二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)學(xué)案

1、二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)學(xué)案1. 化簡(jiǎn)：.2. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_. 143. 在的展開式中，x2的系數(shù)是 . 354.的展開式中的一次項(xiàng)的系數(shù)為_.2405.展開式中的的系數(shù)為_.-66.設(shè)，則被9除的余數(shù)是_.0或77.在的展開式中，x7的系數(shù)是15，則實(shí)數(shù)的值為_.8.在的展開式中倒數(shù)第項(xiàng)的系數(shù)為，則含有的項(xiàng)的系數(shù)為_.2109.設(shè)二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為,若,則=_.410. 若,則=_. -1 11. -181612.已知，且在 的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則的取值范圍是_.13.已知二項(xiàng)式 展開式中，末三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求此展開式中所有的有理項(xiàng)。

2、解：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 由此得二項(xiàng)展開式中末三項(xiàng)的系數(shù)分別為 ， ， 依題意得 注意到這里 ，故得n=8 設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則有x的冪指數(shù) 為整數(shù)， r=0，4，8， 這里T1，T5，T9為有理項(xiàng)，又由通項(xiàng)公式得： ， ， 所求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)分別為 ， ， 14.已知 的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于512，求：(1).二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2).系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)；(3).系數(shù)最大的項(xiàng).解：由題意得 n=10二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 （1）n=10，二項(xiàng)展開式共11項(xiàng)二項(xiàng)展開式的中間一項(xiàng)即第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大又 所求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 （2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值 最

3、大，則有 解之得 ，注意到 ，故得r=3 第4項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大 所求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為 （3）由通項(xiàng)公式的特征可知，系數(shù)最大的項(xiàng)應(yīng)在項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)內(nèi)，即在r取偶數(shù)的各項(xiàng)內(nèi)又r取偶數(shù)0，2，4，6，8，10時(shí)，相應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)分別為 ， ， ， ， 即分別為1， ， ， ， 由此可知，系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)(r=4)，即 15.已知，求(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .解:1）可以把(1-2x)5用二項(xiàng)式定理展開求解. 從另一個(gè)角度看，a0為x=0時(shí)右式的結(jié)果，因而令x=0, (1-0)5=a0, a0=1. 2）令x=1, 則(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又

4、a0=1, a1+a2+a3+a4+a5=-2. 3）令x=1，得a0+a1+a2+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (*) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）聯(lián)立(*),(*)兩方程，解得a1+a3+a5=-122. 5） 因而 |a0|+|a1|+|a5|即為(1+2x)5的展開式的所有系數(shù)和， |a0|+|a1|+|a5|=(1+2)5=35=243. 16.設(shè) 展開式中的的系數(shù)是21，求展開式中的系數(shù)的最小值.分析：由條件得m+n=21，x2的項(xiàng)為，則因nN，故當(dāng)n=10或11時(shí)上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11時(shí)，x2的系數(shù)最小17.求證：(1). 能被整除；(2). .（1）為利用二項(xiàng)式定理，對(duì) 中的底數(shù)n變形為兩數(shù)之和（或差）。 ，且 ， 于是有 （）注意到 ，且 ，故 ，因此由（）式知 能被 整除；（2）證法一（倒序相加法）：設(shè) 注意到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)： 將式右邊各項(xiàng)倒序排