diǎn)大題，大家一定要能夠做得出來(lái)，相信大題肯定在這部分中出做大題的時(shí)候，大家一定要仔細(xì)，如果不能完全把題做出來(lái)，你還記得的步驟或者是公式一定要寫上去，不要留空。差分

10、方程看書【205頁(yè)，207頁(yè)】2知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來(lái)近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（5）當(dāng)8時(shí)，顯然有 -（6）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，

11、由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為 由于老師說(shuō)了，差分方程模型是100%要考的，所以加多個(gè)題目，至于出什么大家自己去衡量。（2.1）在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來(lái)近似表示曲線和： -（1） -（2）從上述兩式中消去可得 ， -（3）上述（3）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（3）對(duì)應(yīng)的齊

12、次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當(dāng)8時(shí)，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為 捕魚模型在課本【77頁(yè)】課后練習(xí)【201頁(yè)】1，2題也要會(huì)做3設(shè)某漁場(chǎng)魚量(時(shí)刻漁場(chǎng)中魚的數(shù)量)的自然增長(zhǎng)規(guī)律為：其中為固有增長(zhǎng)率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù).（1）求漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn),并討論其穩(wěn)定性;（2）試確定捕撈強(qiáng)度,使?jié)O場(chǎng)單位時(shí)間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,并求此時(shí)漁場(chǎng)魚量水平.解：（1）.變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當(dāng)時(shí)，（1）無(wú)實(shí)根，此時(shí)無(wú)平衡點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，

13、（1）有兩個(gè)相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； 當(dāng)時(shí)，得到兩個(gè)平衡點(diǎn)： ， 易知 ， ， 平衡點(diǎn)不穩(wěn)定 ，平衡點(diǎn)穩(wěn)定. （2）最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為： 即 ， 易得 此時(shí) ，但這個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚量,且盡量接近,但不能等于.4.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長(zhǎng)規(guī)律的是Gompertz模型：其中和的意義與Logistic模型相同.設(shè)漁場(chǎng)魚量的自然增長(zhǎng)服從這個(gè)模型，又單位捕撈量為.討論漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度和漁場(chǎng)魚量水平.解：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記 令，得 ，平衡點(diǎn)為 .

14、 又， 平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)不穩(wěn)定. 0 最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：由前面的結(jié)果可得 ，令得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量，此時(shí)漁場(chǎng)魚量水平量綱分析模型也是100%要考的，大家一定要會(huì)做，還要看書【46頁(yè)】5.深水中的波速與波長(zhǎng)、水深、水的密度和重力加速度有關(guān)，試用量綱分析方法給出波速的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=LM0T0，=LM0T0，=L-3MT0， =LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱. -4分量綱矩陣為 A= 齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為= = 由量綱定理 得 , , ，其中是未定函數(shù) . 線性規(guī)劃問(wèn)題也是出題重點(diǎn)，一

15、點(diǎn)要會(huì)做，相信會(huì)出大題的。注意看書【82頁(yè)】6某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每件產(chǎn)品需要原材料、能源消耗、勞動(dòng)力及所獲利潤(rùn)如下表所示：品種原材料能源消耗(百元)勞動(dòng)力(人)利潤(rùn)(千元)甲2144乙3625現(xiàn)有庫(kù)存原材料1400千克；能源消耗總額不超過(guò)2400百元；全廠勞動(dòng)力滿員為2000人.試安排生產(chǎn)任務(wù)(生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少件),使利潤(rùn)最大,并求出最大利潤(rùn).解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，相應(yīng)的利潤(rùn)為S.則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為 模型的求解： 用圖解法.可行域?yàn)椋河芍本€組成的凸五邊形區(qū)域. 直線在此凸五邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過(guò)的交點(diǎn)時(shí)，S取最大值. 由 解得：（千元）. 故安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品400件、乙產(chǎn)品200件,可使利潤(rùn)最大,其最大利潤(rùn)為2600千元.7. 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤(rùn)如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤(rùn)（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過(guò)24立方米，重量不超過(guò)13百斤.試問(wèn)這兩種