電子教案第8章相量法

1、指數(shù)形式有時改寫為極坐標(biāo)形式：注意：要熟練掌握復(fù)數(shù)的四種表示形式及相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，這對復(fù)數(shù)的運算非常重要。2. 復(fù)數(shù)的運算(1) 加減運算 采用代數(shù)形式比較方便。若則即復(fù)數(shù)的加、減運算滿足實部和實部相加減，虛部和虛部相加減。復(fù)數(shù)的加、減運算也可以在復(fù)平面上按平行四邊形法用向量的相加和相減求得，如圖 8.2 所示。(2) 乘除運算 采用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式比較方便。圖 8.2若則即復(fù)數(shù)的乘法運算滿足模相乘，輻角相加。除法運算滿足模相除，輻角相減，如圖 8.3 示。圖 8.3圖 8.4(3) 旋轉(zhuǎn)因子：由復(fù)數(shù)的乘除運算得任意復(fù)數(shù) A 乘或除復(fù)數(shù)， 相當(dāng)于 A 逆時針或順時針旋轉(zhuǎn)一個角度 ，而模不變，

2、如圖 8.4 所示。故把稱為旋轉(zhuǎn)因子。當(dāng)當(dāng)故 +j, j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。復(fù)數(shù)運算定理3.定理 1式中 K 為實常數(shù)。定理 2定理 3若則例 81 ，計算 復(fù)數(shù)解：本題說明進行復(fù)數(shù)的加減運算把極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)為代數(shù)形式。例 82 ，計算 復(fù)數(shù)解：本題說明進行復(fù)數(shù)的乘除運算把代數(shù)形式轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)形式。§8.2正弦量1.正弦量電路中按正弦規(guī)律變化的電壓或電流統(tǒng)稱為正弦量，以電流為例，其瞬時值表（本書采用 cosine 函數(shù)）：波形如圖 8.5 所示。圖 8.5注意：激勵和響應(yīng)均為正弦量的電路稱為正弦電路或交流電路。研究正弦電路的意義：（1）正弦電路在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域占有十分重

3、要的地位。由于：1） 正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導(dǎo)、2） 正弦信號容易產(chǎn)生、傳送和使用。運算后仍是同頻率的正弦函數(shù)；（2）正弦信號是一種基本信號，任何復(fù)雜的周期信號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。因此對正弦電路的分析研究具有重要的理論價值和實際意義。2. 正弦量的三要素（1）Im幅值(振幅、最大值)：反映正弦量變化過程中所能達到的最大幅度。（2）角頻率：為相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。它與周期和頻率的關(guān)系為：rad/s（3）y 角：反映正弦量的計時起點，常用角度表示。需要注意的是：1）計時起點不同，位不同，圖 8.6 給出了同一個正弦量在不同計時起點下位的取值。2）一般規(guī)定位取主值

4、范圍，即 |y| 。圖8.63）如果余弦波的正最大值發(fā)生在計時起點之后，如圖 8.7 所示，則位為負(fù)，如果余弦波的正最大值發(fā)生在計時起點之前，則位為正。4）對任一正弦量，可以任意指定，但同一電路中許多相關(guān)的正弦量只能對于同一計時起點來確定圖8.7各自的相位。3. 相位差相位差是電路中兩個同頻正弦量之間相位關(guān)系的量。設(shè)則相位差為：差，通常相位差取主值范圍，即：|上式表明同頻正弦量之間的相位差等于如果上式中 0 ，稱 u超前 i，或 i滯 u ，表明 u比 i 先達到最大值；如圖 8.8（a）所示。如 0 ， 稱 i超前 u，或 u滯后 i, 表明 i 比 u先達到最大值。如 =±p ，

5、稱 i與 u 反相，如圖 8.8（b）所示；如 =0 ，稱 i 與 u 同相，如圖 8.8（c）所示。圖 8.8 （a）需要注意的是：（b）（c）兩個正弦量進行相位比較時應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號，且在主值范圍比較。4. 正弦電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為了衡量其平均效應(yīng)，工程上采用有效值來表示。周期電流、電壓有效值的物理意義如圖 8.9 所示，通過比較直流電流 I 和交流電流 i 在相同時間 T 內(nèi)流經(jīng)同一電阻 R 產(chǎn)生的熱效應(yīng)，即令：從中獲得周期電流和與之相等的直流電流 I 之間的關(guān)系：這個直流量 I 稱為周期量的有效值。有效值也稱值。圖 8.9同樣，可定義電壓

6、有效值：設(shè)正弦電流相應(yīng)的有效值為：因為所以即 正弦電流的有效值與最大值滿足關(guān)系：同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：若一交流電壓有效值為 U = 220V ，則其最大值為 Um311V ；需要注意的是：（1）工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水應(yīng)按最大值考慮。（2）測量流測量儀表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。（3）區(qū)分電壓、電流的瞬時值 i、u ，最大值 IMm 、 Um 和有效值 I、U 的符號。例 83 已知正弦電流波形， 103rad/s ，（1）寫出正弦 i(t) 表；（2）求正弦

7、電流最大值發(fā)生的時間 t1例 8 3 圖解： 根據(jù)圖示可知電流的最大值為 100A ， t=0 時電流為 50A，因此有：解得由于最大值發(fā)生在計時起點右側(cè)故取所以當(dāng)時電流取得最大值，即：例 84 ，計算下列兩正弦量的相位差。解：（1）轉(zhuǎn)為主值范圍：說明 i1 滯后 i2。（2） 先把 i2 變?yōu)橛嘞液瘮?shù)：則說明 i1 超前 i2。（3） 因為兩個正弦量的角頻率，故不能比較相位差。（4）則說明 i1 超前 i2本題說明兩個正弦量進行相位比較時應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號，且在主值范圍比較。§8.3相量法的基礎(chǔ)正弦穩(wěn)態(tài)線性電路中，和各支路的電壓和電流響應(yīng)與激勵源是同頻率的正弦量，因此應(yīng)用

8、定理分析正弦電路將遇到正弦量的相減運算和、微分運算，在時域進行這些運算十分繁復(fù)，通過借用復(fù)數(shù)表示正弦信號可以使正弦電路分析得到簡化。1. 正弦量的相量表示構(gòu)造一個復(fù)函數(shù)對 A(t) 取實部得正弦電流：上式表明對于任意一個正弦時間函數(shù)都有唯一與其對應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)，即：A(t) 還可以寫成稱復(fù)常數(shù)為正弦量 i(t)對應(yīng)的相量，它包含了 i(t)的兩個要素 I ,Y。任意一個正弦時間函數(shù)都有唯一與其對應(yīng)的相量，即：注意：相量的模為正弦量的有效值，相量的幅角為正弦量的位。同樣可以建立正弦電壓與相量的對應(yīng)關(guān)系：例如若已知正弦電流和電壓分別為：則對應(yīng)的相量分別為：若正弦電流的相量頻率則對應(yīng)的正弦電流為：2.

9、 相量圖在復(fù)平面上用向量表示相量的圖稱為相量圖。如已知相量則對應(yīng)的相量圖如圖 8.10所示。輻角為零的相量稱為參考相量。圖8.103.相量法的應(yīng)用(1) 同頻率正弦量的加減圖8.11則：從上式得其相量關(guān)系為：故同頻正弦量相加減運算可以轉(zhuǎn)變?yōu)閷?yīng)相量的相加減運算，運算過程如圖 8.11 所示。（2）正弦量的微分、運算設(shè)則即對應(yīng)的相量為而即對應(yīng)的相量為以上式子說明正弦量的微分是一個同頻正弦量，其相量等于原正弦量 i的相量 乘以，也是一個同頻正弦量，其相量等于原正弦量 i 的相量正弦量的除以。例如圖 8.12 所示 RLC 串聯(lián)電路，由 KVL 得電路方程為根據(jù)正弦量與相量的關(guān)系得以上微方程對應(yīng)的相

10、量方程為圖 8.12因此引入相量的優(yōu)點是：（1）把時域問題變?yōu)閺?fù)數(shù)問題；（2）把微方程的運算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運算；需要注意的是：1）相量法實質(zhì)上是一種變換，通過把正弦量轉(zhuǎn)化為相量，而把時域里正弦穩(wěn)態(tài)分析問題轉(zhuǎn)為頻域里復(fù)數(shù)代數(shù)方程問題的分析；2）相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路。3）相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。例 85 ，計算兩正弦電壓之和，已知：解： 兩正弦電壓對應(yīng)的相量為 :相量之和為：所以本題也可借助相量圖計算，如下圖所示。例 8 5 相量圖的正、誤，并給出正確結(jié)果。例 86 ，試下列表解：（1）錯 ，瞬時式和相量，正確寫法為：（2）錯 ，瞬時式不能和相量相等，正確寫法為：（3）

11、 錯 ，有效值和相量（4） 對，正確寫法為：（5）錯 ，感抗和容抗，正確寫法為：（6）錯 ，有效值和相量，正確寫法為：（7）錯，電容和電感的VCR，正確寫法為：或§8.4電路定律的相量形式1. 電阻元件 VCR 的相量形式設(shè)圖 8.13(a)中流過電阻的電流為則電阻電壓為：其相量形式：圖 8.13（a）以上式子說明：（1）電阻的電壓相量和電流相量滿足復(fù)數(shù)形式的歐姆定律：，圖 8.13(b)為電阻的相量模型圖。（2）電阻電壓和電流的有效值也滿足歐姆定律：UR = RI（3）電阻的電壓和電流同相位，即：u = i圖 8.13（ b ）電阻電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.14(a)和(

12、b)所示。圖 8.14（a）電阻的瞬時功率為：圖 8.14（b）即瞬時功率以 2 交變，且始終大于零，如圖 8.14（a）所示，表明電阻始終吸收功率。2. 電感元件 VCR 的相量形式圖 8.15 （a）圖 8.15（b）設(shè)圖 8.15（a）中流過電感的電流為則對應(yīng)的相量形式分別為：以上式子說明：（1） 電感的電壓相量和電流相量滿足關(guān)系：，其中 XL=L=2fL ，稱為感抗，為 (歐姆)，圖 8.16（b）為電感的相量模型圖。（2）電感電壓和電流的有效值滿足關(guān)系：，表示電感的電壓有效值等于電流有效值與感抗的乘積。（3）電感電壓超前電流相位，即：電感電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.16（a）

13、和（b）所示。注意:（1） 感抗表示限制電流的能力；（2）感抗和頻率成正比如圖 8.16（c）所示，當(dāng)；電感電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.16（a）和（b）所示。圖 8.16 （a）電感的瞬時功率為：圖 8.16（b）圖 8.16（c）即電感的瞬時功率以 2 交變，有正有負(fù)，如圖 8.16（a）所示。電感在一個周期內(nèi)吸收的平均功率為零。3.電容元件 VCR 的相量形式設(shè)圖 8.17（a）中電容的電壓為：則 對應(yīng)的相量形式分別為：圖 8.17（a）圖 8.17（b）以上式子說明：（1）電容的電壓相量和電流相量滿足關(guān)系：其中 XC =1/C ，稱為容抗，為 (歐姆)，圖 8.17（b）為電容

14、的相量模型圖。（2）電容電壓和電流的有效值滿足關(guān)系：，表示電容的電壓有效值等于電流有效值與容抗的乘積。（3）電容電壓滯后電流相位，即：電容電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.18（a）和（b）所示。注意: 容抗和頻率成反比如圖 8.18（c）所示，當(dāng)，說明電容有隔斷直流的作用，而高頻時電容相當(dāng)于短路。圖 8.18（a）電容的瞬時功率為：圖 8.18（b）圖 8.18（c）即電容的瞬時功率以 2 交變，有正有負(fù)，如圖 8.18（a）所示。電感在一個周期內(nèi)吸收的平均功率為零。4.定律的相量形式同頻率的正弦量以用對應(yīng)的相量形式來進行計算。因此，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，KCL和 KVL 可用相應(yīng)的相量形式表

15、示。對電路中任一結(jié)點，根據(jù) KCL 有，由于得 KCL 的相量形式為：同理對電路中任一回路，根據(jù) KVL 有，對應(yīng)的相量形式為：上式表明：流入某一節(jié)點的所有正弦電流用相量表示滿足 KCL ；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示滿足 KVL 。例 87，圖(a)所示電路中電流表的讀數(shù)為：A1=8A ，A2=6A，試求：（1）若，則電流表 A0 的讀數(shù)為多少？I0max（2）若為何參數(shù)，電流表A0的讀數(shù)最大？= ？I0min（3）若為何參數(shù)，電流表A0的讀數(shù)最??？= ？（4）若為何參數(shù)，可以使電流表A0=A1 讀數(shù)最小，此時表 A2=？例 8 7 圖（a）(b)解：（1）設(shè)元件兩端的電壓相量為參考

16、相量，根據(jù)元件電壓和電流相量的關(guān)系畫相量圖如圖（b）所示，則：（2）因為是電阻，所以當(dāng)也是電阻時，總電流的有效值為兩個分支路電流有效值之和，達到最大值：（3）因為是電感元件，所以當(dāng)是電容元件時，總電流的有效值為兩個分支路電流有效值之差，達到最小值：（4）是電感元件，所以當(dāng)是電容元件時，滿足，求電源電流 i(t)例 88 ，電路如圖(a)所示，已知電源電壓例 8 8 圖（a）(b)解：電壓源電壓的相量為：計算得感抗和容抗值為：電路的相量模型如圖（b）所示。根據(jù) KCL 和元件的 VCR 的相量表示式得：所以us(t)例 89 ，電路如圖（a）所示，已知電流，求。例 8 9 圖（ a ）(b)解：電流的相量為：計算得容抗為：電路的相量模型如圖（b）所示。根據(jù)KVL 和元件的 VCR的相量表示式得：例 810 ，電路如圖（a）所示，已知電壓，求電壓例 8 10 圖（ a ） (b)解：以電流為參考相量，相量圖如圖（b）所示，根據(jù)相量圖得：所