高數下復習題

1、第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分一、對弧長的曲線積分例1計算, 其中L為圓周, 直線及軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界。(07)O yBAxx解：所求積分的曲線可分為三段：線段OA、弧AB、線段OB。線段OA：y = 0，0 £ x £ a，；弧AB：x=acost，y=asint，；線段OB：y=x，。所以，=。例2，其中為擺線的一拱， （）(05)解: , 原式= =例3計算，其中G 為折線ABCD，這里A, B, C, D四點的坐標依次為點(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1 ,0 , 2), (1,3,2)；解：所求積分的曲線可分為三段：線段AB、

2、線段BC、線段CD。線段AB：x = 0，y = 0，0 £ z £ 2，；線段BC：y = 0，z = 2，0 £ x £ 1，, ；線段CD：x = 1，z = 2，0 £ y £ 2，, ；所以，= 9。二、對坐標的曲線積分 曲面積分時候加根號倒例2aayxoAB1，其中L為圓周 (x a)2 + y2 = a2 (a>0)，及x軸所圍成的在第一象限內的區(qū)域的整個邊界(按逆時針方向繞行)；解：將圓周ABO：(x a)2 + y2 = a2用參數方程表示：（t從0變到p）；x軸上的一線段OA為：y=0，（ x 從0變到2a）

3、；則：+。例2，其中L為圓周x2 + y2 = a2 (按逆時針方向饒行)；解：積分曲線L的參數方程為：（t從0變到2p）；則例3,其中G為有向閉折線ABCA, 這里A, B, C三點的坐標依次為點(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)；解：由A, B, C三點的坐標可得有向線段AB, BC, CA的參數方程及參數t的變化范圍為:t由0變到1； t由0變到1； t由0變到1；則，= 2；=；=； 所以，=。三、兩類曲線積分之間的聯系例. 將對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分, 其中L為:沿上半圓周x2 + y2 = 2x從點(0, 0)到點(1, 1)。解：由于L的方程

4、為 , x從0變到1, 則, 故=。四、格林公式例1. 利用曲線積分, 求星形線x = a cos3 t，y = a sin3 t所圍成的圖形的面積。xoyaa解：畫積分曲線如圖，則所求面積為A = =。例2. 設平面曲線取正向，則曲線積分 。（06） 解： 。?。?，則 。例2. 設平面曲線取逆時針方向，則曲線積分 解 , . 當x2+y2¹0時. 在L內作逆時針方向的e小圓周 l : x=ecosq, y=esinq(0£q£2p), 在以L和l為邊界的閉區(qū)域De上利用格林公式得 , 即 . 因此 例3. 證明：，其中是正向一周。(07)解：因曲線為封閉曲線，,

5、滿足Green公式條件，從而直接應用Green公式有：原式例4.設L為圓周，取順時針方向，則（ B ）（05） (A) ；(B) ；(C) ；(D) 例5. 計算曲線積分，其中L是由點A（a，0）到點O（0，0）的上半圓周 （02）解：這里，得到 ，由格林公式例6. 計算曲線積分，其中C是由的上半圓周由點A（2，0）到點B（0，0）的弧段。（06）解：加補直線段，則與構成封閉曲線的正向，記其所圍成區(qū)域為。顯然， 在內具有一階連續(xù)偏導數，由格林公式有：在上，因此 故 五、曲線積分與路徑無關的等價條件例1. 計算曲線積分，其中L是在圓周上由點O（0，0）到點A（1，1）的一段弧解：這里，得到 ，故

6、積分與路徑無關=例2. 驗證在整個面內為某一函數的全微分，并求出這樣一個。（04）解: 這里 ，則 = 因為,所以在整個面內為某一函數的全微分. 且 例3. 驗證下列曲線積分與路徑無關，再求積分值（03）解： P=2xy-y4+3, Q=x2-4xy3, 顯然P、Q在整個xOy面內具有一階連續(xù)偏導數, 并且, 所以在整個xOy面內積分與路徑無關, 選取路徑為從(1, 0)®(1, 2)®(2, 1)的折線, 則 .例4. 證明曲線積分與路徑無關，并計算積分值（05）解：因為，所以積分與路徑無關。取路徑，得積分=例5.已知為某二元函數的全微分，則a和b的值分別為( C ).

7、（02）(A) 2和2(B) 3和3 (C)2和2(D) 3和3例6設可微，如果與路徑無關，則應滿足的條件為（D）；（04）(A)；(B)；(C)；(D)曲面積分一、對面積的曲面積分 加根號例1. 若為的外側，且是其外法線向量的方向余弦，則。(07)解：例2. 設曲面S是上半球面x2 + y2 + z2 = a2 (z³0)，曲面S1是曲面S在第一卦限中的部分，則有( C )。A； B； C； D。解：函數x, y, xyz在上半球面x2 + y2 + z2 = a2 (z³0)上分別關于或具有“奇函數”性質，而上半球面x2 + y2 + z2 = a2 (z³0

8、)關于或對稱，故、，而、。另一方面，由對稱性，故答案C的正確性。例3. 計算曲面積分 其中為平面在第一卦限中的部分。（06）解：，顯然 。 例4, 其中曲面S為錐面被柱面x2 + y2 = 2ax所截得的有限部分。解法一：曲面S：在xoy坐標面上的投影區(qū)域D為：x2 + y2 £ 2ax，=，=。解法二：曲面S：在xoy坐標面上的投影區(qū)域D為：x2 + y2 £ 2ax，=，=（D關于對稱）=。例5，其中曲面S為球面x2 + y2 + z2 = a2上z ³ h (0< h < a )的部分。解：曲面S的方程為z =，其在xoy坐標面上的投影區(qū)域D為：

9、x2 + y2 £ a2 h2，=，=+由積分區(qū)域和被積函數的對稱性得=0，且= ap(a2 h2)，所以= ap(a2 h2)。二、對坐標的曲面積分 坐標 不加根號例1計算曲面積分, 其中S是柱面被平面及所截得的在第一卦限內的部分的前側。(07)解：由于曲面S在xoy坐標面上的投影區(qū)域Dxy為0，所以；曲面S在yoz坐標面上的投影區(qū)域Dyz為0 £ y £ 1, 0 £ z £ 3,=;同理，曲面S在xoz坐標面上的投影區(qū)域Dxz為0 £ x £ 1, 0 £ z £ 3,=;故，=2·=。例

10、2. 計算曲面積分, 其中S是球面的下半部分的下側。解 S的方程為, Dxy: x2+y2£R, 于是 .三*、兩類曲面積分之間的聯系例：計算，其中為連續(xù)函數，是平面在第四卦限部分的上側.解：曲面S可表示為z=1-x+y , (x, y)ÎDxy=(x, y)|0£x£1, 0£y£x-1, S上側的法向量為n=(1, -1, 1), 單位法向量為 ,由兩類曲面積分之間的聯系可得 . 四、高斯公式例1. 計算，其中為由與所圍立體的表面外側.（04）解： 求交線的投影 由高斯公式原式= = = 例2.其中，為上半球面的上側。(05)解: ，由高斯公式: = = 又，原積分例3. 求曲面積分其中，為上半球面的上側。（03）解 設S1為xOy面上圓域x2+y2£R2的下側, W為由S與S1所圍成的空間區(qū)域, 則由高斯公式