概率完全解析

1、考綱導(dǎo)讀概率（一）事件與概率1了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別。2了解互斥事件、對立事件的意義及其運算公式.（二）古典概型1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。（三）隨機數(shù)與幾何概型1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義.概率隨機事件的概率等可能事件的概率互斥事件的概率相互獨立事件的概率應(yīng)用知識網(wǎng)絡(luò)高考導(dǎo)航概率則是概率論入門，目前的概率知識只是為進一步學(xué)習(xí)概率和統(tǒng)計打好基礎(chǔ)，做好鋪墊學(xué)習(xí)中要注意基本概念的理解，要注意與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，要通過一些典型問題的分析，總結(jié)

2、運用知識解決問題的思維規(guī)律縱觀近幾年高考，概率的內(nèi)容在選擇、填空解答題中都很有可能出現(xiàn)。第1課時 隨機事件的概率基礎(chǔ)過關(guān)1隨機事件及其概率(1) 必然事件：在一定的條件下必然發(fā)生的事件叫做必然事件(2) 不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件叫做不可能事件(3) 隨機事件：在一定的條件下，也可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件(4) 隨機事件的概率：一般地，在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件，這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作(5) 概率從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小，它的取值范圍是，必然事件的概率是1，不可能

3、事件的概率是02等可能性事件的概率(1) 基本事件：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件(2) 等可能性事件的概率：如果一次試驗由n個基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率是如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率：典型例題例11) 一個盒子裝有5個白球3個黑球，這些球除顏色外，完全相同，從中任意取出兩個球，求取出的兩個球都是白球的概率；(2) 箱中有某種產(chǎn)品a個正品，b個次品，現(xiàn)有放回地從箱中隨機地連續(xù)抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（ ）A B C D(3) 某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程，從

4、班級中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是多少？解：（1）從袋內(nèi)8個球中任取兩個球共有種不同結(jié)果，從5個白球中取出2個白球有種不同結(jié)果，則取出的兩球都是白球的概率為（2） （3）變式訓(xùn)練1. 盒中有1個黑球9個白球，它們除顏色不同外，其它沒什么差別，現(xiàn)由10人依次摸出1個球，高第1人摸出的是黑球的概率為P1，第10人摸出是黑球的概率為P10，則（ ）ABCP100DP10P1解：D例2. 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白球，兩甲、乙兩袋中各任取2個球.(1) 若n3，求取到的4個球全是紅球的概率；(2) 若取到4個球中至少有2個

5、紅球的概率為，求n.解：（1）記“取到的4個球全是紅球”為事件.（2）記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件B，“取到的4個球只有1個紅球”為事件B1，“取到的4個球全是白球”為事件B2，由題意，得所以，化簡，得7n211n60，解得n2，或（舍去），故n2.變式訓(xùn)練2：在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于（ ）ABCD解：A例3. 袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：(1) 取出3個小球上的數(shù)字互不相

6、同的概率；(2) 計分介于20分到40分之間的概率.解：（1）“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則（2）“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為C，則P(C)P(“3”或“4”)P(“3”)P(“4”)變式訓(xùn)練3：從數(shù)字1，2，3，4，5中任取3個，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，計算： 這個三位數(shù)字是5的倍數(shù)的概率；這個三位數(shù)是奇數(shù)的概率；這個三位數(shù)大于400的概率.解： 例4. 在一次口試中，要從20道題中隨機抽出6道題進行回答，答對了其中的5道就獲得優(yōu)秀，答對其中的4道就可獲得及格某考生會回答20道題中的8道題，試求：（1）他獲得優(yōu)秀的概率是多少？（2）他獲得及格

7、與及格以上的概率有多大？解：從20道題中隨機抽出6道題的結(jié)果數(shù)，即是從20個元素中任取6個元素的組合數(shù)由于是隨機抽取，故這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等(1)記“他答對5道題”為事件，由分析過程已知在這種結(jié)果中，他答對5題的結(jié)果有種，故事件的概率為(2)記“他至少答對4道題”為事件，由分析知他答對4道題的可能結(jié)果為種，故事件的概率為：答：他獲得優(yōu)秀的概率為，獲得及格以上的概率為變式訓(xùn)練4：有5個指定的席位，坐在這5個席位上的人都不知道指定的號碼，當(dāng)這5個人隨機地在這5個席位上就坐時.(1) 求5個人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；(2) 若在這5個人侍在指定位置上的概率不小于，則至多有幾個人坐在自

8、己指定的席位上？解：（1）（2）由于3人坐在指定位置的概率<，故可考慮2人坐在指定位置上的概率，設(shè)5人中有2人坐在指定位置上為事件B，則，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，則要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合題中條件時，至多2人坐在指定席位上 小結(jié)歸納1實際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及隨機事件隨機事件在現(xiàn)實世界中是廣泛存在的在一次試驗中，事件是否發(fā)生雖然帶有偶然性，當(dāng)在大量重復(fù)試驗下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)就叫做這個事件的概率2如果一次試驗中共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那

9、么事件A的概率從集合的角度看，一次試驗中等可能出現(xiàn)的所有結(jié)果組成一個集合I，其中事件A包含的結(jié)果組成I的一個子集A，因此從排列、組合的角度看，m、n實際上是某些事件的排列數(shù)或組合數(shù)因此這種“古典概率”的問題，幾乎使有關(guān)排列組合的計算與概率的計算成為一回事3利用等可能性的概率公式，關(guān)鍵在于尋找基本事件數(shù)和有利事件數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)第2課時 互斥事件有一個發(fā)生的概率1 的兩個事件叫做互斥事件2 的互斥事件叫做對立事件3從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此 事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集4由于集合是可以進行運算的，故可用集

10、合表示的事件也能進行某些運算設(shè)A、B是兩個事件，那么A+B表示這樣一個事件：在同一試驗中，A或B中 就表示A+B發(fā)生我們稱事件A+B為事件A、B的和它可以推廣如下：“”表示這樣一個事件，在同一試驗中，中 即表示發(fā)生，事實上，也只有其中的某一個會發(fā)生5如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于 即P(A+B) 6.由于是一個必然事件，再加上，故，于是 ，這個公式很有用，常可使概率的計算得到簡化當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時，可轉(zhuǎn)化去求其對立事件的概率典型例題例1. 某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21, 0.23, 0.25, 0.28，計算這個射手

11、在一次射擊中：射中10環(huán)或7環(huán)的概率；不夠7環(huán)的概率.解： 0.49； 0.03變式訓(xùn)練1. 一個口袋內(nèi)有9張大小相同的票，其號數(shù)分別是1，2，3，9，從中任取2張，其號數(shù)至少有1個為偶數(shù)的概率等于（ ）AB C D解：D例2. 袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是紅球的概率（2）3只顏色全相同的概率（3）3只顏色不全相同的概率（4）3只顏色全不相同的概率解：(1)記“3只全是紅球”為事件A從袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共會出現(xiàn)種等可能的結(jié)果，其中3只全是紅球的結(jié)果只有一種，故事件A的概率為(2) “3只顏色全相同”只可能是這樣三種情

12、況：“3只全是紅球”(事件A)；“3只全是黃球”(設(shè)為事件B)；“3只全是白球”(設(shè)為事件C)故“3只顏色全相同”這個事件為A+B+C，由于事件A、B、C不可能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件再由于紅、黃、白球個數(shù)一樣，故不難得，故(3) 3只顏色不全相同的情況較多，如是兩只球同色而另一只球不同色，可以兩只同紅色或同黃色或同白色等等；或三只球顏色全不相同等考慮起來比較麻煩，現(xiàn)在記“3只顏色不全相同”為事件D，則事件為“3只顏色全相同”，顯然事件D與是對立事件(4) 要使3只顏色全不相同，只可能是紅、黃、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到紅、黃、白各一只的可能結(jié)果有種，故3只顏色全不相同的概率為變式

13、訓(xùn)練2. 從裝有個紅球和個黑球的口袋內(nèi)任取個球，那么互斥而不對立的兩個事件是 （ ）A至少有1個黑球與都是黑球B至少有1個黑球與至少有1個紅球C恰有1個黑球與恰有2個黑球D至少有1個黑球與都是紅球解：C例3. 設(shè)人的某一特征（如眼睛大?。┦怯伤囊粚蛩鶝Q定的，以d表示顯性基因，r表示隱性基因，則具有dd基因的人為純顯性，具有rr基因的人是純隱性，具有rd基因的人為混合性，純顯性與混合性的人都顯露顯性基因決定的一某一特征，孩子從父母身上各得到一個基因，假定父母都是混合性，問：1個孩子有顯性決定特征的概率是多少？2個孩子至少有一個顯性決定特征的概率是多少？解：；變式訓(xùn)練3. 盒中有6只燈泡，其

14、中2只是次品，4只是正品，從其中任取兩只，試求下列事件的概率： 取到兩只都是次品； 取到兩只中正品、次品各1只； 取到兩只中至少有1只正品解： 例4. 從男女學(xué)生共36名的班級中，任意選出2名委員，任何人都有同樣的當(dāng)選機會，如果選得同性委員的概率等于，求男女相差幾名？解: 設(shè)男生有名，則女生有36-名，選得2名委員都是男生的概率為：選得2名委員都是女生的概率為以上兩種選法是互斥的，又選得同性委員的概率是得：解得：或即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名總之，男、女生相差6名變式訓(xùn)練4. 學(xué)校某班學(xué)習(xí)小組共10小，有男生若干人，女生若干人，現(xiàn)要選出3人去參加某項調(diào)查活動，已

15、知至少有一名女生去的概率為，求該小組男生的人數(shù)？解：6人小結(jié)歸納1互斥事件概率的加法公式、對立事件概率的加法公式，都必須在各個事件彼此互斥的前提下使用2要搞清兩個重要公式：的運用前提3在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率第3課時 相互獨立事件同時發(fā)生的概率基礎(chǔ)過關(guān)1事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率 ，這樣的兩個事件叫獨立事件2設(shè)A，B是兩個事件，則A·B表示這樣一個事件：它的發(fā)生，表示事件A，B ，類似地可以定義事件A1·A2·An.3兩個相互獨立事件A，

16、B同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A·B) 一般地，如果事件相互獨立，那么：P(A1·A2An) .4n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是典型例題例1. 如圖所示，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)、，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時，系統(tǒng)正常工作，當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有1個正常工作時系統(tǒng)正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.8、0.9、0.9，分別求系統(tǒng)、正常工作時的概率解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，由已知條件()因為事件

17、A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)正常工作的概率 故系統(tǒng)正常工作的概率為0.648.()系統(tǒng)正常工作的概率 故系統(tǒng)正常工作的概率為0.792變式訓(xùn)練1. 有甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲地的合格率為90%，乙地的合格率為92%，從兩地生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取1 件，都抽到合格品的概率等于（ ）A112% B9.2% C82.8% D0.8%解：C例2. 箱內(nèi)有大小相同的20個紅球，80個黑球，從中任意取出1個，記錄它的顏色后再放回箱內(nèi)，進行攪拌后再任意取出1個，記錄它的顏色后又放回，假設(shè)三次都是這樣抽取，試回答下列問題：求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球”的概率；求事件B：“三次

18、中恰有一次取出紅球”的概率.解：（ ； 變式訓(xùn)練2：從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出1 個紅球的概率是，從兩袋中各摸出1個球，則等于 （ ）A2個球不都是紅球的概率B2個球都是紅球的概率C至少有1個紅球的概率D2個球中恰好有1個紅球的概率解：C例3. 兩臺雷達獨立工作，在一段時間內(nèi)，甲雷達發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率是0.9，乙雷達發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率是0.85，計算在這一段時間內(nèi)，下列各事件的概率：（1）甲、乙兩雷達均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；（2）至少有一臺雷達發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；（3）至多有一臺雷達發(fā)現(xiàn)目標(biāo)解：0.015; 0.985; 0.235變式訓(xùn)練3：甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，甲做對的概率為，甲、乙、丙

19、三人都做對的概率是，甲、乙、丙三人全做錯的概率是（1）求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做對這一道題的概率解： ,或,；例4. 有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90，（1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有兩件不合格的概率（精確到0.01）解:設(shè)三種產(chǎn)品各取一件，抽到的合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C()因為事件A、B、C相互獨立，恰有一件不合格的概率為 答：恰有一件不合格的概率為0.176.()解法一：至少有兩件不合格的概率為答：至少有兩件不合格的概率為0.012.解法二：三件都合格的概率為：由()可知恰好有一件不合格的概率為0.176，所以至少有兩件不合格的概

20、率為答：至少有兩件不合格的概率為0.012.變式訓(xùn)練4. 甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.小結(jié)歸納解：,；1當(dāng)且僅當(dāng)事件與事件互相獨立時，才有 ，故首先要搞清兩個事件的獨立性2獨立重復(fù)試驗在概率論中占有相當(dāng)重要地地位，這種試驗的結(jié)果只有兩種，我們主要研究在n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生k次的概率：，

21、其中P是1 次試驗中某事件發(fā)生的概率，其實正好是二項式的展開式中的第k+1項，很自然地聯(lián)想起二項式定理第4課時 離散型隨機變量的分布列基礎(chǔ)過關(guān)1如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做 ，隨機變量通常用希臘字母，等表示2如果隨機變量可能取的值 ，那么這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量3從函數(shù)的觀點來看，P(xk)Pk，k1， 2， ，n，稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)或概率分布，這個函數(shù)可以用 表示，這個 叫做離散型隨機變量的分布列4離散型隨機變量分布列的性質(zhì)(1) 所有變量對應(yīng)的概率值（函數(shù)值）均為非負數(shù)，即 (2) 所有這些概率值的總和為 即 (3) 根據(jù)互斥事件的概率公式，

22、離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的 5二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率 ，有了這個函數(shù)，就能寫出它的分布列，由于是二項式展開式的通項，所以稱這個分布為二項分布列，記作典型例題例1. 袋子中有1個白球和2個紅球 每次取1個球，不放回，直到取到白球為止求取球次數(shù)的分布列 每次取1個球，放回，直到取到白球為止求取球次數(shù)的分布列 每次取1個球，放回，直到取到白球為止，但抽取次數(shù)不超過5次求取球次數(shù)的分布列 每次取1個球，放回，共取5次求取到白球次數(shù)的分布列解： 所求的分布列是123每次取到白球的概率是，不取到

23、白球的概率是，所求的分布列是123P12345P P(k)C5k()k·()5k，其中所求的分布列是012345P變式訓(xùn)練1. 是一個離散型隨機變量，其分布列為-101則q （ ）A1BCD解：D例2. 一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以表示取出球的最大號碼，求的分布列解：隨機變量的取值為3，4，5，6從袋中隨機地取3個球，包含的基本事件總數(shù)為，事件“”包含的基本事件總數(shù)為，事件“”包含的基本事件總數(shù)為；事件“”包含的基本事件總數(shù)為；事件包含的基本事件總數(shù)為；從而有隨機變量的分布列為：3456變式訓(xùn)練2：現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占

24、30%，從中任取2粒，記為2粒中優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則的分布列是 . 解：012P0.490.420.09例3. 一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響，假設(shè)該時刻有部電話占線，試求隨機變量的概率分布. 解：012340.090.30.370.20.04變式訓(xùn)練3：將編號為1，2，3，4的賀卡隨意地送給編號為一，二，三，四的四個教師，要求每個教師都得到一張賀卡，記編號與賀卡相同的教師的個數(shù)為，求隨機變量的概率分布. 解：0124P小結(jié)歸納1本節(jié)綜合性強，涉及的概念、公式較多，學(xué)習(xí)時應(yīng)準(zhǔn)確理解

25、這些概念、公式的本質(zhì)內(nèi)涵，注意它們的區(qū)別與聯(lián)系例如，若獨立重復(fù)試驗的結(jié)果只有兩種（即與，是必然事件），在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率就是二項式展開式中的第項，故此公式稱為二項分布公式；又如兩事件的概率均不為0，1時，“若互斥，則一定不相互獨立”、“若相互獨立，則一定不互斥”等體現(xiàn)了不同概念、公式之間的內(nèi)在聯(lián)系2運用 P(A·B)P(A)·P(B)等概率公式時，應(yīng)特別注意各自成立的前提條件，切勿混淆不清例如，當(dāng)為相互獨立事件時，運用公式便錯3獨立重復(fù)試驗是指在同樣條件下可重復(fù)進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩重結(jié)果（即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生），

26、并且在任何一次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只是有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣4解決概率問題要注意“三個步驟，一個結(jié)合”：（1）求概率的步驟是：和事件積事件第一步，確定事件性質(zhì)，即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種第二步，判斷事件的運算，即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件第三步，運用公式求得等可能事件：互斥事件：P(AB)P(A)P(B)，P(A·B)0 獨立事件：P(A·B)P(

27、A)·P(B)等 n 次獨立重復(fù)試驗：（2）概率問題常常與排列組合問題相結(jié)合第4課時 離散型隨機變量的期望與方差基礎(chǔ)過關(guān)1若離散型隨機變量的分布列為.則稱 為的數(shù)學(xué)期望它反映了離散型隨機變量取值的平均水平2對于隨機變量，稱 為的方差的算術(shù)平方根 叫做的標(biāo)準(zhǔn)差隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的 3數(shù)學(xué)期望與方差產(chǎn)生的實際背景與初中平均數(shù)及樣本方差這兩個概念有關(guān)平均數(shù)：樣本方差：以上兩式中恰是出現(xiàn)的頻率這與數(shù)學(xué)期望與方差的定義式一致4數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)：若（為隨機變量），則 ， 典型例題5服從二項分布的隨機變量的期望與方差：若, 則例1 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講

28、比賽，設(shè)隨機變量表示所選3人中女生的人數(shù)求的分布列；求的數(shù)學(xué)期望；求“所選3人中女生人數(shù)1”的概率.解：012PE1變式訓(xùn)練1：如果袋中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)為取得紅球的次數(shù)，則的期望（ ）ABCD解：B例2 拋擲兩個骰子,當(dāng)至少有一個5點或6點出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,求在30次試驗中成功次數(shù)的期望和方差.解:,其中.所以變式訓(xùn)練2：布袋中有大小相同的4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機取出4只球，設(shè)取到一只紅球得1分，取到一只黑球得3分，試求得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望解：例3 甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下表：射手甲 擊中環(huán)數(shù)8910

29、概率0.60.2射手乙擊中環(huán)數(shù)8910概率0.40.4用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平解：甲乙兩名射手所得環(huán)數(shù)的平均值相等，但射手甲所得環(huán)數(shù)比較集中，射手乙所得環(huán)數(shù)比較分散，射手甲射擊水平較穩(wěn)定變式訓(xùn)練3：某商場根據(jù)天氣預(yù)報來決定節(jié)日是在商場內(nèi)還是在商場外開展促銷活動，統(tǒng)計資料表明，每年五一節(jié)商場內(nèi)的促銷活動可獲得經(jīng)濟效益2.5萬元，商場外的促銷活動如果不遇到有雨天可獲得經(jīng)濟效益12萬元，如果促銷活動遇到有雨天，則帶來經(jīng)濟損失5萬元，4月30號氣象臺預(yù)報五一節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，問商場應(yīng)該采取哪種促銷方式？解：采用場外促銷方式例4 某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)

30、生的概率為0.3，一旦發(fā)生，可造成400萬元的損失，現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用單獨采用甲、乙預(yù)防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后，此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨采用，聯(lián)合采用或不采用，試確定預(yù)防方案使總費用最少（總費用采取預(yù)防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值）.解：聯(lián)合甲、乙，總費用最少為81萬元變式訓(xùn)練4：假設(shè)1部機器在1天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時，全天停止工作，若1周的5個工作日里無故障，可獲得利潤10萬元，發(fā)生1次故障仍可獲得利潤5萬元；發(fā)生2次故障所獲利潤為0；發(fā)生3次或3次以

31、上故障就要虧損2萬元，求1周的期望利潤是多少？（精確到0.001）.解：用隨機變量表示1周5天內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)，則服從地一項分布B(5,0.2)，從而，P(2)0.205P(3)0.057設(shè)為所獲得利潤，則E10×0.3285×0.4100×0.2052×0.0575.215（萬元）小結(jié)歸納1數(shù)學(xué)期望與方差，標(biāo)準(zhǔn)差都是離散型隨機變量最重要的數(shù)字特征，它們分別反映了隨機變量取值的平均水平、穩(wěn)定程度、集中與離散的程度離散型隨機變量的期望與方差都與隨機變量的分布列緊密相連，復(fù)習(xí)時應(yīng)重點記住以下重要公式與結(jié)論：一般地，若離散型隨機變量的分布列為則期望，方差，標(biāo)準(zhǔn)

32、差若，則，這里概率章節(jié)測試題一、選擇題1已知非空集合A、B滿足AB，給出以下四個命題：若任取xA，則xB是必然事件若xA，則xB是不可能事件若任取xB，則xA是隨機事件若xB，則xA是必然事件其中正確的個數(shù)是( )A、1B、2C、3D、42一射手對同一目標(biāo)獨立地射擊四次，已知至少命中一次的概率為，則此射手每次射擊命中的概率為（ ）A. B. C. D. 3設(shè)是離散型隨機變量，且，現(xiàn)已知：，則的值為（ ）(A)(B)(C) (D) 4福娃是北京2008年第29屆奧運會吉祥物，每組福娃都由“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”這五個福娃組成甲、乙兩位好友分別從同一組福娃中各隨機選擇一個福

33、娃留作紀(jì)念，按先甲選再乙選的順序不放回地選擇，則在這兩位好友所選擇的福娃中，“貝貝”和“晶晶”恰好只有一個被選中的概率為（ ）A B C D 5（漢沽一中20082009屆月考文9）.面積為S的ABC，D是BC的中點，向ABC內(nèi)部投一點，那么點落在ABD內(nèi)的概率為 ( )A. B. C. D. 6（漢沽一中20082009屆月考文9）.面積為S的ABC，D是BC的中點，向ABC內(nèi)部投一點，那么點落在ABD內(nèi)的概率為 ( )A. B. C. D. 7在圓周上有10個等分，以這些點為頂點，每3個點可以構(gòu)成一個三角形，如果隨機選擇了3個點，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是（ ）A. B. C. D. 8已

34、知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽車的準(zhǔn)時到站率為60%，則他在3天乘車中，此班次公共汽車至少有2天準(zhǔn)時到站的概率為（ ）ABCD9甲、乙、丙三位同學(xué)上課后獨立完成5道自我檢測題，甲及格概率為，乙及格概率為，丙及格概率為，則三人中至少有一人及格的概率為（ ）AB CD10從集合中隨機取出6個不同的數(shù)，在這些選法中，第二小的數(shù)為的概率是A. B. C. D.二、填空題11已知離散型隨機變量的分布列如右表若，則 ， 12點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為 。136位身高不同的同學(xué)拍照，要求分成兩排，每排3人，則后排每人均比其前排的同學(xué)身材要

35、高的概率是_.14從分別寫有的五張卡片中第一次取出一張卡片，記下數(shù)字后放回，再從中取出一張卡片.兩次取出的卡片上的數(shù)字和恰好等于4的概率是 .三、解答題15將、兩枚骰子各拋擲一次，觀察向上的點數(shù)，問：（1）共有多少種不同的結(jié)果？（2）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？（3）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？16甲、乙兩人進行摸球游戲，一袋中裝有2個黑球和1個紅球。規(guī)則如下：若一方摸中紅球，將此球放入袋中，此人繼續(xù)摸球；若一方?jīng)]有摸到紅球，將摸到的球放入袋中，則由對方摸彩球。現(xiàn)甲進行第一次摸球。(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次紅球的所有情況；（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中兩次紅球的概率；（3

36、）設(shè)是前三次摸球中，甲摸到的紅球的次數(shù)，求隨機變量的概率分布與期望.17某商場舉行抽獎活動，從裝有編號0，1，2，3四個小球的抽獎箱中，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，取出的兩個小球號碼相加之和等于5中一等獎，等于4中二等獎，等于3中三等獎（1）求中三等獎的概率；（2）求中獎的概率18將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是.（1）求小球落入袋中的概率;（2）在容器入口處依次放入4個小球,記為落入袋中小球的個數(shù),試求的概率和的數(shù)學(xué)期望.19某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29，計算這個射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)(最高環(huán)數(shù))的概率.20學(xué)校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且(1) 求文娛隊的人數(shù)；(2) 寫出的概率分布列并計算（1）求恰有兩件合格的概率；（2）求至少有兩件不合格的概率。22有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是10%。（1）連續(xù)抽取兩件產(chǎn)品，求兩件產(chǎn)品均為正品的概率；（2）對這批產(chǎn)品進行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽