海面原油泄漏的數(shù)學(xué)建模

1、海面原油泄漏的數(shù)學(xué)建模論文作者1：王慶陽（程序設(shè)計）論文作者2：陳志鵬（構(gòu)建模型）論文作者3：劉嘉琦（論文寫作）摘要本文主要研究的是海上原油泄漏所形成油膜的面積和形狀的估計問題。以墨西哥灣溢油事件為例，建立了在海面流場、季風(fēng)風(fēng)場的作用下不平靜的海面上溢油擴(kuò)散、離散和遷移的組合模型。針對問題一，建立了在平靜湖面上理想的情況下油膜在重力、表面張力、粘性力、慣性力這幾個主要決定因素的作用下的自身擴(kuò)展模型。利用fay公式得出油墨在各個階段隨時間變化的擴(kuò)展尺度，計算出油膜面積為A=17.78t3/4，并用matlab模擬出了海上油膜各向同性擴(kuò)展的圓形模型。針對問題二，在問題一理想化模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。

2、在考慮海面流場和季風(fēng)風(fēng)場的作用下建立了由油膜擴(kuò)展、離散和遷移這三種過程所產(chǎn)生的油膜組合運動數(shù)學(xué)模型。以二維移流擴(kuò)散方程為基本控制方程，導(dǎo)出了油膜厚度的表達(dá)式，從而建立了油膜的虛擬橢圓的長軸和短軸隨時間變化的理論公式和圖線。首先在問題一擴(kuò)展尺度的基礎(chǔ)上利用菲克定律增加來了油膜的離散尺度而推導(dǎo)出油膜的擴(kuò)延遲度。然后又引出“虛擬橢圓”的概念得到實際油膜可觀測的尺度和面積公式。并根據(jù)資料所述美國墨西哥灣泄漏到海面的原油為400萬桶，漏油口第84天被堵住,換算可得墨西哥灣原油的平均泄漏速率大概為Q=9100m3/d，最后得出其漏油面積為A=1.17×1010m2。最后考慮油膜的遷移運動使油膜的

3、離散產(chǎn)生隨機(jī)性（本模型對離散量加入隨機(jī)數(shù)），從而使油膜形狀發(fā)生改變，呈現(xiàn)不規(guī)則性，此模型認(rèn)為漂移并不直接改變油膜的面積。用歐拉一拉格朗日追蹤質(zhì)點法求得油膜的漂移擴(kuò)散。針對問題三，了解溢油對經(jīng)濟(jì)、環(huán)境的各方面的負(fù)面影響，針對不同的溢油環(huán)境采取合理的治理方式，使溢油對經(jīng)濟(jì)和環(huán)境的影響降到最小。關(guān)鍵字：溢油 fay公式 菲克定律 擴(kuò)展 離散 遷移 拉格朗日速度一、 問題重述近年來環(huán)境問題備受關(guān)注，2010年美國墨西哥灣“深水地平線”鉆井平臺發(fā)生的爆炸造成原油泄漏事件引起了國際社會的高度關(guān)注。題目要求建立數(shù)學(xué)模型正確估計原油擴(kuò)散在海面上的形狀和面積，并在此基礎(chǔ)上評價美國墨西哥灣海上原油泄漏對環(huán)境和經(jīng)濟(jì)

4、的影響。問題一，在平靜的湖面上利用汽油模擬海上原油泄漏事件，假設(shè)漏油點漏油的速度是0.01mL/s，湖面足夠大，只考慮汽油的擴(kuò)散，不考慮風(fēng)等其它因素建立理想化模型計算水面油膜的形狀和面積。問題二，建立在海面上考慮季風(fēng)、洋流等因素的原油的運動模型并再查找資料，利用所建立模型估算美國墨西哥灣原油泄漏中油膜的形狀和面積。問題三，根據(jù)問題二的的計算結(jié)果，評價一下美國墨西哥灣原油泄漏對環(huán)境和經(jīng)濟(jì)的影響。二、 模型假設(shè)l 假設(shè)溢油模型為為連續(xù)均勻溢油；l 被原油污染的區(qū)域水質(zhì)等情況相同，原油的擴(kuò)散速度相同，即不考慮水體在不同水域的差別； l 海水總體積保持不變，不考慮雨雪滲漏以及自然狀況下的自凈過程（原油

5、在一般情況下，無法自然消除沉積），海面無任何設(shè)施（包括船舶、圍油設(shè)施）； l 油在大規(guī)模擴(kuò)散僅由重力、表面張力、粘滯力決定，擴(kuò)散過程中性質(zhì)不變，如密度、張力等，且在豎直方向處于平衡狀態(tài)。l 問題一中，在平靜的湖面上利用汽油模擬海面原油泄漏，基于湖面足夠大，不考慮風(fēng)等其他因素的假設(shè)，忽略油膜的擴(kuò)散及擴(kuò)延，即擴(kuò)展起主要作用，假設(shè)漏油點的速度為0.01ml/s，假設(shè)。根據(jù)fay公式，在不同的擴(kuò)展階段忽略次要作用項，保留主要作用項，得到油膜擴(kuò)展直徑的理論公式。l 問題二，原油在海面上的擴(kuò)散是相當(dāng)復(fù)雜的，包括溢油的蒸發(fā)、乳化、溶解、生物降解、吸附沉降和氧化等諸多難以量化的復(fù)雜過程，不是任何一種物理化學(xué)現(xiàn)

6、象所能解釋的。在此我們忽略這些過程，只考慮油膜的擴(kuò)展，離散，遷移這三個主要過程。并假設(shè)季風(fēng)、洋流等因素的作用（使油膜產(chǎn)生漂移）體現(xiàn)在兩方面：一是使油膜的離散產(chǎn)生隨機(jī)，只改變油膜形狀和位置并不直接改變油膜的面積。二是假設(shè)油膜的質(zhì)心在油膜上的相對位置改變很小以至可以忽略不計，則油膜的軌跡或運動方式可以等效于質(zhì)心的運動。三、 符號說明g重力加速度水的運動粘性系數(shù)V溢油總體積油的密度空氣和油的表面張力系數(shù)海水的密度空氣和水的表面張力系數(shù)A油膜面積油和水的表面張力系數(shù)油膜可視厚度油膜各向同性的擴(kuò)展直徑Q平均漏油速率油膜遷移速度矢量表面流速風(fēng)速風(fēng)速引起的漂流速度矢量柯氏系數(shù)摩擦影響深度四、 模型的建立與求

7、解問題一在平靜的湖面上利用汽油模擬海面原油泄漏事件，溢油的主要過程是在慣性力、重力、粘性力和表面張力的作用下油膜的擴(kuò)展模型。最后得到的湖面油膜形狀應(yīng)該是圓形。根據(jù)fay公式，油膜各階段的擴(kuò)展直徑計算公式為：慣性擴(kuò)展階段： df=2K1(gV)1/4t1/2（1）粘性擴(kuò)展階段： df=2K2(gVvw)1/6t1/4（2）表面張力擴(kuò)展階段：df=2K3(wvw1/2)1/2t3/4（3）理想條件下當(dāng)凈表面張力系數(shù)小于等于零時，原油停止擴(kuò)散，此時擴(kuò)展結(jié)束所形成的最大直徑為：df=356.8V3/8（4）其中，t為從溢油開始計算所經(jīng)歷的時間，=1-o/w，=wa-ao-ow, V=10-5t, K1

8、,K2,K3為經(jīng)驗系數(shù)。據(jù)此可推出油膜面積A=105V3/4在平靜的湖面上，以原油泄漏點為中心，向東為x軸，向北為y軸建立直角坐標(biāo)系，（5）由matlab作圖可得如下圖型圖1在平靜湖面上的油膜形狀模擬圖t/sA/m2圖2在平靜湖面上油膜面積時間圖像問題二在不平靜的海面上的原油擴(kuò)散一共包括三個過程：1. 第一問模型下的自身擴(kuò)展。2. 由于受到海面流場和季風(fēng)作用的不均勻作用、海面破碎波及大尺度漩渦等因素作用而引起的油膜分散或破碎分散的離散現(xiàn)象。3. 由于海面流、風(fēng)力、波浪等因素作用而引起的油膜漂移的油膜遷移運動。基于上訴三種過程建立不平靜海面上油膜組合運動的數(shù)學(xué)模型，并估算美國墨西哥灣原油泄漏中油

9、膜的形狀和面積。油墨在不平靜海面上的擴(kuò)延遲度應(yīng)該等于擴(kuò)展尺度與離散尺度的和。(一) 油膜擴(kuò)展尺度(二) 離散尺度油膜在不平靜海面上的離散具有隨機(jī)的性質(zhì)。有質(zhì)量守恒原理導(dǎo)出油膜厚度的公式為（6）式中油膜中所含第i組分的濃度為Ci；h為油膜的厚度；u、v分別為沿X、Y方向的剪切離散速度；、分別為第i種組分中通過油膜表面和底面的油份通量。求解（6）的關(guān)鍵是確定離散通量與其它時均特性的關(guān)系，一般是將其與分子擴(kuò)散相比擬，采用Fick定律可得（7）式中，Kx、Ky，分別為油膜沿x、Y方向的離散系數(shù)。假定Kx、Ky不隨空間變化，將（7）式代入（6）式中可得（8）上式的解為（9）上式又可表示為（10）式中，、

10、分別為x、y方向油膜厚度的標(biāo)準(zhǔn)差。油膜沿x、y方向的離散尺度為 （11）其中，一般取，(三) 油膜的擴(kuò)延在溢油的擴(kuò)展離散過程中，溢油的擴(kuò)延尺度可表示為擴(kuò)展尺度和離散尺度的疊加。則油膜沿長軸方向(油膜漂移方向)的擴(kuò)延尺度（12）油膜沿短軸方向(垂直與油膜漂移方向)的擴(kuò)延尺度（13）式中k=A/A（A為客觀油膜面積，A為油膜面積，包括觀測不到的部分）為了避免在擴(kuò)展離散后期，計算的油膜擴(kuò)延尺度包括油膜邊緣觀測不到的部分，為了得到實際油膜的尺度，引入“虛擬橢圓”、“虛擬長軸”和“虛擬短軸”。橢圓的實際面積為A=4dxdy（14）其中，（15）（16）據(jù)此，以原油泄漏點為中心，以原油的主要擴(kuò)散方向額為為

11、x軸，以垂直于x軸的方向為y軸建立直角坐標(biāo)系，（17）其中，Q=0.01ml/s；=10-810-7；=12×2.236×10-6×t1.17；=12×2.236×10-6/10×t1.17，用matlab模擬圖形得：圖3 海面上原油泄漏形狀模擬圖(四) 油膜的遷移原油泄漏后油膜在水面的遷移運動主要受表面流和風(fēng)力控制。遷移使油膜的離散產(chǎn)生隨機(jī)性，（本模型對離散量加入隨機(jī)數(shù)，）從而使油膜形狀發(fā)生改變，呈現(xiàn)不規(guī)則性，此模型認(rèn)為漂移并不直接改變油膜的面積。故油膜面積仍按式（15）求得。并根據(jù)資料所述美國墨西哥灣泄漏到海面的原油為400萬桶，

12、漏油口第84天被堵住,換算可得墨西哥灣原油的平均泄漏速率大概為Q=9100m3/d，最后得出其漏油面積為A=1.17×1010m2。由于漂移的存在，使得油膜會向一個方向移動，記為方向，假設(shè)油膜的質(zhì)心在油膜上的相對位置改變很小以至可以忽略不計，則油膜的軌跡或運動方式可以等效于質(zhì)心的運動，其中遷移速度為 （18）（19）（20）其中，是表面流漂移系數(shù)，它包含了油膜的內(nèi)應(yīng)力、厚度等因素的影響，可由實驗確定，一般取1.0；是風(fēng)漂流系數(shù)，實驗數(shù)據(jù)給出值為35；35；，是風(fēng)速引起的漂流速度矢量，可由下式給出：（21）其方向為右偏角度，為柯氏偏轉(zhuǎn)角，是由于地球旋轉(zhuǎn)引起的風(fēng)矢量偏轉(zhuǎn)角，一般采用Ekm

13、an的解析解確定：（22）式中，D稱為摩擦影響深度，可取為（23）是海洋上層的垂直渦粘性系數(shù)(近似為常數(shù))；是柯氏系數(shù)，（24）是地球自轉(zhuǎn)角速度，是緯度。圖4 遷移速度矢量合成示意圖(五) 油污污染海域的面積設(shè)油膜某質(zhì)點在r，時刻的坐標(biāo)為R(ti)，該質(zhì)點在擴(kuò)展、離散、風(fēng)力、海流、蒸發(fā)和揮發(fā)等因素的共同作用下，ti+1時刻的坐標(biāo)為R(ti+1),則有（25）為擴(kuò)展、離散和漂移在t時段內(nèi)位移的合成，即（26）其中為隨機(jī)數(shù)，值為-1到1，為在t時段內(nèi)的漂移矢量，采用積分拉格朗日速度得，（27）簡化模型得，（28）下圖為油膜漂移示意圖，假設(shè)漂移過程中無面積變化，則時間t內(nèi)：受污染的海域面積S=d&#

14、215;l。其中，圖5 油膜組合漂移模擬圖問題三 墨西哥灣海上漏油由于受到環(huán)境影響因素較大，在擴(kuò)展，離散，漂移的作用下，影響的海域面積約為S=d×l（2.3萬平方公里）。此次大面積的漏油對波及地區(qū)的環(huán)境、經(jīng)濟(jì)造成了很大的破壞。(一)、對環(huán)境的影響這次漏油事件從開始漏油到基本堵漏成功持續(xù)了84天，總溢油量約700000-800000立方米。溢油量之大，加上油膜擴(kuò)展離散以及油膜遷移，導(dǎo)致了被污染水域面積遠(yuǎn)大于油膜面積，這大大增加了海洋環(huán)境被污染甚至被破壞的程度。海洋生態(tài)面臨著嚴(yán)峻的考驗，在受污染海域的656類物種中，造成了大約28萬只海鳥，數(shù)千只海獺、斑海豹、白頭海雕等動物死亡

15、，將有10種動物面臨生存威脅，3種珍稀動物面臨滅頂之災(zāi)（2010年6月數(shù)據(jù)）。溢油覆蓋在海面上，阻礙了浮游植物的光合作用，這從食物鏈最低端切斷了能量的來源，使得處在食物鏈上層的生物的生存受到了威脅。 海面上的溢油對鳥類的危害最大，尤其是潛水?dāng)z食的鳥類。這些鳥類以海洋浮游生物及魚類為食，當(dāng)接觸到油膜后，羽毛能浸吸油類，導(dǎo)致羽毛失去防水、保溫能力，另一方面它們因不能覓食而用嘴整理自己的羽毛，攝取溢油，損傷內(nèi)臟。最終它們會因饑餓、寒冷、中毒而死亡。成年魚有著非常敏感的器官，因此，它們一旦嗅到油味，會很快地游離溢油水域，而幼魚生活在近岸淺水域容易受到溢油污染，這種情形會導(dǎo)致魚群的衰減，從而間

16、接影響捕魚業(yè)的發(fā)展。海洋哺乳動物受溢油污染危害的情況是不同的，如鯨魚、海豚和成年海豹對油非常敏感，它們能及時地逃離溢油水域，可以避免遭受污染。但成年海豹和小海狗棲息海灘時，會被油的污染所困，以至于死亡。淺水域通常是海洋生物活動最集中的場所，如貝類、幼魚、珊瑚等活動在該區(qū)域，也包括海草層。溢油對該類水域的污染異常敏感，造成的危害在社會上反應(yīng)強(qiáng)烈。如果在這類水域使用溢油分散劑，造成危害會更大。因此，當(dāng)溢油污染會波及到該類水域時，決策者的首選對策應(yīng)是如何避免污染，而不是待污染后再采取清除措施，更不適于使用分散劑。溢油對環(huán)境的危害程度與溢油類型和環(huán)境因素有關(guān)。溢油種類不同，對環(huán)境造成的危害也不同。例如

17、，重燃料油含芳香烴化合物的量比其他油高，而芳香烴化合物與油中的其他烴類成分相比，具有易溶于水、易擴(kuò)散、生物難以降解、對生物毒性大等特點。如果溢油為重燃料油，不能及時得到處理，對海洋環(huán)境的污染危害要比其他類型的溢油大。溢油對環(huán)境的危害程度還與環(huán)境自身的特征有關(guān)。溢油發(fā)生地點是否是敏感區(qū)，溢油發(fā)生的季節(jié)是否是魚類產(chǎn)卵期、收獲期，不同的海況，都影響溢油的危害程度。相同規(guī)模的溢油事故，發(fā)生在開闊水域要比發(fā)生在封閉水域的危害程度要低；發(fā)生在海洋生物生長期要比發(fā)生在其產(chǎn)卵繁殖期的危害低；發(fā)生在荒蕪人煙的偏僻地帶，靠其自身的凈化恢復(fù)，不用采取任何措施，那么，這種危害可以不計。(二)、對經(jīng)濟(jì)的影響英國BP公司

18、作為肇事者令自己承受了巨額的損失，市場估計，BP承擔(dān)的賠償金、清理油污費、建造減壓井等相關(guān)堵漏設(shè)備以及受影響各州的相關(guān)支出高達(dá)370億美元。事故還將影響B(tài)P公司的油氣開采業(yè)務(wù)，嚴(yán)重?fù)p害了公司信譽。美國墨西哥灣沿岸各州的經(jīng)濟(jì)也受到了很大影響。這次漏油事故波及墨西哥灣及周邊地區(qū)的旅游、農(nóng)業(yè)、航運、能源等多個領(lǐng)域，影響到高達(dá)2320億美元的經(jīng)濟(jì)體系的運轉(zhuǎn)。事故發(fā)生后，海面污染嚴(yán)重，波及區(qū)域的旅游業(yè)受到嚴(yán)重沖擊，同時超過8.8萬平方千米水域的漁業(yè)被迫停止。美國政府為此增加的各類費用必然影響到上述各州和聯(lián)邦政府的財政預(yù)算，有估計稱這次漏油事故將會使美國聯(lián)邦政府預(yù)算增加數(shù)百億甚至千億美元，這對處在脆弱的經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的美國將會是一個危機(jī)。同時和高達(dá)數(shù)千億美元的各方面總損失相比，BP公司設(shè)立的200億美元賠償基金顯然是杯水車薪，那么這次事故對經(jīng)濟(jì)所產(chǎn)生的負(fù)面影響將持續(xù)很長一段時間。墨西哥灣海產(chǎn)品占美國市場總量的20，因為漏油事故的影響，消費者將