電磁場七章習題解答VIP

1、電磁場 第七章 正弦電磁波7.1 求證在無界理想介質(zhì)內(nèi)沿任意方向en（en為單位矢量）傳播的平面波可寫成。解 Em為常矢量。在直角坐標中故則而故可見，已知的滿足波動方程故E表示沿en方向傳播的平面波。7.2 試證明：任何橢圓極化波均可分解為兩個旋向相反的圓極化波。解 表征沿+z方向傳播的橢圓極化波的電場可表示為式中取顯然，E1和E2分別表示沿+z方向傳播的左旋圓極化波和右旋圓極化波。7.3 在自由空間中，已知電場，試求磁場強度。解 以余弦為基準，重新寫出已知的電場表示式這是一個沿+z方向傳播的均勻平面波的電場，其初相角為。與之相伴的磁場為7.4 均勻平面波的磁場強度H的振幅為，以相位常數(shù)30r

2、ad/m在空氣中沿方向傳播。當t=0和z=0時，若H的取向為，試寫出E和H的表示式，并求出波的頻率和波長。解 以余弦為基準，按題意先寫出磁場表示式與之相伴的電場為由得波長和頻率分別為則磁場和電場分別為7.5 一個在空氣中沿方向傳播的均勻平面波，其磁場強度的瞬時值表示式為（1）求和在時，的位置；（2）寫出E的瞬時表示式。解（1）在t=3ms時，欲使Hz=0，則要求若取n=0，解得y=899992.m。考慮到波長，故因此，t=3ms時，Hz=0的位置為（2）電場的瞬時表示式為7.6 在自由空間中，某一電磁波的波長為0.2m。當該電磁波進入某理想介質(zhì)后，波長變?yōu)?.09m。設(shè)，試求理想介質(zhì)的相對介電

3、常數(shù)以及在該介質(zhì)中的波速。解 在自由空間，波的相速，故波的頻率為在理想介質(zhì)中，波長，故波的相速為而故7.7 海水的電導率，相對介電常數(shù)。求頻率為10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的電磁波在海水中的波長、衰減系數(shù)和波阻抗。解 先判定海水在各頻率下的屬性可見，當時，滿足，海水可視為良導體。此時f=10kHz時f=100kHz時f=1MHz時f=10MHz時當f=100MHz以上時，不再滿足，海水屬一般有損耗媒質(zhì)。此時，f=100MHz時f=1GHz時7.8 求證：電磁波在導電媒質(zhì)內(nèi)傳播時場量的衰減約為55dB/。證明 在一定頻率范圍內(nèi)將該導電媒質(zhì)視為良導體，此時

4、故場量的衰減因子為即場量的振幅經(jīng)過z =的距離后衰減到起始值的0.002。用分貝表示。7.9 在自由空間中，一列平面波的相位常數(shù)，當該平面波進入到理想電介質(zhì)后，其相位常數(shù)變?yōu)?。設(shè)，求理想電介質(zhì)的和波在電介質(zhì)中的傳播速度。解 自由空間的相位常數(shù)，故在理想電介質(zhì)中，相位常數(shù)，故電介質(zhì)中的波速則為7.10 在自由空間中，某均勻平面波的波長為12cm；當該平面波進入到某無損耗媒質(zhì)時，波長變?yōu)?cm，且已知此時的，。求該均勻平面波的頻率以及無損耗媒質(zhì)的、。解 自由空間中，波的相速，故波的頻率為在無損耗媒質(zhì)中，波的相速為故 （1）無損耗媒質(zhì)中的波阻抗為 （2）聯(lián)解式（1）和式（2），得7.11 一個頻率為

5、f=3GHz，ey方向極化的均勻平面波在，損耗正切的非磁性媒質(zhì)中沿方向傳播。求：（1）波的振幅衰減一半時，傳播的距離；（2）媒質(zhì)的本征阻抗，波的波長和相速；（3）設(shè)在x=0處的，寫出H(x,t)的表示式。解 （1）故而該媒質(zhì)在f=3GHz時可視為弱導電媒質(zhì)，故衰減常數(shù)為由得（2）對于弱導電媒質(zhì)，本征阻抗為而相位常數(shù)故波長和相速分別為（3）在x=0處，故則故7.12 有一線極化的均勻平面波在海水()中沿+y方向傳播，其磁場強度在y=0處為（1）求衰減常數(shù)、相位常數(shù)、本征阻抗、相速、波長及透入深度；（2）求出H的振幅為0.01A/m時的位置；（3）寫出E(y,t)和H(y,t)的表示式。解 （1）

6、可見，在角頻率時，海水為一般有損耗媒質(zhì)，故（2）由即得（3）其復數(shù)形式為故電場的復數(shù)表示式為則7.13 在自由空間（z<0）內(nèi)沿+z方向傳播的均勻平面波，垂直入射到z=0處的導體平面上。導體的電導率，。自由空間E波的頻率f=1.5MHz，振幅為1V/m；在分界面(z=0)處，E由下式給出對于z>0的區(qū)域，求。解 可見，在f=1.5MHz的頻率該導體可視為良導體。故分界面上的透射系數(shù)為入射波電場的復數(shù)表示式可寫為則z>0區(qū)域的透射波電場的復數(shù)形式為與之相伴的磁場為則7.14 一圓極化波垂直入射到一介質(zhì)板上，入射波電場為求反射波與透射波的電場，它們的極化情況又如何？解 設(shè)媒質(zhì)1為

7、空氣，其本征阻抗為；介質(zhì)板的本征阻抗為。故分界面上的反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為式中都是實數(shù)，故也是實數(shù)。反射波的電場為可見，反射波的電場的兩個分量的振幅仍相等，相位關(guān)系與入射波相比沒有變化，故反射波仍然是圓極化波。但波的傳播方向變?yōu)?z方向，故反射波也變?yōu)橛倚龍A極化波。而入射波是沿+z方向傳播的左旋圓極化波。透射波的電場為式中，是媒質(zhì)2中的相位常數(shù)?？梢?，透射波是沿+z方向傳播的左旋圓極化波。7.15 均勻平面波的電場振幅，從空氣中垂直入射到無損耗的介質(zhì)平面上（介質(zhì)的），求反射波和透射波的電場振幅。解 反射系數(shù)為透射系數(shù)為故反射波的電場振幅為透射波的電場振幅為7.16 最簡單的天線罩是單層介質(zhì)板

8、。若已知介質(zhì)板的介電常數(shù)，問介質(zhì)板的厚度應(yīng)為多少方可使頻率為3GHz的電磁波垂直入射到介質(zhì)板面時沒有反射。當頻率分別為3.1GHz及2.9GHz時，反射增大多少？題7.16圖解 天線罩示意圖如題7.16圖所示。介質(zhì)板的本征阻抗為，其左、右兩側(cè)媒質(zhì)的本征阻抗分別為和。設(shè)均勻平面波從左側(cè)垂直入射到介質(zhì)板，此問題就成了均勻平面波對多層媒質(zhì)的垂直入射問題。設(shè)媒質(zhì)1中的入射波電場只有x分量，則在題7.16圖所示坐標下，入射波電場可表示為而媒質(zhì)1中的反射波電場為與之相伴的磁場為故媒質(zhì)1中的總電場和總磁場分別為 （1）同樣，可寫出媒質(zhì)2中的總電場和總磁場 （2）媒質(zhì)3中只有透射波 （3）在式（1）、（2）、

9、（3）中，通常已知入射波電場振幅，而、和為待求量。利用兩個分界面和上的四個邊界條件方程即可確定它們。在分界面處，即z=0處，應(yīng)有。由式（2）和（3）得 （4）由式（4）可得出分界面上的反射系數(shù) （5）在分界面處，即z=-d處，應(yīng)有，。由式（1）和（2）得 （6）將分界面上的總電場與總磁場之比定義為等效波阻抗（或稱總場波阻抗），由式（1）得 （7）將式（6）代入式（7）得 （8）將式（5）代入式（8），并應(yīng)用歐拉公式，得 （9）再由式（7）得分界面上的反射系數(shù) （10）顯然，若分界面上的等效波阻抗等于媒質(zhì)1的本征阻抗，則，即分界面上無反射。通常天線罩的內(nèi)、外都是空氣，即，由式（9）得欲使上式成立

10、，必須。故頻率f0=3GHz時則當頻率偏移到f1=3.1GHz時，故而故此時的等效波阻抗為反射系數(shù)為即頻率偏移到3.1GHz時，反射將增大6%。同樣的方法可計算出頻率下偏到時，反射將增加約5%。討論（1）上述分析方法可推廣到n層媒質(zhì)的情況，通常是把坐標原點O選在最右側(cè)的分界面上較為方便。（2）應(yīng)用前面導出的等效波阻抗公式（9），可以得出一種很有用的特殊情況（注意：此時）。取，則有由式（9）得若取，則此時，分界面上的反射系數(shù)為即電磁波從媒質(zhì)1入射到分界面時，不產(chǎn)生反射?？梢?，厚度的介質(zhì)板，當其本征阻抗時，有消除反射的作用。7.17 題7.17圖所示隱身飛機的原理示意圖。在表示機身的理想導體表面覆

11、蓋一層厚度的理想介質(zhì)膜，又在介質(zhì)膜上涂一層厚度為d2的良導體材料。試確定消除電磁波從良導體表面上反射的條件。解 題7.17圖中，區(qū)域（1）為空氣，其波阻抗為區(qū)域（2）為良導體，其波阻抗為區(qū)域（3）為理想介質(zhì)，其波阻抗為區(qū)域（4）為理想導體，其波阻抗為利用題7.16導出的公式（9），分界面上的等效波阻抗為應(yīng)用相同的方法可導出分界面上的等效波阻抗計算公式可得 （1）式中的是良導體中波的傳播常數(shù)，為雙曲正切函數(shù)。將代入式（1），得 （2）由于良導體涂層很薄，滿足，故可取，則式（2）變?yōu)?（3）分界面上的反射系數(shù)為可見，欲使區(qū)域（1）中無反射，必須使故由式（3）得 （4）將良導體中的傳播常數(shù)和波阻抗代

12、入式（4），得這樣，只要取理想介質(zhì)層的厚度，而良導體涂層的厚度，就可消除分界面上的反射波。即雷達發(fā)射的電磁波從空氣中投射到分界面時，不會產(chǎn)生回波，從而實現(xiàn)飛機隱身的目的。此結(jié)果可作如下的物理解釋：由于電磁波在理想導體表面（即分界面上產(chǎn)生全反射，則在離該表面處（即分界面出現(xiàn)電場的波腹點。而該處放置了厚度為d2的良導體涂層，從而使電磁波大大損耗，故反射波就趨于零了。7.18 均勻平面波從自由空間垂直入射到某介質(zhì)平面時，在自由空間形成駐波。設(shè)駐波比為2.7，且介質(zhì)平面上有駐波最小點；求介質(zhì)的介電常數(shù)。解 自由空間的總電場為式中是分界面上的反射系數(shù)。駐波比的定義為得據(jù)此求得因介質(zhì)平面上是駐波最小點，故

13、應(yīng)取反射系數(shù)得則7.19 如題7.19圖所示，z>0區(qū)域的媒質(zhì)介電常數(shù)為，在此媒質(zhì)前置有厚度為d、介電常數(shù)為的介質(zhì)板。對于一個從左面垂直入射過來的TEM波，試證明當且時，沒有反射（為自由空間的波長）。解 媒質(zhì)1中的波阻抗為 （1）媒質(zhì)2中的波阻抗為 （2）當時，由式（1）和（2）得 （3）而分界面O1處（即處）的等效波阻抗為當、即時 （4）分界面O1處的反射系數(shù)為 （5）將式（3）和（4）代入式（5），則得即時，分界面O1上無反射。的介質(zhì)層稱為匹配層。7.20 垂直放置在球坐標原點的某電流元所產(chǎn)生的遠區(qū)場為試求穿過r=1 000m的半球殼的平均功率。解 將電場、磁場寫成復數(shù)形式平均坡印廷

14、矢量為故穿過r=1000m的半球殼的平均功率為式中dS為球坐標的面積元矢量，對積分有貢獻是故7.21 在自由空間中，。試求平面內(nèi)的邊長為30mm和15mm長方形面積的總功率。解 將已知的電場寫成復數(shù)形式得與相伴的磁場故平均坡印廷矢量為則穿過z=0平面上的長方形面積的總功率為7.22 均勻平面波的電場強度為（1）運用麥克斯韋方程求出H：（2）若該波在z=0處遷到一理想導體平面，求出z<0區(qū)域內(nèi)的E和H；（3）求理想導體上的電流密度。解 （1）將已知的電場寫成復數(shù)形式由得寫成瞬時值表示式（2）均勻平面波垂直入射到理想導體平面上會產(chǎn)生全反射，反射波的電場為即區(qū)域內(nèi)的反射波電場為與之相伴的反射波

15、磁場為至此，即可求出區(qū)域內(nèi)的總電場E和總磁場H。故同樣故（3）理想導體平面上的電流密度為7.23 在自由空間中，一均勻平面波垂直投射到半無限大無損耗介質(zhì)平面上。已知在平面前的自由空間中，合成波的駐波比為3，無損耗介質(zhì)內(nèi)透射波的波長是自由空間波長的。試求介質(zhì)的相對磁導率和相對介電常數(shù)。解 在自由空間，入射波與反射波合成為駐波，駐波比為由此求出反射系數(shù)設(shè)在介質(zhì)平面上得到駐波最小點，故取。而反射系數(shù)為式中的，則得求得得 （1）又得 （2）聯(lián)解式（1）和（2）得7.24 均勻平面波的電場強度為，該波從空氣垂直入射到有損耗媒質(zhì)的分界面上（z=0），如題7.24圖所示。（1）求反射波和透射波的電場和磁場的

16、瞬時表示式；（2）求空氣中及有損耗媒質(zhì)中的時間平均坡印廷矢量。解（1）根據(jù)已知條件求得如下參數(shù)。在空氣中（媒質(zhì)1）在有損耗媒質(zhì)中分界面上的反射系數(shù)為透射系數(shù)為故反射波的電場和磁場的復數(shù)表示式為則其瞬時表示式為而媒質(zhì)2中的透射波電場和磁場為 故其瞬時表示式為（2） 7.25 一右旋圓極化波垂直入射到位于z=0的理想導體板上，其電場強度的復數(shù)表示式為（1）確定反射波的極化方式；（2）求導體板上的感應(yīng)電流；（3）以余弦為基準，寫出總電場強度的瞬時值表示式。解 （1）設(shè)反射波的電場強度為據(jù)理想導體的邊界條件，在z=0時應(yīng)有故得則可見，反射波是一個沿方向傳播的左旋圓極化波。（2）入射波的磁場為反射波的磁

17、場為故合成波的磁場為則導體板上的感應(yīng)電流為（3）合成電場的復數(shù)表示式為故其瞬時表示式為7.26 如題7.26圖所示，有一正弦均勻平面波由空氣斜入射到z=0的理想導體平面上，其電場強度的復數(shù)表示式為（1）求波的頻率和波長；（2）以余弦函數(shù)為基準，寫出入射波電場和磁場的瞬時表示式；（3）確定入射角；（4）求反射波電場和磁場的復數(shù)表示式；（5）求合成波電場和磁場的復數(shù)表示式。解 （1）由已知條件知入射波的波矢量為故波長為頻率為（2）入射波傳播方向的單位矢量為入射波的磁場復數(shù)表示式為則得其瞬時表示式而電場的瞬時表示式為（3）由，得 故 （4）據(jù)斯耐爾反射定律知，反射波的波矢量為而垂直極化波對理想導體平面斜入射時，反射系數(shù)。故反射波的電場為與之相伴的磁場為（5）合成波的電場為合成波的磁場為7.27 一個線極化平面波從自由空間入射到的電介質(zhì)分界面上，如果入射波的電場矢量與入射面的夾角為45°。試求：（1）入射角為何值時，反射波只有垂直極化波；（2）此時反射波的平均功率流是入射波的百分之幾？解 （1）由已知條件知入射波中包括垂直極化分量和平行極化分量，且兩分量的大小相等。當入射角等