高中數(shù)學(xué)數(shù)列講義

1、數(shù)列講義授課教師： 聽(tīng)課學(xué)生： 2015-6-20 Part I 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、數(shù)列數(shù)列的基本概念及性質(zhì)l 數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作；數(shù)列的一般形式：，簡(jiǎn)記作 。l 通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （7，），數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （）。注意：表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是

2、每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，l 數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號(hào)：1 2 3 4 5 6項(xiàng) ：4 5 6 7 8 9上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開(kāi)始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來(lái)代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。l 數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。l 遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系

3、可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。l 數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：2. 例題講解與練習(xí)J 類型一：數(shù)列的基本計(jì)算1. 數(shù)列中，），則它的前5 項(xiàng)是 。2. 數(shù)列中，則 。J 類型二：根據(jù)數(shù)列的有限項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式3. 求以下數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）9，99，999，9999，；an = ;（2）7，77，777，7777，；an = ;（3）7，-77，777，-7777，；an = ;（4）1-1，1，-1，；an = ;（5）1，0，1，0，；an = ;（6）；an = ;J 類型三：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式4. 已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列an

4、 的通項(xiàng)公式；5. 已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。6. 已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為,則通項(xiàng)an = ;注意：（1）公式表示的是數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系。 （2）切勿忽視n=1的情形。J 類型四：用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式7. 數(shù)列中，滿足，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；8. 數(shù)列中，滿足，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；J 類型五：數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合9. 已知函數(shù)，設(shè)（1）求證：；（2）an 是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？二、等差數(shù)列1. 等差數(shù)列定義和基本性質(zhì)l 等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)

5、叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。l 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說(shuō)明：等差數(shù)列（通常可稱為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。l 等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中 ，成等差數(shù)列。l 等差數(shù)列的前和的求和公式：。l 等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是， 如：，；，；（3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；（5）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，則有：（i）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則偶奇； ；（ii）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)

6、，則奇偶；。（6）仍成等差數(shù)列l(wèi) 數(shù)列最值（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或。2. 例題講解與練習(xí)1. 在等差數(shù)列an中，a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通項(xiàng)an.2. 在等差數(shù)列an中，S10=310，S20=1220，求Sn與通項(xiàng)an.3. a3,a15是方程x2-6x-1=0的兩個(gè)根，求a7+a8+a9+a10+a11= .4. 等差數(shù)列an，則項(xiàng)數(shù)n為（ ）5等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）A. 130 B. 170 C. 210 D.

7、 2606. 若數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是：（ ）A . 4005 B. 4006 C . 4007 D. 40087. 等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和為Sn，Tn，且,求.8. 等差數(shù)列an共有2n-1項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為132，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為120，則n= .9在等差數(shù)列an中, 則前n項(xiàng)和的最小值為（ ） A. -80 B. -76 C. -75 D. -7410. 已知等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A. d < 0 B. C. D. 與均為的最大值.11已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求數(shù)列bn的

8、通項(xiàng)bn；（）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=lg（1+），記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論。三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義和基本性質(zhì)l 等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：數(shù)列（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零）l 等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。說(shuō)明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。l 等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫

9、做的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。l 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， 或；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。說(shuō)明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。l 等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有；對(duì)于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：2. 例題講解與練習(xí)1. 數(shù)列是等比數(shù)列，則在；這6個(gè)數(shù)列中仍成等比數(shù)列的是 。2. 等差數(shù)列a,b,c三項(xiàng)的和

10、為12，且 a,b,c+2成等比數(shù)列，求a的值。3. 等比數(shù)列an中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=( ) 4. 等比數(shù)列an中，則（ ） A： B： C： D：5. an是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則=（ ） A：12 B：10 C：8 D：6等比數(shù)列an中，則= 。7等比數(shù)列an中，求q。8求的前n項(xiàng)和。9an成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為（ ） A： B：2 C： D：10an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，若，則（ ） A： B： C： D：或11成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是（ ）A： B：（0，4） C： D：12（2006年遼寧

11、卷）在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）A B C D13（2006年北京卷）設(shè)，則等于（ ）AB C D14（1996全國(guó)文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q；15（2005江蘇3）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前三項(xiàng)和為21，則a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）18916（2000上海，12）在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式 成立。Part II 數(shù)列綜合應(yīng)用一、數(shù)列求和（

12、一）公式法1. 求1，4，7，10，（3n-2）,的前n項(xiàng)和。2. 求數(shù)列，求前2k項(xiàng)的和.（二）分項(xiàng)求和1求和（1+2）+（3+4）+（2n-1+2n）2. 3. （三）裂項(xiàng)求和1. 2. 數(shù)列an成等比數(shù)列,各項(xiàng)都為正數(shù)，且q1,求證3. 4求（四）錯(cuò)位相減、其它12. 3. 已知數(shù)列an+1是等比數(shù)列，求（五）. 放縮及其他12數(shù)列，的前10項(xiàng)和為（ ）。 （A） （B）11 （C）11 （D）113.求和4. 求5. 求值設(shè)，求:6.求證： 7. 二、用已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式（略）三、用遞推公式求通項(xiàng)1. 已知數(shù)列an ，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通項(xiàng)

13、公式。2. 已知數(shù)列an ，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列an ，滿足，a1=2, an+1=an+，求an 的通項(xiàng)公式。注：凡是具有an+1=an+形式都可運(yùn)用此法，其中表示可求和的數(shù)列。4 已知數(shù)列an ，滿足，a1=1,求an 的通項(xiàng)公式。5已知數(shù)列an 滿足，求an 的通項(xiàng)公式。6已知數(shù)列an ，滿足，a1=2,an+1=2an+1,求an 的通項(xiàng)公式。7已知數(shù)列an ，滿足，a1=1,an+1=3an+1,求an 的通項(xiàng)公式。注：型通項(xiàng)公式可用此法。8，求an 的通項(xiàng)公式。9. 已知數(shù)列an ，求an 的通項(xiàng)公式。注：型通項(xiàng)公式可用此法。遞推

14、公式的變形1已知數(shù)列an ，滿足，a1=,，求an 的通項(xiàng)公式。2已知數(shù)列an ，滿足，a1=1,求an 的通項(xiàng)公式。3首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、與的相互轉(zhuǎn)化1已知數(shù)列an滿足，（1）問(wèn)數(shù)列是否為等差數(shù)列；（2）求Sn和an.2已知數(shù)列an滿足，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3已知數(shù)列an，滿足，求通項(xiàng)an.4已知數(shù)列an滿足，當(dāng)時(shí)，,求Sn和an.6（05，山東）已知數(shù)列an，前n項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。（2）求五、幾個(gè)必須熟練掌握的綜合題目1. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為且； （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前和.2.（05濟(jì)南2模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且an. 求Sn和an.3. 已知數(shù)列an滿足，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4.數(shù)列數(shù)列an，滿足 ，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。5.6. 7. 在等比數(shù)列中，公比q>0，設(shè)，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。8. 9.（07天津文）在數(shù)列中，（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）證明不等式，對(duì)任意皆成立10數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和11設(shè)數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）設(shè)，