案例第五組煬2014b

1、2014 高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱（可供賽區(qū)評閱時使用）：統(tǒng)一編號（由賽區(qū)送交前編號）：評閱編號（由評閱前進行編號）：創(chuàng)意平板折疊桌參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計摘要某公司生產(chǎn)一種創(chuàng)意平板折疊桌。本文根據(jù)設(shè)計要求，通過建立數(shù)學(xué)模型對該創(chuàng)意平板折疊桌的參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，并描述其從平板到完全展開的動態(tài)變化過程。問題一：將桌面視為與各桌腿木條等寬等高且共線的多個木條拼接成的圓面。將桌視為各桌腿木條寬邊中點的連線。首先運用平面幾何知識，求出平板所有木條面的長度，及平板狀態(tài)時鋼筋到各桌面木條寬邊中點的距離。然后建立空間直角坐標(biāo)系，運用空間幾何知識，求出完全展開時鋼

2、筋到各桌面木條寬邊中點的距離，從而求出各桌腿木條的槽長；求出該桌各展開狀態(tài)下各桌腳的坐標(biāo)，用擬合，確定各展開狀態(tài)下桌腳問題函數(shù)。立穩(wěn)定性更大、量更小、用料更小的多目標(biāo)優(yōu)化模型，來設(shè)計參數(shù)。基于等截面細長中心受壓直桿臨界載荷計算公式（公式）考慮的最長木條承重量、四根最長木條與地面的四個接觸點圍成的面積、所有木條形成的結(jié)構(gòu)重心高度綜合反映創(chuàng)意平板折疊桌的穩(wěn)定性。以木條數(shù)量以及空槽的總長反映量。所有木條體積和（即平板體積）反映用料量。通過將次級目標(biāo)納入限定條件以及逐層選優(yōu)的方法將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)進行求解。問題三：首先，建立投影接木模型，以鋼筋位置為變量，定量確定基于客戶期望的平板折疊桌的各參數(shù)函數(shù)

3、。從而在問題二模型基礎(chǔ)上，確定量函數(shù)、用料函數(shù)、以及穩(wěn)定性函數(shù)。運用熵權(quán)法賦權(quán)重后，求解使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的鋼筋位置，從而求解各參數(shù)。：平面及空間幾何 擬合 多目標(biāo)逐層優(yōu)化 投影接木 熵權(quán)法1一、問題重述一種平板折疊桌，若干木條桌腿被分成兩組，通過鉸鏈連于桌面，可以旋轉(zhuǎn)。每組有一根鋼筋穿過該組木條空槽，空槽有一定長度保證木條可滑動。未展開平板，完全展開后，均直紋曲面。1.給定長方形平板長、寬、高、木條寬度、完全展開后桌高的數(shù)據(jù)，并已知鋼筋固定在最外側(cè)木條重心。建立數(shù)學(xué)模型描述該桌從未展開到完全展開這一動態(tài)過程，計算其設(shè)計參數(shù)并用數(shù)學(xué)方法描述桌角。2.給定完全展開時的桌高與圓形桌面直徑，求出桌子的最

4、優(yōu)設(shè)計參數(shù)，使得桌子的穩(wěn)固性好，易與用料少。3.建立數(shù)學(xué)模型，對任意完全展開時的桌高和桌面、桌腳邊緣形狀，求出可行最優(yōu)設(shè)計參數(shù)和未展開時平板形狀意圖描述其動態(tài)變化。運用該模型給出幾個設(shè)計，并畫 8 張及以上示二、模型假設(shè)假設(shè) 1：鋼筋橫截面積很小，忽略不計。假設(shè) 2：鋼筋遠遠重于木條。假設(shè) 3：鉸鏈非常穩(wěn)固。假設(shè) 4：平板狀態(tài)時，各木條沒有間隙。三、符號說明2符號說明li第 i 個桌腿木條長度li '平板上與第 i 個桌腿木條共線的桌面木條長度a、b、c平板長、寬、高d木條寬度ai第i 根木條所在直線與 Y 軸的夾角bi第i 根木條底面所在直線與 Z 軸夾角h桌面下表面到地面高度H桌面

5、上表面到地面高度Ci桌腿木條開槽長度M桌的載重量F每根最長木條可受的臨界力m長度系數(shù)E材料的彈性模量I壓桿橫截面對中心軸的最小慣性矩四、模型建立與問題求解（一）問題一1. 題目分析問題一中給定平板與桌子的，鋼筋的位置，可以把桌子底面的中心為原點，通過建立相應(yīng)的空間坐標(biāo)系，計算木條開槽長度等設(shè)計參數(shù)及描述折疊過程中桌腳中點連接形成的的變化過程及其最終的數(shù)學(xué)描述。由圖可以發(fā)現(xiàn)鋼筋在最前與最后的兩根木條形成的線段與桌面平行。2. 模型建立2.1 建立坐標(biāo)系如圖，把桌子底面的中心為原點，以平行鋼筋的x 軸，以桌面的平面上垂直y 軸方向，以豎直向上為 z 軸正方向，建立相應(yīng)的空間坐標(biāo)系（桌折疊后鋼筋的的

6、狀態(tài)如圖 1），其中 A 為最長桌腿與桌面的點，C 為最長桌腿與地面的接觸點。的交點，B 為鋼筋固定在最長木條上圖 1 坐標(biāo)系示意圖3S四個支撐點所圍成的面積Y各木條空槽的總長度（量）S '用料量zB鋼筋高度2.2 描述折疊桌的動態(tài)變化過程首先我們需要求得桌未折疊時各桌腿的長度li 以及組成桌面的木條長度的li ' ，其中a、b、c 分別為木板的長、寬、高， d 為木條的寬， i 表示從最長桌腿數(shù)起的第i 根木條（因折疊桌的對稱性，故先只描述折疊桌 1/4 的情況，即以下公式中i = 1,2,.,10 ）：li = (a - li ')/ 2ö2（1.1）2i

7、 -1æl ' = 2r 2 - ç r -d ÷iè2ø根據(jù)所建立的坐標(biāo)系，我們可以得到從 X 軸負方向所看到的折疊后桌的示意圖，（如圖 2），其 A、B、C 點與圖 1 中相同，CD 為最長木條的末端線段，ai 表示第i 根木條與 Y 軸夾角， bi 表示第i 根木條底面所在直線與 Z 軸夾角。圖 2 折疊后桌的示意圖ZAYa1b1B（鋼筋固定點）DC利用桌的折疊過程中的幾何關(guān)系分析可得每條桌腿邊緣點隨ai 變化的過程，以最長桌腿的運動為例，可知其運動過程中桌腿底面中點即 C 點的坐標(biāo)變化如下：x = r - dC2yC = l1

8、' / 2 + l1 ´sin b1zC = -l1 ´ cos b1（1.2）hl其中cos b1 =， h = H - b ， H 為桌面高度。1根據(jù)相同規(guī)律即可求得剩余桌腿的對應(yīng) C 點的坐標(biāo)變化。2.3 桌腿木條的開槽長度由折疊桌的動態(tài)變化過程可知在平板狀態(tài)第 210 根木條的鉸鏈處距鋼筋最近，此距離用Ci min 表示，而在折疊狀態(tài)時鉸鏈處距鋼筋最遠，此距離用Ci max 表示，則由幾何求得桌腿木條的開槽長度Ci (i = 2,3,.,10)：4= li - l1 / 2Ci minlC=´sina / sina1（1.3）i max1i2= C

9、i max -Ci minCi折疊狀態(tài)時表示第i 根木條與 Y 軸的角度ai 的值可由以下公式求得：ö2æ b ö2æ lsina1+ çç1 ÷÷tana =è 2 øè 2 øiö2æ b ö2æ ll 'l '+ ç´ cosa1 - i 12ç1 ÷÷（1.4）è 2 øè 2 ø2hsina =122æ b &#

10、246;l +ç÷1è 2 ø2.4 桌角結(jié)合圖 1 和 2，先根據(jù)ai 的值求得bi ，即：pbi =-ai - arctanæ dö（1.5）ç÷lè1 ø2并結(jié)合各桌腿長度及桌折疊后的狀態(tài)，可求得各桌角底面末端中點的坐標(biāo)值(xCi，yCi，zCi )，如下：= r - 2i -1 dxCi2= li ' / 2 + li ´sin bi= -li ´ cos bi的形狀與方程。yCi zCi（1.6）將這些點進行擬合即可得桌面3. 模型的求解3.1 折疊桌的動態(tài)

11、變化過程的求解根據(jù)桌的折疊狀態(tài)下所求得的ai 最大值，選取ai 在(5°，70°) 范圍內(nèi)以5° 為間距的值，利用公式（1.2）和（1.6），擬合出這些值所對對應(yīng)時刻的桌角的變化過程描述折疊桌的動態(tài)變化過程，經(jīng)求解可得每個角度的桌角下圖，其坐標(biāo)軸對應(yīng)為圖 1 所建坐標(biāo)軸：，以此桌角的如圖 3 動態(tài)變化過程圖53.2 桌腿木條開槽長度的求解根據(jù)公式（1.3）和（1.4），可求解得第 2 到 10 根桌腿木條的開槽長度分別為表 1 桌腿木條開槽長度表其余木條開槽長度根據(jù)對稱性即可對應(yīng)得到。3.3 桌角的求解根據(jù)公式（1.5）和（1.6），可求得折疊后各桌腿末端的坐標(biāo)，

12、經(jīng)擬合可得其曲線圖如下：圖 4 桌角曲線圖經(jīng)多項式擬合后計算可得得此曲線方程為：x = 0.0224 y2 + 7.0985z = -0.0345 y2 - 30.9716（1.7）6編2345678910號開槽長度/cm4.04747.15749.723811.848413.576814.935415.941216.605916.9365（二）問題二1. 題目分析折疊桌參數(shù)優(yōu)化設(shè)計以穩(wěn)固性好、易、用材少為目標(biāo)，所以首先需要用函數(shù)量，求解最外側(cè)木條的最優(yōu)長度和該木條上鋼化上述目標(biāo)。將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化單目標(biāo)筋的最優(yōu)固置，從而求解對應(yīng)的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。2. 模型建立2.1 穩(wěn)定性描述2.1.1 木條承重角

13、度定量描述穩(wěn)定性：從材料力學(xué)角度，此折疊桌應(yīng)保證桌面放置一定重量物體后，承重木條折斷。則可用折疊桌的承重量描述桌的穩(wěn)定性。其中一條最長桌腿的受力分析如下圖所示（忽略鋼筋固定點的受力），其中M 為桌的載重量， F 為每根最長木條可受的臨界力：圖 5 最長桌腿受力分析圖ZAYMg4Fb1DC根據(jù)等截面細長受壓直桿臨界載荷計算公式（公式），根最長木條可受的臨界力只與木條的長度和性質(zhì)有關(guān)，當(dāng)木條所受力大于臨界力時，木條會朝 CD 方向彎曲并斷裂。故由木條的長度、性質(zhì)以及桌的折疊狀態(tài)的幾何關(guān)系，結(jié)合桌的載重量與木條長度的關(guān)系：公式，可得到折疊p2EIF =(l )2m（2.1）1cos b = Mg14

14、F其中m為長度系數(shù)，此系數(shù)大小與桿端支承有關(guān)，因折疊后最長桌腿相當(dāng)于兩端固7定，則取m= 0.5 ； E 為材料的彈性模量，查表可知木材的彈性模量為11Gpa ； I 為壓桿橫截面對中心軸的最小慣性矩，其計算方法如下：d ´ b3I =（2.2）122.1.2 整體結(jié)構(gòu)角度定性描述穩(wěn)定性由工程力學(xué)知識可知，折疊桌的穩(wěn)定性也與折疊桌的支撐面面積和重心位置有關(guān)， 支撐面面積越大，重心位置越低，越靠近中心軸，則折疊桌越穩(wěn)定。其中支撐面的面積即為四個支撐點所圍成的面積，由幾何計算得到：S = 4ræ l1 ' + l sin b öç21 ÷（

15、2.3）1èø而由于鋼筋質(zhì)量遠大于木條質(zhì)量，所以在計算重心時忽略木條質(zhì)量對重心的影響， 只考慮鋼筋位置對重心的影響。則分析桌的折疊狀態(tài)，可知重心始終位于中心軸上，所以鋼筋位置越低，重心位置就越低。2.2.3 穩(wěn)定性函數(shù)結(jié)合以上對穩(wěn)定性的分析可知則折疊桌的承重量和支撐面積越大，則折疊桌的穩(wěn)定性越強，即：ìMax MÞ Max SMí Max Sî故所求的目標(biāo)函數(shù)即為穩(wěn)定性函數(shù)表。2.3量函數(shù)因折疊桌量，即可得過程中各零件的量的函數(shù)為：量相差不大，故以各木條空槽的總長度衡量10Y = 4åCii=2其中各木條槽長計算方法見公式（

16、1.3）。（2.4）2.4 用料函數(shù)忽略過程中木條原材料的損耗，所有木條體積和（即展開狀態(tài)時平板體積）可反映用料量，即可得用料量的函數(shù)為：æ l'öS ' = 4r+ç21l÷（2.5）1èø2.5 多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)模型2.5.1 多目標(biāo)由題意可建立一個多目標(biāo)個目標(biāo)，即：，其目標(biāo)分別為使穩(wěn)定性最大、量及用料最少三8Max SM Min S 'Min 4åCii=2102.5.2 將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)結(jié)合實際生活，根據(jù)上述三個目標(biāo)函數(shù)的重要性，選擇穩(wěn)定性作為首要的目標(biāo).同時根據(jù)生活中一般桌椅的承重量設(shè)

17、定最低承重量為 100kg，此承重量所對應(yīng)的最長桌腿的長度即為其長度的最大值，并通過幾何得最長桌腿的最短長度。所得單目標(biāo)模型如下：Max z = SMìS ' > pr 2ïrl1 's.t.íl1 > 2 -2ï M³ 100î求解此模型可得到最優(yōu)的最長木條長度l1 。2.5.3 確定鋼筋位置求得最長桌腿的最優(yōu)解后，即可進一步確定鋼筋位置，此時鋼筋被限制在最長桌腿所在直線上運動。不斷改變鋼筋高度，所對應(yīng)的量也會隨之發(fā)生變化，其變化的曲線為一遞增曲線，故量會隨著鋼筋高度的降低而減小，而當(dāng)鋼筋位置減小時，重心

18、也會隨之而減小，故鋼筋位置越低越好。然而折疊狀態(tài)時鋼筋固定點距最短桌腿鉸鏈處的距離需小于或等于最短桌腿的長度，據(jù)此可確定鋼筋位置的最低點。3. 模型的求解由題意已知需算桌面圓半徑r = 40cm ，桌面高度 H = 70cm ，本文認為木條的寬度與桌面半徑成正比，木板高度與問題一一致，即b = 3cm ，則結(jié)合問題一數(shù)據(jù)可得問題二需求的桌面底面距地面高度h = 67cm ，木條寬度d = 4cm 。結(jié)合公式（2.1），（2.2），（2.3）和（2.5），求解單目標(biāo) 模型，可求得最優(yōu)值為l1 = 87.1cm 。由所求得的最長桌腿長度及公式（1.1），可求得木板為199.2 ´ 80

19、´ 3(cm3 )，鋼筋固定點在折疊后離地面高度為33.95cm ，第 210 根桌腿長度的開槽長度見下表：表 2 開槽長度表9編2345678910號開槽長19.7832.1340.8247.2352.0055.5158.0059.5860.36（三）問題三1.問題分析用戶通過給出桌高、桌面形狀大小和桌腳大致形狀定制折疊桌。首先建立投影接木模型,定量地對桌子的形狀進行數(shù)學(xué)描述，基于模型二，以鋼筋高度為變量，求出量函數(shù)和用料函數(shù)，生成數(shù)據(jù)。熵權(quán)法賦權(quán)重，求出使量少、用料少、重心低的最優(yōu)鋼筋高度。通過鋼筋高度給出設(shè)計參數(shù)。2.模型建立2.1 投影接木模型2.1.1 建立空間直角坐標(biāo)系、

20、極坐標(biāo)系重新建立新的空間直角坐標(biāo)系并在此基礎(chǔ)上建立極坐標(biāo)系，其中Oi 為每條桌腿木條的鉸鏈處，以此為原點建立i 個不同的極坐標(biāo)系，其部分如下圖所示：圖6空間直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系示意圖10度/cm2.1.2 單目標(biāo)模型基于問題立以穩(wěn)定性函數(shù)的最大值為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)模型，其約束條件也與問題二相似，則建立單目標(biāo)模型如下：Max z = SMìS ' > pr 2ïrl1 's.t.íl1 > 2 -2ï M³ 100î（3.1）求解此模型可得到最優(yōu)的最長木條長度l1 。2.1.3投影在所建立的直角坐標(biāo)系中，確定

21、每根木條桌腳在地面上的投影坐標(biāo)。在極坐標(biāo)系中，根據(jù)鋼筋位置和鉸鏈位置，確定各木條長度及木條方向。具體函數(shù)見附錄二。2.2 基于熵權(quán)法的逐級多目標(biāo)根據(jù)各桌腿末端均要高于地面，且鋼筋的位置須在桌面邊緣與 X 軸平行的切線平面（該平面垂直于地面）與地面的所隔成的空間范圍內(nèi)移動，可以確定鋼筋高度的約束范圍。在鋼筋高度的范圍內(nèi)以一間距取值，求各個值所對應(yīng)的用料量及量。利用這些數(shù)據(jù)，對其進行處理，并用熵權(quán)法求出鋼筋高度、用料量及量的權(quán)重。利用這些權(quán)重可將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)，此單目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)為：nMin z = w1 zB + w2 S '+w3 4åCii=2求解可得滿足最優(yōu)解的鋼筋高

22、度，從而可求得優(yōu)化的各設(shè)計參數(shù)。（3.2）3 模型求解我們選取桌的高度為 100cm，桌面為半徑為 30cm 的圓形，桌腳投影為半圓，其方程如下）為一設(shè)計方案。x2 + (y - 70.5226)2 = 28.752求解步驟如下：為一弧形（其（3.3）求解（3.1）的單目標(biāo)模型，可求得最長木條長度l1 = 93.478 ，結(jié)合鋼筋高度的約束條件，可得到鋼筋高度的范圍即 zB = 45.8，65.2。根據(jù)鋼筋高度范圍內(nèi)取得的用料量及量，采用熵權(quán)法可求得權(quán)重：w1 = 0.8389, w2 = -0.4091, w3 = 0.5702的目標(biāo)函數(shù)，求解可得滿足最優(yōu)解的鋼筋高度 zB = 56.5cm

23、 ，以從而確定單目標(biāo)及開槽長度：11表3開槽長度表可求得動態(tài)圖如下：12編號23456789101112開槽長度/cm2.194.256.258.169.9111.4612.7813.8614.6815.2215.491314五、模型的誤差分析1.忽略鋼筋橫截面積會造成微小誤差。2 計算重心時忽略木條重量會使計算重心比實際重心偏低六、模型的評價優(yōu)點：第一題采用平面幾何和空間幾何求解，簡單清楚。第二題對于從材料和結(jié)構(gòu)15兩個角度考慮穩(wěn)定性，較為全面。多目標(biāo)，能很好地兼顧客戶和生產(chǎn)者的利益需求。第三題開創(chuàng)性的建立投影接木的模型，較準確地對定制桌子進行數(shù)學(xué)描述。缺點：多目標(biāo)轉(zhuǎn)單目標(biāo)時，采用遞進選優(yōu)，

24、未必是最優(yōu)解七、模型的推廣本文根據(jù)設(shè)計要求，通過建立數(shù)學(xué)模型對創(chuàng)意平板折疊桌的參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，并描述其從平板到完全展開的動態(tài)變化過程?；诒疚牡哪Ｐ?，可以解決類似家具的加工參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。16八、參考文獻1234公路，2016，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用M，北京：高等教育，2005。，但琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗(第 2 版)M，北京：高等教育，2003。，數(shù)學(xué)模型M.北京：高等教育，2003。，橋梁下部結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析及其計算長度的實用計算方法J，5肖曉陽，“結(jié)構(gòu)與穩(wěn)定性”教學(xué)問題探討J，福建教育學(xué)院學(xué)報，201417九、附錄附錄一問題一clc clearfor i=1:10x(i)=sqrt(625

25、-(25-2.5*i+1.25)2);%以圓的下方中心為原點，每個凹槽的橫坐標(biāo)，凹槽長度y(i)=25-2.5*(i-1);%凹槽前面縱坐標(biāo)changdu(i)=60-sqrt(625-(25-2.5*i+1.25)2);%假設(shè)圓經(jīng)過每個凹槽的中點endfor i=11:20 changdu(i)=changdu(21-i); x(i)=x(21-i);y(i)=-1*y(21-i); end%凹槽前面縱坐標(biāo)gangjing(1)=changdu(1)/2;%鋼筋到第一條末端，凹槽的距離aocao(1)=x(1);aocao(20)=x(20); for i=2:19gangjing(i)=c

26、hangdu(i)-gangjing(1);%鋼筋到每個凹槽的距離aocao(i)=x(i)-x(i-1);if aocao(i)<=0aocao(i)=x(i)-x(i+1); %每個凹槽“凸出/凹進”的長度end endj=asin(1.5/sqrt(changdu(1)2/4+1.52); b=sqrt(changdu(1)2/4+1.52);for aa=5:5:70 %最外面木條轉(zhuǎn)過的角度a=aa/180*pi;g=aa/5; zgang(g,1)=b*sin(a-j);xgang(g,1)=b*cos(a-j)+60-changdu(1);%鋼筋的坐標(biāo)zmo(g,1)=cha

27、ngdu(1)*sin(a)*(-1);ymo(g,1)=25-1.25;xmo(g,1)=changdu(1)*cos(a)+60-changdu(1);%第一條末端中點坐標(biāo)jiao(g,1)=0.5*pi-a;for i=2:10jj=atan(1.5/gangjing(i); if xgang(g,1)-x(i)>0jiao(g,i)=0.5*pi-atan(zgang(g,1)/(xgang(g,1)-x(i)-jj;%木條與豎直18垂線夾角elsejiao(g,i)=0.5*pi-atan(zgang(g,1)/(x(i)-xgang(g,1)+jj; %木條與豎直垂線夾角en

28、dendfor i=11:20jiao(g,i)=jiao(g,21-i);endfor i=2:20ymo(g,i)=25-1.25-(i-1)*2.5;xmo(g,i)=changdu(i)*sin(jiao(g,i)+60-changdu(i);zmo(g,i)=-1*changdu(i)*cos(jiao(g,i); end%后面的中點的立體坐標(biāo)endfor i=1:10 x1=xmo(i,:);y1=ymo(i,:);z1=zmo(i,:); a1(:,i)=polyfit(y1,x1,2);b1(:,i)=polyfit(y1,z1,2);%擬合后的表plot3(x1,y1,z1)

29、;hold on End%clc clearfor i=1:10x(i)=sqrt(625-(25-2.5*i+1.25)2);%以圓的下方中心為原點，每個槽的橫坐標(biāo)y(i)=25-2.5*(i-1);%凹槽縱坐標(biāo)changdu(i)=60-sqrt(625-(25-2.5*i+1.25)2);%假設(shè)圓經(jīng)過每個槽的中點endfor i=11:20 changdu(i)=changdu(21-i); x(i)=x(21-i);y(i)=-1*y(21-i); endgangjing(1)=changdu(1)/2;%鋼筋到第一條末端，前端的距離for i=2:20gangjing(i)=gang

30、jing(1)+x(1)-x(i);%平板時鋼筋到每個槽的距離endjiajiao=asin(50/changdu(1)*180/pi;%外側(cè)木條與地面夾角jiao(1)=90-jiajiao;%外側(cè)木條與豎直垂線夾角j(1)=atan(1.5/gangjing(1);%鋼筋與槽下端連線與木條夾角a=1.5/sin(j(1);jj=(jiajiao-j(1)*180/pi)/180*pi;19zz=sin(jj)*a;%鋼筋的 z 軸坐標(biāo)*（-1）xx=cos(jj)*a+60-changdu(1);%鋼筋的坐標(biāo)for i=2:19cao(i)=sqrt(zz2+(i)2-1.52)-gang

31、jing(i); if i>10cao(i)=cao(21-i);end endfor i=2:10%每根木條相對鋼筋槽長度yy(i)=y(i);%鋼筋在每一條外面的縱坐標(biāo)j(i)=atan(1.5/gangjing(i);if(i)>0jiao(i)=0.5*pi-atan(zz/( jiao(i)=jiao(i)*180/pi; else(i)-j(i);%木條與豎直垂線夾角 角度值jiao(i)=0.5*pi-atan(zz/(x(i)-xx)+j(i);jiao(i)=jiao(i)*(-1)*180/pi; %木條與豎直垂線夾角 角度制end endfor i=11:20

32、jiao(i)=jiao(21-i);%木條與豎直垂線夾角 角度值yy(i)=y(i);%鋼筋在每一條外面的縱坐標(biāo)endfor i=1:20y1(i)=25-1.25-(i-1)*2.5;x1(i)=changdu(i)*cos(0.5*pi-jiao(i)/180*pi)+60-changdu(i);z1(i)=-1*changdu(i)*sin(0.5*pi-abs(jiao(i)/180*pi); endplot3(x1,y1,z1);aa=polyfit(y1,x1,2); bb=polyfit(y1,z1,2)%后面的中點的立體坐標(biāo)問題二clc clearh=70;%桌子高度,厚度仍

33、未 3 厘米r=40;%圓半徑,一根木條 4 厘米，20 根y=12.4899959967968,21.0713075057055,26.4575131106459,30.3973683071413,33.40 65861769801,35.7211421989835,37.4699879903904,38.7298334620742,39.5474398665704,39.9499687108764,39.9499687108764,39.5474398665704,38.7298334620742,37.4699879903904,35.7211421989835,33.406586176

34、9801,30.3973683071413,26.4575131106459,21.0713075057055,12.4899959967968;%鉸鏈槽的一側(cè)長度y1=12.4899959967968,8.58131150890868,5.38620560494043,3.93985519649542,3.00921786983881,2.31455602200337,1.74884579140689,1.25984547168378,0.817606404496210,0.402528844305976;%槽的“相對長度”20za=67;%第一個鉸鏈槽中點坐標(biāo)zc=0;%桌腳中點坐標(biāo)ya=

35、12.4899959967968;%最中間木條的坐標(biāo)39.9499687108764syms yb zb%木條向下的一面中間鋼筋投影坐標(biāo)yc=ya+(yb-ya)/(zb-za)*(zc-za);zuiduan=sqrt(zc-za)2+(yc-ya)2)+y(1)-y(10);%最短的木條長度zuiduangang=sqrt(yb-y(10)2+(zb-za)2);%第十根木條鋼筋到鉸鏈距離zuiduan=simplify(zuiduan);yongliao=(sqrt(yc-ya)2+(zc-za)2)+ya)*2*2*40*3; yongliao=simplify(yongliao);%

36、用料多少p=pi2*11*106*10(-8)*64*3*4/(0.5*0.01*sqrt(yc-ya)2+(zc-za)2)2; p=simplify(p);zhongliang=sum(y)*2*3*2.5*0.5*sqrt(yc-ya)2+(zc-za)2)/67*10(-6);% 密度默認為0.5zhongliang=simplify(zhongliang);qianhoubi=sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2)/sqrt(ya-yc)2+(za-zc)2); qianhoubi1=sqrt(ya-yc)2+(za-zc)2)/sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2);

37、wengu=yc*2*40*2/zb;wengu=simplify(wengu);%穩(wěn)固性能jiao1=atan(zb-za)/(yb-ya);j=atan(1.5/sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2); yy=ya+sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2+1.52)*sin(jiao1-j); yy=simplify(yy);zz=sqrt(yb-ya)2+(zb-za)2+1.52)*cos(jiao1-j); zz=simplify(zz);for i=2:10cao(i)=sqrt(yy-y(i)2+zz2-1.52)-(sqrt(yb-y(i)2+zb2)+y(1)-y(

38、i);end jiagong=sum(cao)*4+sum(y1)*4;jiagong=simplify(jiagong);%量%clc clearh=70;%桌子高度,厚度仍未 3 厘米r=40;%圓半徑,一根木條 4 厘米，20 根for i=1:20y(i)=sqrt(402-(40-2-4*(i-1)2); if i>10y(i)=y(21-i);%鉸鏈槽的一側(cè)長度end endy1(1)=y(1);for i=2:10y1(i)=y(i)-y(i-1);%每個鉸鏈槽的“相對長度” end21xa=40-2;%第一個鉸鏈凹槽坐標(biāo)xb=xa;%木條向下一面中點坐標(biāo)xc=xa;%桌腳

39、中點坐標(biāo)za=0; zc=-67;ya=sqrt(402-382); m=1;n=1;for i=12.5:1:38.5for j=1:66yb(m,n)=i;%木條下面的中點坐標(biāo)zb(m,n)=-1*j;%木條下面的中點坐標(biāo)yc(m,n)=ya+(zc-za)/(zb(m,n)-za)*(yb(m,n)-ya);%桌腳中點坐標(biāo)changdu(m,n)=sqrt(yc(m,n)-ya)2+(zc-za)2);%最外側(cè)木條長度jiajiao(m,n)=atan(yb(m,n)-ya)/(za-zb(m,n)*180/pi;%最外側(cè)木條與豎直的夾角 角度制jiajiao1(m,n)=90-jiaj

40、iao(m,n);%最外側(cè)木條與水平的夾角 角度制wengu(m,n)=2*yc(m,n)*2*r/(zb(m,n)+67);%穩(wěn)固性能yongliao(m,n)=2*(changdu(m,n)+ya)*3*2*r;%用料，平板 V j1(m,n)=atan(1.5/sqrt(yb(m,n)-ya)2+(zb(m,n)-za)2);%鋼筋與槽下端連線與木條夾角a=1.5/sin(j1(m,n);%最外側(cè)木條斜條的一半jj(m,n)=(jiajiao1(m,n)-j1(m,n)*180/pi)/180*pi;zz(m,n)=sin(jj(m,n)*a;%鋼筋的 z 軸坐標(biāo)*（-1）yy(m,n)

41、=cos(jj(m,n)*a+y(1);%鋼筋的坐標(biāo)for g=2:10gangjing(g)=changdu(m,n)+ya-y(g)-sqrt(yb(m,n)-yc(m,n)2+(zb(m,n)-zc)2);% 總長度- 槽長度-鋼筋到末端距離cao(g)=sqrt(zz(m,n)2+(yy(m,n)-y(g)2-1.52)-gangjing(g); % 每根木條相對鋼筋槽長度endjiagong(m,n)=sum(cao)*4+sum(y1)*4;% n=n+1;endm=m+1; n=1;end，槽+凹槽l=1;for i=1:66for j=1:27 jiagong1(l,1)=ji

42、agong(j,i); yongliao1(l,1)=yongliao(j,i); wengu1(l,1)=wengu(j,i); l=l+1;22endendmax1=max(jiagong1); max2=max(yongliao1); max3=max(wengu1); min1=min(jiagong1); min2=min(yongliao1); min3=min(wengu1); for i=1:1782jiagong2(i,1)=(max1-jiagong1(i,1)/(max1-min1); yongliao2(i,1)=(max2-yongliao1(i,1)/(max2-m

43、in2); wengu2(i,1)=(wengu1(i,1)-min3)/(max3-min3);end R=jiagong2,yongliao2,wengu2; for i=1:3for j=1:1782 if R(j,i)<=0R(j,i)=0.00001;endRR(j,i)=R(j,i)*log(R(j,i);end Rr=sum(RR);X(1,i)=-1*1/log(1782)*Rr(1,i); endfor k=1:3W(1,k)=(1-X(1,k)/(3-sum(X);for p=1:1782R1(p,k)=R(p,k)*W(1,k);end endRsum=sum(R1

44、,2); Rmax=max(Rsum); find(Rsum=Rmax); for i=68:200chang(i-67)=i;p1(i-67)=pi2*11*106*10(-8)*64*3*4/(0.5*0.01*chang(i-67)2; s(i-67)=(sqrt(chang(i-67)2-672)+ya)*2*40;p1(i-67)=p1(i-67)*s(i-67);end plot(chang,p1);問題三clearclc %以桌面中心在下底面的投影為原點r=30;%假設(shè)一根木條寬度 2.5 厘米，圓的半徑 30 厘米，直徑 60 厘米，一側(cè) 24 根木條=12*2h=73;%假定

45、高度為 73 厘米，厚度 3 厘米for i=1:2423y(i)=sqrt(302-(30-2.5*i+1.25)2);%以圓的下方中心為原點，每個鉸鏈槽的長度x(i)=30-2.5*(i-1)-1.25;%鉸鏈槽側(cè)面中點坐標(biāo)/桌腳中點坐標(biāo)if i>12y(i)=y(25-i);end endy1(1)=y(1);for i=2:24 y1(i)=y(i)-y(i-1); if i>12y1(i)=y1(25-i);%鉸鏈槽的相對距離end end%for i=70:300%chang(i-69)=i;%假設(shè)最長木條最長木條長度 93.47821%p(i-69)=pi2*11*1

46、06*10(-8)*2.53*3*4/(0.5*0.01*chang(i-69)2;%s(i-69)=(sqrt(chang(i-69)2-702)+y(1)*2*30;%sj(i-69)=p(i-69)*s(i-69);%end%plot(chang,sj);mutou=sqrt(93.478212-702);%最長木條在水平面上的投影長度yc(1)=mutou+y(1); %yc=70.5226xc(1)=x(1);%方程為：x2+(y-70.5226)2=28.752 for i=2:24xc(i)=x(i);yc(i)=-1*sqrt(28.752-x(i)2)+70.5226; if

47、 i>12yc(i)=yc(25-i);%每個桌腳后緣中點的投影坐標(biāo)end endjiao=acos(70/sqrt(702+(yc(1)-y(1)2);%syms zgfor j=1:61%假定木條底面中點高度zb(j)=4+j;mutiao(j,1)=93.47821; mutiao1(j,1)=93.47821+y(1);yb(j)=y(1)+mutou-zb(j)*mutou/70;%欠限制鋼筋位置的條件ll(j)=sqrt(yb(j)-y(1)2+(zb(j)-70)2+2.25);jj(j)=atan(1.5/sqrt(yb(j)-y(1)2+(zb(j)-70)2); yg

48、(j)=y(1)+cos(jiao-jj(j)*ll(j);zg(j)=70-sin(jiao-jj(j)*ll(j);%鋼筋坐標(biāo)for k=2:12zc(j,k)=70+(yc(k)-y(k)*(zg(j)-70)/(yg(j)-y(k);%其余木條腳的高度mutiao(j,k)=sqrt(yc(k)-y(k)2+(zc(j,k)-70)2);%所有木條長度mutiao1(j,k)=mutiao(j,k)+y(k);cao(k)=sqrt(yg(j)-y(k)2+(zg(j)-70)2)-(sqrt(yg(j)-y(1)2+(zg(j)-70)2)+y(1)-y(k); end24mutia

49、o11=sum(mutiao1,2);%四分之一圓的木頭長度mutiao2(j)=mutiao(j)*2*2;%桌子所有的木頭長度cao1(j)=sum(cao);end subplot(2,1,1);plot(zg,mutiao11);%木條+木槽的總長度與鋼筋高度的關(guān)系subplot(2,1,2);plot(zg,cao1);%鋼筋槽總長與鋼筋高度關(guān)系clc clear h=70; H=73;ya=8.56956825050131,14.5236875482778,18.3285978732690,21.1763429326218,23.4 187424939940,25.21780125

50、22900,26.6634112596269,27.8107443266087,28.6956007081225,29.3417364857638,29.7647022494766,29.9739470207045,29.9739470207045,29.7647022494766,29.3417364857638,28.6956007081225,27.8107443266087,26.6634112596269,25.2178012522900,23.4187424939940,21.1763429326218,18.3285978732690,14.5236875482778,8.569

51、56825050131;%鉸鏈槽的長度 za=70 yc=70.5225806454131,58.7965606004414,54.3207482539804,51.1576832689629,48.7281052822966,46.8055175487372,45.2738376540948,44.0650868893541,43.1364721247417,42.4601695991954,42.0182143725216,41.7997867673099,41.7997867673099,42.0182143725216,42.4601695991954,43.1364721247417

52、,44.0650868893541,45.2738376540948,46.8055175487372,48.7281052822966,51.1576832689629,54.3207482539804,58.7965606004414,70.5226000000000;%桌腳坐標(biāo) zc(1)=0 xa=28.7500000000000,26.2500000000000,23.7500000000000,21.2500000000000,18.7500000000000,16.2500000000000,13.7500000000000,11.2500000000000,8.75000000

53、000000,6.25000000000000,3.75000000000000,1.25000000000000,-1.25000000000000,-3.75000000000000,-6.25000000000000,-8.75000000000000,-11.2500000000000,-13.7500000000000,-16.2500000000000,-18.7500000000000,-21.2500000000000,-23.7500000000000,-26.2500000000000,-28.7500000000000;%鉸鏈槽的橫坐標(biāo)xc=28.7500000000000,26.2500000000000,23.7500000000000,21.2500000000000,18.7500000000000,16.2500000000000,13.7500000000000,11.2500000000000,8.75000000000000,6.25000000000000,3.75000000000000,1.25000000000000,-1.2500000000