高等數(shù)學(xué)競賽歷年題

1、2010浙江省大學(xué)生高等數(shù)競賽試題（工科類）一、計算題（每小題14分，滿分70分）1求極限2計算3設(shè)為銳角三角形,求的最大值和最小值。4已知分段光滑的簡單閉曲線（約當(dāng)曲線）落在平面：上，設(shè)在上圍成的面積為A,求,其中的方向成右手系。5設(shè)連續(xù)，滿足,求的值。二、（滿分20分）定義數(shù)列如下： ，求。三、（滿分20分）設(shè)有圓盤隨著時間t 的變化，圓盤中心沿曲線 向空間移動，且圓盤面的法向與L的切向一致。若圓盤半徑r (t) 隨時間改變，有，求在時間段內(nèi)圓盤所掃過的空間體積。四、（滿分20）證明：當(dāng)， 五、（滿分20分）證明：2010浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽試題評析（工科類）一、計算題：1解

2、：原極限=2解： 3解：記 4解：原積分=5解： 二、解：即單調(diào)增且設(shè)則即有界?？芍諗坑浧錁O限為,有三、解： 四、證明：五、證明： 易知 2009年浙江省高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽試題一、計算題（每小題12分，滿分60分）1.求極限2計算不定積分3設(shè)，求4設(shè)，求此曲線的拐點5已知極限，求常數(shù)的值二、（滿分20分）設(shè)，證明：當(dāng)時，三、（滿分20分）設(shè)，求的最小值五、（滿分15分）設(shè)，證明：（1）為偶函數(shù)；（2）六、（滿分15分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，證明在上方程有唯一解答案：一1.解 =2解 =3解 =4解 ，令得當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，因此拐點為5解 = =1于是，由，得另解 1二、證 設(shè)則，由且，知當(dāng)時

3、，。又設(shè)則，所以,從而,不等式得證.三、證 當(dāng)時，故當(dāng)時單調(diào)增加；當(dāng)時，故當(dāng)時單調(diào)減少； 當(dāng)時，=。由得。當(dāng)時，當(dāng)時， 故是的極小值點，又=，故的最小值為 五、證 （1）（2）=六、證 設(shè)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)時，是方程的解；當(dāng)時，由零點定理，得至少存在一點使，即方程至少有一解。又，故在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，因此在上方程有唯一解2008浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽試題(解答) 一.計算題1、求2、計算3、設(shè)，求4、計算5、計算,其中為圓柱面.二、(20分)設(shè),求: (1);(2) .三、(滿分20分)有一張邊長為的正方形紙(如圖),、分別為、的中點，為的中點，現(xiàn)將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，

4、并將圓柱垂直放在平面上，且與原點重合，若在軸正向上，求：（1）通過，兩點的直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程；（2）此旋轉(zhuǎn)曲面、平面和過點垂直于軸的平面所圍成的立體體積.四、(20分) 求函數(shù),在的最大值、最小值.五、(15分)設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)滿足,求此冪級數(shù)的和函數(shù).六、(15分)已知二階可導(dǎo),且,(1) 證明:.(2) 若,證明.一.計算題1、.解: 。2、.解: 。法二：，令。3、解: ,則，則 被積函數(shù)是奇函數(shù), 要積分為零, 當(dāng)且僅當(dāng)積分區(qū)間對稱,即: , 解得: .4、.解: , 其中如右圖.5、.解: 被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),積分區(qū)域關(guān)于對稱,二解: (1), ;(2) (圖來說明積分上下).三、 :旋轉(zhuǎn)曲面上任意取一點 則的坐標(biāo)為： ， 化簡得：所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，（2），故過垂直軸的平面方程為：令，解得在坐標(biāo)面上的曲線方程為：，圖中所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為： .四、解： 由于具有輪換對稱性,令, 或解得駐點: 或?qū)? ,在圓周上,由條件極值得:令解得: ,;在圓周上,由條件極值得:令解得: , ,;,在的最大值為,最小值為. 五、證明： 而,即: 一階非齊次線性微分方程-常數(shù)變易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解為: ,由