第6講含絕對值的方程及不等式

1、奧數(shù)網(wǎng)，學習奧數(shù)的樂園！知春路：62053939公主墳：68220560第 6 講 含絕對值的及不等式從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點離開原點的距離但除零以外，任一個絕對值都是表示兩個不同數(shù)的絕對值即一個數(shù)與它相反數(shù)的絕對值是一樣的由于這個性質(zhì)，所以含有絕對值的與不等式的求解過程又出現(xiàn)了一些新特點本講主要介紹有絕對值的處理方法與不等式中含一個實數(shù) a 的絕對值記作a，指的是由 a 所唯一確定的非負實數(shù)：含絕對值的不等式的性質(zhì)：(2)a-ba+ba+b；(3)a-ba-ba+b由于絕對值的定義，所以含有絕對值的代數(shù)式無法進行統(tǒng)一的代數(shù)運算通常的手法是分別按照絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式取值的

2、正、負情況，脫去絕時值符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的代數(shù)式進行運算，即含有絕對值的方程與不等式的求解，常用分類討論法在進行分類討論時，要注意所劃分的類別之間應(yīng)該不重、不漏下面結(jié)合例題予以分析例 1 解x-2+2x+1=7分析 解含有絕對值符號的的關(guān)鍵是去絕對值符號，這可用“零掉絕對值符號再求解解(1)當 x2 時，原化為(x-2)+(2x+1)=7，1初一金牌班教員講義第六講含絕對值的及不等式奧數(shù)網(wǎng)，學習奧數(shù)的樂園！知春路：62053939公主墳：68220560-(x-2)+(2x+1)=7應(yīng)舍去-(x-2)-(2x+1)=7說明 若在 x 的某個范圍內(nèi)求解時，若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則

3、這樣的解不是的解，應(yīng)舍去例 2 求x-2x+1=3 的不同的解的個數(shù)為只含有一個絕對值符號的然后再去掉外層的絕對值符號求解x-(2x+1)=3，即1+x=3，所以x=2 或 x=-42初一金牌班教員講義第六講含絕對值的及不等式奧數(shù)網(wǎng)，學習奧數(shù)的樂園！知春路：62053939公主墳：68220560x+(2x+1)=3，即3x+1=3，的個數(shù)為 2例 3 若關(guān)于 x 的少？x-2-1=a 有三個整數(shù)解則 a 的值是多解 若a0，原無解，所以 a0由絕對值的定義可知x-2-1=±a，所以 x-2=1±a(1)若 a1，則x-2=1-a0，無解x-2=1a，x 只能有兩個解 x=

4、3+a 和 x=1-a(2)若 0a1，則由x-2=1+a，求得x=1-a 或 x=3+a；由x-2=1-a，求得x=1+a 或 x=3-a原的x=3+a，3-a，1+a，1-a，為使有三個整數(shù)解，a 必x=3，1，只有兩為整數(shù)，所以 a 只能取 0 或 1當 a=0 時，原個解，與題設(shè)不符，所以 a0當 a=1 時，原三個解的的x=4，0，2，有綜上可知，a=1例 4 已知x=ax+1 有一負根，且無正根，求 a 的取值范圍的負根，則-x=ax+1，即解 設(shè)x 為所以應(yīng)有 a-1反之，a-1 時，原有負根3初一金牌班教員講義第六講含絕對值的及不等式奧數(shù)網(wǎng)，學習奧數(shù)的樂園！知春路：620539

5、39公主墳：68220560設(shè)有正根 x，則 x=ax1，即所以 a1反之，a1 時，原有正根綜上可知，若使原有一負根且無正根，必須 a1例 5 設(shè)求 x+y分析 從絕對值的意義知兩個非負實數(shù)和為零時，這兩個實數(shù)必須零解 由題設(shè)有把代入得解之得 y=-3，所以 x=4故有x+y=4-3=1例 6 解組4初一金牌班教員講義第六講含絕對值的及不等式奧數(shù)網(wǎng)，學習奧數(shù)的樂園！知春路：62053939公主墳：68220560分析與解 由得x-y=1 或 x-y=-1，即x=y+1 或 x=y-1與結(jié)合有下面兩個組解()：把 x=y+1 代入x+2y=3 得y+1+2y=3組()的同理，解()有故原組的例

6、 7 解組解 由得5初一金牌班教員講義第六講含絕對值的及不等式奧數(shù)網(wǎng)，學習奧數(shù)的樂園！知春路：62053939公主墳：68220560x+y=x-y+2因為x-y0，所以 x+y0，所以x+y=x+y把代入有x+y=x+2，所以 y=2將之代入有x-2=x，所以x-2=x， 或 x-2=-x 無解，所以只有解得 x=1故為原組的解說明 本題若按通常的解法，區(qū)分 x+y0 和 x+y0 兩種情形，把方x+y=x+2 和-(x+y)=x+2，對程分成兩個不同的也做類似處理的話，將很麻煩上面的解法充分利用了絕對值的性質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)必有 x+y0，因而可以立刻消去中的絕對值符號，從而簡化了解題過程例 8

7、 解不等式x-5-2x+31x5，x5-(x-5)-(2x+3)1，-(x-5)-(2x+3)1，(3)當 x5 時，原不等式化為6初一金牌班教員講義第六講含絕對值的及不等式奧數(shù)網(wǎng)，學習奧數(shù)的樂園！知春路：62053939公主墳：68220560x-5-(2x+3)1，解之得 x-9，結(jié)合 x5，故 x5 是原不等式的解的解例 9 解不等式 13x-52分析與解 此不等式實際上是解 對3x-51：對3x-52：所以與的公共解應(yīng)為7初一金牌班教員講義第六講含絕對值的及不等式奧數(shù)網(wǎng)，學習奧數(shù)的樂園！知春路：62053939公主墳：68220560例 10 解不等式x+3-x-33解 從里往外去絕對

8、值符號，將數(shù)軸分為 x-3，-3x3，x3 三段來討論，不等式化為如下三個不等式組即x-3即x3說明本題也可以由外向內(nèi)去絕對值符號，由絕對值的意下面兩個不等式分別解出和即可，請同學們完成這個解法8初一金牌班教員講義第六講含絕對值的及不等式奧數(shù)網(wǎng)，學習奧數(shù)的樂園！知春路：62053939公主墳：68220560x+2+x-1=a 有解？例 11 當 a 取哪些值時，解法 1 (1)當 x-2 時，x+2+x-1=-2x-1-2(-2)-1=3(2)當-2x1 時，x+2+x-1=x+2-x+1=3(3)當 x1 時，x+2+x-1=2x+12·1+1=3所以，只有當 a3 時，原有解解法 2 按照絕對值的性質(zhì)a-ba+b，故x+2+x-1(x+2)-(x-1)=3其中等號當-2x1 時成立，所以當 a3 時，原有解練習 61解下列：(1)x+3-x-1=x+1；(2)1