高考數(shù)學抽象函數(shù)專題訓練(含答案)

1、抽象函數(shù)訓練1. 已知函數(shù)y = f (x)(xR，x0)對任意的非零實數(shù)，恒有f()=f()+f(),試判斷f(x)的奇偶性。2 已知定義在-2，2上的偶函數(shù)，f (x)在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，若f (1-m)<f (m),求實數(shù)m的取值范圍3. 設f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。4. 設函數(shù)f（x）對任意都有f（=f（， 已知f（1）=2，求f（5. 已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足：f（x+2）1f（x）=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。6. 設f（x）是定義R在上的函數(shù)，對任意x，yR，有 f（x+y）+f

2、（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）0.（1）求證f（0）=1；（2）求證：y=f（x）為偶函數(shù).7. 已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個遞增區(qū)間為（2，6），試判斷（4，8）是y=f(2-x)的遞增區(qū)間還是遞減區(qū)間？8. 設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a，b，當a+b0，都有0（1）.若ab，試比較f（a）與f（b）的大小；（2）.若f（k0對x1，1恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。9.已知函數(shù)是定義在（-，3上的減函數(shù)，已知對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。10已知函數(shù)當時，恒有.(1)求證: 是奇函數(shù);(2)若.11.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的都滿足: .(

3、1)求的值;(2)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(3)若,求數(shù)列的前項和.12.已知定義域為R的函數(shù)滿足.(1)若(2)設有且僅有一個實數(shù),使得,求函數(shù)的解析表達式.13.已知函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)都有,且,當時, >0.(1)求;(2)求和;(3)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明.14.函數(shù)的定義域為R,并滿足以下條件:對任意,有>0;對任意,有;.(1)求的值;(2)求證: 在R上是單調(diào)減函數(shù);(3)若且,求證:.15.已知函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)都有,且當時,.(1)證明:;(2)證明: 在R上單調(diào)遞減;(3)設A=,B=,若=,試確定的取值范圍.16.已知函數(shù)是定義在R上

4、的增函數(shù),設F.(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:是R上的增函數(shù);(2)證明:函數(shù)=的圖象關于點(成中心對稱圖形.17.已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù),且它的圖象關于直線對稱.(1)求的值;(2)證明: 函數(shù)是周期函數(shù);(3)若求當時,函數(shù)的解析式,并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個周期的圖象.18函數(shù)對于x>0有意義，且滿足條件減函數(shù)。（1）證明：；（2）若成立，求x的取值范圍。19設函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程=0在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論20. 已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當

5、x0時，f（x）0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。21. 已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當x0時，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。22. 設函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。23. 是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：f（x）0，x N；f（2）4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。24. 設函數(shù)yf（x）的反函數(shù)是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正確

6、，試說明理由。25. 己知函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：當是定義域中的數(shù)時，有；f（a）1（a0，a是定義域中的一個數(shù)）；當0x2a時，f（x）0。1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 為了求f (-1)的值，令=1，=-1，則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一個偶函數(shù)。2. 分析：根據(jù)函數(shù)的定義域，-m，m-2,2，但是1- m和m分別在-2，0和0，2的哪個區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復雜，如果注

7、意到偶函數(shù)，則f (x)有性質(zhì)f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場大規(guī)模討論。解：f (x)是偶函數(shù)， f (1-m)<f(m) 可得，f(x)在0，2上是單調(diào)遞減的，于是 ，即 化簡得-1m<。3. 解：因為f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f(x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函數(shù)f(x)的一個周期。又f(x)是奇函數(shù)，且在x0處有定義，所以f(x)=0從而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f（0，x ， f（1）=2， 同理可得5.解：從自變量值2001和1進行比較

8、及根據(jù)已知條件來看，易聯(lián)想到函數(shù)f（x）是周期函數(shù)。由條件得f（x）1，故f（x+2）=f（x+4）=. 所以f（x+8）=. 所以f（x）是以8為周期的周期函數(shù)， 從而f（2001）=f（1）=1997說明：這類問題出現(xiàn)應緊扣已知條件，需用數(shù)值或變量來迭代變換，經(jīng)過有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。6.證明：（1）問題為求函數(shù)值，只需令x=y=0即可得。 （2）問題中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y），且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）為偶函數(shù).說明：這類問題應抓住f（x）與f（-x

9、）的關系，通過已知條件中等式進行變量賦值。7. 解：由y=f(x)是偶函數(shù)且在（2，6）上遞增可知，y=f(x)在（6，2）上遞減。令u=2-x，則當x(4,8)時，u是減函數(shù)且u(-6,-2)，而f(u)在（6，2）上遞減，故y=f(2-x)在（4，8）上遞增。所以（4，8）是y=f(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間。8. 解：（1）.因為ab，所以a-b0，由題意得0，所以f（a）+f（b）0，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（b）=f（b）， f（a）f（b）0，即f（a）f（b）（2）.由（1）知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，又ff0，得ff，故，所以k令t,所以kt+，而t+2，即k21

10、9.解：等價于10.（1）證明：令，得 令，則 是奇函數(shù)。（2） 又11.（1）解：令，則令，則 （2）證明：令，則， 令，則 是奇函數(shù)。（3）當時，令，則 故，所以，故12.解：(1)對任意，函數(shù)滿足，且 ，=f(a)=a(2) 對任意，函數(shù)滿足,有且僅有一個實數(shù),使得對任意，有上式中，令，則，故若，則，則，但方程有兩個不相同的實根與題設茅盾，故若，則，則，此時方程有兩個相等的實根，即有且僅有一個實數(shù),使得13.（1）解：令，則 （2）數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故=(3)任取,則 =函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù).14.(1)解: 對任意,有>0, 令得,(2)任取任取,則令,故 函

11、數(shù)的定義域為R,并滿足以下條件:對任意,有>0;對任意,有;函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3) 由（1）（2）知，而15. (1)證明:令,則當時,故,當時,當時,則(2)證明: 任取,則,0<,故<0,又,故函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3) 由（2）知，是R上的減函數(shù)，B=又，方程組無解，即直線的內(nèi)部無公共點，故的取值范圍是-16.(1)任取,則F=, 又函數(shù)是定義在R上的增函數(shù), ,故>0是R上的增函數(shù);(2)設為函數(shù)=的圖象上任一點,則點關于點(的對稱點為N(),則,故把代入F得, =-函數(shù)=的圖象關于點(成中心對稱圖形.17.(1)解:為R上的奇函數(shù), 對任意都有,令

12、則=0(2)證明: 為R上的奇函數(shù), 對任意都有,的圖象關于直線對稱, 對任意都有, 用代得,即是周期函數(shù),4是其周期.(3)當時，當時，當時，圖象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)證明：令，則，故（2），令，則， 成立的x的取值范圍是。19解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數(shù)在-2005,2005上有802

13、個解.20. 解：設，當，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域為4，2。21. 解：設，當，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 < a < 3。22. 解：（1）令y0代入，則，。若f（x）0，則對任意，有，這與題設矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，則，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故對任意x，f（x）0恒成立。23. 分析：由題設可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜測存在函數(shù)，用數(shù)學歸納法證明如下：（1）x1時，又x N時，f（x）0，結(jié)論正確。（2）假設時有，則xk1時，xk1時，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時。24. 解：設f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，g（m）a，g（n）b，從而，g（m）·g（n）g（mn），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）·g（b）。25. 解：（1）f（x）的定義域關于原點對稱，且是定義域中的數(shù)時有，在定義域中。，f（x）是奇函數(shù)。（2）設0x1x22a，則0x2x12a，在（0，2a）上f（