線性代數(shù)各章學(xué)習(xí)要點(diǎn)3VIP

1、第3章 n維向量和線性方程組向量是線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)，對(duì)邏輯推理有較高的要求。本章從研究向量的線性關(guān)系（線性組合、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)）出發(fā)，然后討論向量組含最多的線性無(wú)關(guān)向量的個(gè)數(shù)，即引出向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組，最后，應(yīng)用向量空間的理論研究線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。無(wú)論是證明、判斷、還是計(jì)算，關(guān)鍵在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用。31 n維向量及其運(yùn)算定義（n維向量）由數(shù)域F中的n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組（）或稱為數(shù)域F上的一個(gè)n維向量，前者稱為行向量，后者稱為列向量，其中稱為向量的分量（或坐標(biāo)）。分量是實(shí)（復(fù)）數(shù)的向量稱為實(shí)（復(fù)）向量。如果沒(méi)有特殊的聲明，以下所

2、討論指數(shù)域F上的向量。行向量可以看成行矩陣，列向量看成列矩陣，向量的運(yùn)算規(guī)定按矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行。以下討論的向量，再?zèng)]有指明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量。設(shè)有向量 （），則向量相等的定義為=（i=1,2,n）向量的加法定義為=數(shù)乘向量的定義為（）向量的加法以及數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，它滿足下列8條運(yùn)算規(guī)律（其中為n維向量，k,l為常數(shù)）：（1）+=+；（2）（+）+=+（+）；（3）存在零向量0=（），使得+0=；（4）存在的負(fù)向量=(),使得+（）=0；（5）1=；（6）k(l)=(kl) ；（7）k(+)=k+k；（8）（k+l）=k+l;如果記矩陣的第j列向量為：，（j=1,

3、2,n）則由向量的線性運(yùn)算，可將方程組Ax=b寫成下列形式：而齊次線性方程組Ax=0則可寫成向量形式：32 向量組的線性相關(guān)性定義（線性組合）設(shè)一組n 維向量， 是 一組常數(shù)，則稱向量為向量的一個(gè)線性組合，并稱為該線性組合的系數(shù)。定義（線性表示）對(duì)于n維向量，如果存在一組常數(shù)。使得=或Ax=有解，其中矩陣A=。則稱向量可由向量組線性表示。定理 向量可由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣A=的秩等于矩陣=，的秩。由于非齊次線性方程組解的情況只有3 種：無(wú)解，有唯一解，有無(wú)窮解。所以，線性表示問(wèn)題對(duì)應(yīng)的只有3 種情況：不能表示，唯一表示，無(wú)窮多種表示法。例如，對(duì)于向量組則不能由，線性表示。又如，對(duì)

4、于向量組，則可由，唯一的線性表示為：=+。再如，對(duì)于向量組，則有=（1+c）+（1-c）+c （c為任意常數(shù)）可見，可由，線性表示，但表示法是無(wú)窮的。定義（線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)）設(shè)一組n維向量，如果存在一組不全為零的常數(shù)，使得=0則稱向量組線性相關(guān)。否則，稱向量組線性無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，僅在時(shí)才成立，則稱線性無(wú)關(guān)。由定義知，向量組線性相關(guān)，也就是齊次線性方程組或Ax=0有非零解，其中矩陣A=。定理 向量組線性相關(guān)的充分必要條件是矩陣A=的秩小于m；線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣A=的秩等于m.以下是有關(guān)向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的其他一些常用性質(zhì)及判別法。定理 向量組（m>1）線性相關(guān)的充分必要條

5、件是該組中至少有一個(gè)向量可由其他m-1個(gè)向量線性表出。換言之，向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是該組中任何一向量都不能由其他m-1個(gè)，向量線性表示。定理 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則可由線性表出，且表示法唯一。定理 如果向量組U的一個(gè)部分組線性相關(guān)，則向量組U線性相關(guān)（特別的，含有零向量的向量組線性無(wú)關(guān)）。換言之，線性無(wú)關(guān)組的任何一個(gè)部分組必線性無(wú)關(guān)。定理 設(shè)有r維向量組，給分別添加一個(gè)分量，得r+1維向量組，如果線性無(wú)關(guān)，則任意添加分量后所得的向量組也線性無(wú)關(guān)，換言之，若向量組線性相關(guān)，則也線性相關(guān)。定義（等價(jià)向量租）設(shè)有向量組（I）和（II），如果（I）中每一個(gè)向量都可由（II）線性

6、表示，則稱（I）可由（II）線性表示；如果（I）和（II）可以互相線性表示，則稱（I）和（II）等價(jià)?？偵?，有下表：線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)存在不全為零，使得=0僅當(dāng)時(shí)才有=0向量組的部分向量組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)向量組的一部分向量組也線性無(wú)關(guān)m=1時(shí)，=0m=1時(shí)，m=2時(shí)， 與對(duì)應(yīng)分量成比例m=2時(shí)， 與對(duì)應(yīng)分量不成比例R(A)<m當(dāng)m=n，|A|=0R(A)=m當(dāng)m=n，|A| 0m>n時(shí)，必線性相關(guān)線性相關(guān)向量組減少對(duì)應(yīng)位置的分量得到的向量組仍線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)向量組在對(duì)應(yīng)位置上增加分量得到的向量組仍線性無(wú)關(guān)定理 設(shè)向量組（I）：可由向量組（II）：線性表示，（1

7、） 若r>s,則（I）線性相關(guān)。（2） 若（I）線性無(wú)關(guān)，則rs.推論1 等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所含有的向量的個(gè)數(shù)相同。推論2 若m>n，則個(gè)維向量必線性無(wú)關(guān)。特別的，個(gè)n維向量線性相關(guān)。33 向量組的極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩定義（向量組的極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩）設(shè)向量組U中的向量滿足：（1）線性無(wú)關(guān)（2）對(duì)于U中的任意向量可由線性表示。則稱為向量組U的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組（或最大無(wú)關(guān)組）；極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r成為向量組的秩。只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組，規(guī)定它的秩為零。向量組的秩記作r（）。定理 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。定理 設(shè)向量組（I）可由向量組

8、（II）線性表示，則（I）的秩不大于（II）的秩。推論1等價(jià)的向量組的秩相等。推論2 設(shè)，即：乘積矩陣的秩不大于每個(gè)因子矩陣的秩。關(guān)于滿秩方陣的等價(jià)條件的小結(jié) ：設(shè)A為n 階方陣，則下列條件相互等價(jià)：（1） |A| 0；（2） A可逆；（3） r(A)=n;（4） 齊次線性方程組Ax=0只有零解；（5） 對(duì)任何n維列向量b ，線性方程組Ax=b有唯一解（6） A的行（列）等價(jià)于同階單位矩陣E.（7） A可以寫成若干個(gè)初等矩陣的乘積；（8） A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)。由以上條件中的（1）與（8）等價(jià)，提供了判定n 個(gè)n 維向量線性相關(guān)的常用方法：以這n 個(gè)n維向量組成的n 階方陣A（A的行（或

9、列）向量組為給定向量組）若|A| =0，則該向量組線性相關(guān)；若|A| 0，則該向量組線性無(wú)關(guān)。求向量組的秩一般方法是：一給定的向量組組成的矩陣A（A的列（行）向量組為給定的向量組），用初等變換將A 化成階梯形矩陣B，則B中非零行的個(gè)數(shù)就是給定的向量組的秩。求向量組的極大無(wú)關(guān)組的一般方法是：以為列向量組構(gòu)成的矩陣A,即令A(yù)=（如果均為行向量，則令A(yù)=），并用初等變換將A 化成階梯形矩陣，設(shè)階梯形矩陣的首非零元所在列的序號(hào)為，則為向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 。34 線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的性質(zhì)：性質(zhì)1 若是方程組Ax=0的解，則也是方程組Ax=0的解。性質(zhì)2 若為方程組Ax=0的解，k 為

10、常數(shù)，則也是方程組的解。由齊次線性方程組的解的性質(zhì)知道，Ax=0的解集合S對(duì)向量的線性運(yùn)算封閉，因此S構(gòu)成線性空間，稱S為方程組Ax=0的解空間。定理 n 元齊次線性方程組Ax=0的全體解向量所構(gòu)成的集合S是一個(gè)向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩r(A)=r時(shí)，解空間S的維數(shù)為n-r.方程組Ax=0的解空間的基又稱為Ax=0的基礎(chǔ)解系。由上述定理知，當(dāng)r(A)=r<n時(shí)，n元齊次線性方程組Ax=0存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含有向量的個(gè)數(shù)為n-r。設(shè)向量組為方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的通解（或一般解）為：x=（為任意常數(shù)，i=1,2,n-r）亦稱上式為方程組Ax=0的結(jié)構(gòu)式通解。求解齊次方

11、程組的基礎(chǔ)解系的一般步驟如下：第1步：用初等變換將A化成階梯形矩陣，并求出r(A).若r(A)=n，則Ax=0沒(méi)有基礎(chǔ)解系；若r（A）=r<n，則繼續(xù)進(jìn)行下面的步驟；第2步：將A用行變換化為規(guī)范的階梯形矩陣B.第3步：以B為系數(shù)陣的同解方程組Bx=0并移項(xiàng)添項(xiàng)得到通解及基礎(chǔ)解系。非齊次線性方程組的性質(zhì)如下：性質(zhì)1 設(shè)都是非齊次方程組Ax=b的解，則為對(duì)應(yīng)的齊次方程組Ax=0的解。性質(zhì)2 設(shè)是Ax=b的解，為方程組Ax=0的解，則是Ax=b的解。定理（非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理）設(shè)為非齊次方程組Ax=b的一個(gè)特解，則Ax=b的任意解可以表示為：其中為方程組Ax=0的解。由上述定理可知道

12、，如果為方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，為為非齊次方程組Ax=b的一個(gè)特解，則方程組Ax=b的通解為：x=（為任意常數(shù)，i=1,2,n-r）求解n 元齊次方程組Ax=b的一般步驟如下：第1步：用初等變換將增廣矩陣階梯形矩陣，并求出r(A)及r().若r(A)<r()，則無(wú)解；若r(A)=r()=n,則有唯一解，這時(shí)可從階梯形方程組的最后一個(gè)方程開始由上往下回代求出這個(gè)解，也可通過(guò)將增廣矩陣進(jìn)行一步化成最簡(jiǎn)形矩陣而求出這個(gè)解，若r(A)=r()=r<n，則方程組有無(wú)窮多個(gè)解，繼續(xù)進(jìn)行下面的步驟；第2步：求出導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系；第3 步：求出Ax=b的一個(gè)特解；第4步：寫出通解：。35

13、 重點(diǎn)與難點(diǎn)本章的重點(diǎn)是向量組的線性相關(guān)性、線性方程組的解的理論與求解方法，難點(diǎn)是向量組的線性相關(guān)性。1 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)是兩個(gè)基本概念，有一定的抽象性，理論多，方法多，定義多，因而他們既是本章的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，讀者需注意以下幾點(diǎn):（1） 徹底弄清楚向量線性相關(guān)和無(wú)關(guān)的定義向量組線性相關(guān)，是指存在存在一組不全為零的常數(shù)，使得=0這里“不全為零”不同于“全不為零”。向量組（m>1）線性相關(guān)該組中至少有一個(gè)向量可由其他m-1個(gè)向量線性表出。注意：“存在一個(gè)”不同于“其中每一個(gè)”。向量組線性無(wú)關(guān)，是指若有一組常數(shù)，使得=0，則有。換句話說(shuō)，所謂向量組線性無(wú)關(guān)，是指對(duì)

14、于任意一組不全為零的常數(shù)，都有。向量組（m>1）線性無(wú)關(guān)該組中任意一個(gè)向量都不能由其余m-1個(gè)向量線性表示，注意這里的“任意一個(gè)”不同于“存在一個(gè)”。（2） 正確理解有關(guān)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的性質(zhì)，正確區(qū)分充分條件、必要條件及充要條件。命題“部分組線性相關(guān)，則整體組線性相關(guān)”與命題“整體線性無(wú)關(guān)，則任何部分無(wú)關(guān)”二者是等價(jià)的。命題“給線性無(wú)關(guān)向量組中每個(gè)向量在相同位置上任意添加分量，則所得向量仍線性無(wú)關(guān)”與命題“給線性相關(guān)向量組中每個(gè)向量去掉相同位置上的分量去掉相同位置上的分量，則所得的向量組仍線性相關(guān)”互為逆命題，二者是等價(jià)的。（3） 弄清向量組的線性相關(guān)性與齊次線性方程組及矩陣的秩的關(guān)

15、系。 向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解矩陣A=的秩小于m.向量組線性無(wú)關(guān)齊次線性方程組只有零解矩陣A=的秩等于m.。（4） 掌握判別向量組的線性相關(guān)性的常用方法如果向量的分量都已經(jīng)給出，一般可由矩陣A=的秩來(lái)判別向量組的線性相關(guān)性。特別的，對(duì)于m個(gè)m維向量，則可由矩陣A=的行列式是否為零，來(lái)判別的線性相關(guān)性，即當(dāng)|A|=0時(shí)，線性相關(guān)；而當(dāng)|A|0時(shí)，線性無(wú)關(guān)。如果向量的分量沒(méi)有具體給出，則常用以下方法判別其線性相關(guān)性：（1） 利用定義。即從=0出發(fā)，根據(jù)已知條件或化為齊次線性方程組，或通過(guò)對(duì)該式作變換等方法，要么推出存在不全為零的使得該式子成立。此時(shí)向量組線性相關(guān)；要么推出此式僅在時(shí)才成

16、立，此時(shí)向量組線性無(wú)關(guān)。（2） 利用有關(guān)結(jié)論。例如：?jiǎn)蝹€(gè)向量線性相關(guān)，就是=0，一個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，就是0；兩個(gè)向量與線性相（無(wú)）關(guān)，當(dāng)且近當(dāng)與的對(duì)應(yīng)分量成正比（不成比例）。多于n個(gè)的n維向量必線性相關(guān)。部分組線性相關(guān)，則整體組線性相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，部分無(wú)關(guān)?？捎删€性表示，且r>s，則線性相關(guān)。（3） 利用向量組的秩。即當(dāng)r（）<m時(shí)，向量組線性相關(guān)；當(dāng)r（）=m時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)。（4） 利用矩陣的秩。例如，若向量組線性無(wú)關(guān)，且有矩陣A，使得=A則向量組線性無(wú)關(guān)矩陣A的秩等于s.2 線性方程組的解的理論與求解方法線性代數(shù)主要研究對(duì)象是有限維線性問(wèn)題，而線性方程組是最簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題，所

17、以，研究線性方程組的解的理論即求解方法是線性代數(shù)的基本任務(wù)之一，應(yīng)給與足夠的重視。3 齊次線性方程組設(shè)A為矩陣，n 元齊次線性方程組Ax=0的解的情況只有以下兩種：A的列向量組線性相關(guān)r(A)<n有非零解Ax=0A的列向量組線性無(wú)關(guān)r(A)=n只有零解當(dāng)r（A）<n時(shí)，Ax=0有非零解，由齊次線性方程組的解的性質(zhì)（解的線性組合仍是解），知此時(shí)Ax=0有無(wú)窮多組解。而方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系可用來(lái)表示這無(wú)窮多組解。關(guān)于基礎(chǔ)解系，必須注意以下幾點(diǎn)：（1） 何謂方程組的基礎(chǔ)解系？（2） 何時(shí)存在基礎(chǔ)解系？（當(dāng)r(A)<n時(shí)）（3） 存在基礎(chǔ)解系時(shí)，基礎(chǔ)解系含有多少個(gè)解向量？（n-r

18、(A)個(gè)）（4） 基礎(chǔ)解系有什么性質(zhì)？（基礎(chǔ)解系不是唯一的，但所含向量的個(gè)數(shù)是維一的；方程組Ax=0的任何n-r(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)得解向量的組成的相量組都是Ax=0的）基礎(chǔ)解系；與Ax=0的基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系）（5） 如何求基礎(chǔ)解系及方程組的結(jié)構(gòu)式通解？4 非齊次線性方程組設(shè)A為矩陣，b為m 維非零列向量，n元非齊次線性方程組Ax=b的解的情況只有以下3種（其中為Ax=b的增廣矩陣）：無(wú)解b不能由A的列向量組線性表出r(A)<r()有唯一解Ax=0b由A的列向量組唯一線性表出r(A)=r()=nb由A的列向量組線性表出，不唯一r(A)=r()<n有無(wú)窮多解當(dāng)r(A)=