熱傳導(dǎo)方程的求解

1、.應(yīng)用物理軟件訓(xùn)練前 言MATLAB是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大局部。MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室MatrixLaboratory的簡(jiǎn)稱(chēng)，和Mathematica、Maple并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類(lèi)科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。MATLAB可以進(jìn)展矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)立用戶界面、連接其他編程語(yǔ)言的程序等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通訊、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域。本局部主要介紹如何根據(jù)所學(xué)熱傳導(dǎo)方

2、程的理論知識(shí)進(jìn)展MATLAB數(shù)值實(shí)現(xiàn)可視化。本局部主要介紹如何根據(jù)所學(xué)熱傳導(dǎo)方程的理論知識(shí)進(jìn)展MATLAB數(shù)值實(shí)現(xiàn)可視化。本局部主要介紹如何根據(jù)所學(xué)熱傳導(dǎo)方程的理論知識(shí)進(jìn)展MATLAB數(shù)值實(shí)現(xiàn)可視化。本局部主要介紹如何根據(jù)所學(xué)熱傳導(dǎo)方程的理論知識(shí)進(jìn)展MATLAB數(shù)值實(shí)現(xiàn)可視化。 . v.題目：熱傳導(dǎo)方程的求解目錄一、參數(shù)說(shuō)明.1二、根本原理.1三、MATLAB程序流程圖3四、源程序.3五、程序調(diào)試情況6六、仿真中遇到的問(wèn)題9七、完畢語(yǔ)9八、參考文獻(xiàn)10. v.一、 參數(shù)說(shuō)明U=zeros(21,101) 返回一個(gè)21*101的零矩陣x=linspace(0,1,100);將變量設(shè)成列向量mes

3、hz(u)繪制矩陣打的三維圖axis(0 21 0 1);橫坐標(biāo)從0到21，縱坐標(biāo)從0到1eps是MATLAB默認(rèn)的最小浮點(diǎn)數(shù)精度X,Y=pol2cart(R,TH);效果和上一句一樣waterfall(RR,TT,wn)瀑布圖二、 根本原理1、 一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題1無(wú)限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)定解問(wèn)題利用傅里葉變換求得問(wèn)題的解是：取得初始溫度分布如下這是在區(qū)間0到1之間的高度為1的一個(gè)矩形脈沖，于是得2有限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)定解問(wèn)題其中，即L=20，取a=10且得的解是3非齊次方程定解問(wèn)題是解析解是其中2、二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題 定解問(wèn)題Ut=k2(U*+Uyy) ()U(x=0,y,t)=0, u(x=a,y,t)

4、=Ux,y=0,t=0, u(x,y=b,t)=Ux,y,t=0=03、三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題球體內(nèi)的熱傳導(dǎo)令u=w+Uo,那么w的定解問(wèn)題是Wt=wWr=ro=0W(t=to)=uo-Uo解為r為空間變量，并用x，y表示。三、 MATLAB程序流程圖 開(kāi)場(chǎng) 初始化定義 預(yù)設(shè)矩陣 初始條件用for語(yǔ)言 繪制動(dòng)態(tài)圖四、 源程序1、一維有限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)x=0:20;t=0:0.01:1;a2=10;r=a2*0.01;u=zeros(21,101);u(10:11,1)=1; 是把上述矩陣中的第10行，11行的第一列全部設(shè)成1for j=1:100 u(2:20,j+1)=(1-2*r)*u(2:20,

5、j)+r*(u(1:19,j)+u(3:21,j); plot(u(:,j);axis(0 21 0 1);橫坐標(biāo)0到21，縱坐標(biāo)0到1 pause(0.1)暫停0.1秒endmeshz(u)2、非齊次方程的定解問(wèn)題a2=50;b=5;L=1;x,t=meshgrid(0:0.01:1,0:0.000001:0.0005);Anfun=inline('2/L*(x-L/2).2.*exp(-b*x/2/a2).*sin(n*pi*x/L)','x','n','L','b','a2');%定義內(nèi)聯(lián)函數(shù)

6、u=0;for n=1:30An=quad(Anfun,0,1,n,L,b,a2);%inline函數(shù)中定義x為向量，其它為標(biāo)量un=An*exp(-(n*n*pi*pi*a2/L/L+b*b/4/a2/a2).*t).*exp(b/2/a2.*x).*sin(n*pi*x/L);u=u+un;size(u);mesh(x,t,u);%x,t，u都為501行101列的矩陣figuresubplot(2,1,1)plot(u(1,:)subplot(2,1,2)plot(u(end,:)end差分法dx=0.01;dt=0.000001;a2=50;b=5;c=a2*dt/dx/dx; x=li

7、nspace(0,1,100);%將變量設(shè)成列向量 uu(1:100,1)=(x-0.5).2;%初溫度為零 figure subplot(1,2,1)%初始狀態(tài) plot(x,uu(:,1),'linewidth',1); axis(0,1,0,0.25); subplot(1,2,2)%演化圖 h=plot(x,uu(:,1),'linewidth',1); set(h,'EraseMode','xor') for j=2:200 uu(2:99,2)=(1-2*c)*uu(2:99,1)+c*(uu(1:98,1)+ uu(

8、3:100,1)-. b*dt/dx*(uu(3:100,1)-uu(2:99,1); uu(1,2)=0;uu(100,2)=0;%邊界條件 uu(:,1)=uu(:,2); uu(:,1) set(h,'YData',uu(:,1); drawnow; pause(0.01) end三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題U0=2; u0=0; a2=2; N=10;r=eps:0.05:1; theta=linspace(0,2*pi,100);t=0.1:0.001:0.2;RR,TT=meshgrid(r,t);figure(1)R,TH=meshgrid(theta,r);X,Y=pol2c

9、art(R,TH);for tt=1:100 un=0; for k=1:Nunn=2*(U0-u0)*(-1)k.*sin(k.*pi.*(X.2+Y.2).0.5).*. exp(-k2*pi2*a2*t(tt)./(pi.*(X.2+Y.2).0.5); un=unn+un; end mesh(X,Y,un); axis(-1 1 -1 1 -0.4 0); pause(0.1)endfigure(2)wn=0;for k=1:N wnn=2*(U0-u0)*(-1)k.*sin(k.*pi.*RR).*. exp(-k2*pi2*a2*TT)./(pi*k.*RR); wn=wnn+w

10、n;endwaterfall(RR,TT,wn)xlabel('r')ylabel('t')五、 程序調(diào)試情況1、有限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)開(kāi)場(chǎng)時(shí)一段時(shí)間后2、1非齊次方程的解析解2非齊次方程的數(shù)值解差分法3、二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題4、三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題解析解的動(dòng)畫(huà)圖解析解的瀑布圖六、仿真中遇到的問(wèn)題幾乎所有的工程問(wèn)題都能轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型來(lái)解，而且借助MATLAB，大多數(shù)的模型的數(shù)值解的準(zhǔn)確度均能滿足要求。但是，存在的問(wèn)題也不少。首先，數(shù)值解法存在許多局限性，一個(gè)解只能適用于一個(gè)或幾個(gè)模型，或者一個(gè)或幾個(gè)方程。而解析解的得到能使我們得出所有同類(lèi)問(wèn)題的通解，并且準(zhǔn)確度高于數(shù)值解。這是由

11、于數(shù)學(xué)的開(kāi)展程度還缺乏以滿足自然科學(xué)的開(kāi)展要求，數(shù)值解法只是一個(gè)權(quán)宜之計(jì)。其次，MATLAB雖然能處理大量的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但其命令繁多，再加上各種工具箱，要完全學(xué)會(huì)和很好的使用MATLAB不是一件容易的事情，在編輯和閱讀程序時(shí)通常要借助工具書(shū)查詢(xún)相關(guān)命令，這樣就增加了使用難度，使得MATLAB不能廣泛的普及。再者，要合理的使用MATLAB來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，必需是建立在良好的數(shù)學(xué)根底之上的，這就勢(shì)必要求MATLAB的使用者有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，這又給MATLAB的普及帶來(lái)了挑戰(zhàn)。最后，由于工程中的導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型并不一都能很順利的建立，這就給使用MATLAB解決導(dǎo)熱問(wèn)題增加了難度。七、完畢語(yǔ)在這短短的一

12、周內(nèi)從開(kāi)場(chǎng)的一頭霧水，到自己看書(shū)學(xué)習(xí)，到同學(xué)討論，再進(jìn)展整個(gè)題目的理論分析和計(jì)算，參考課程上的代碼，寫(xiě)出自己的代碼。我們也明白了學(xué)無(wú)止盡的道理，在我們所查的很多參考書(shū)中，很多知識(shí)是我們從沒(méi)有接觸過(guò)的，我們對(duì)它的了解還僅限于皮毛，對(duì)它的很多功能以及函數(shù)還不是很了解，所以在這個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程中我們穿越在知識(shí)的海洋中，一點(diǎn)一點(diǎn)吸取著它的知識(shí)。在MATLAB編程中需要很多的參考書(shū)，要盡量多的熟悉matlab自帶的函數(shù)及其作用，因?yàn)閙atlab的自帶函數(shù)特別多，根本上能夠滿足一般的數(shù)據(jù)和矩陣的計(jì)算，所以根本上不用你自己編函數(shù)。這一點(diǎn)對(duì)程序非常有幫助，可以使程序簡(jiǎn)單，運(yùn)行效率高，可以節(jié)省很多時(shí)間。本次課設(shè)中用了很多MATLAB自帶的函數(shù)，使程序變得很簡(jiǎn)單。把根本的知識(shí)看過(guò)之后，就需要找一個(gè)實(shí)際的程序來(lái)動(dòng)手編一下，不要等所有的知識(shí)都學(xué)好之后再去編程，你要在編程的過(guò)程中學(xué)習(xí)，程序需要什么知識(shí)再去補(bǔ)充，編程是一點(diǎn)一點(diǎn)積累的，所以你要需做一些隨手筆記什么的。在編寫(xiě)程序代碼時(shí)，需要什么函數(shù)，需要什么模塊就應(yīng)該去