分形理論在晶體表面形貌中的應(yīng)用

1、分形理論在晶體表面形貌中的應(yīng)用    關(guān)鍵詞： 分形理論；分形維數(shù)；應(yīng)用狀況；晶體形貌 1 分形的理論概述 1.1 分形的一般概念 分形這個(gè)詞是由美國(guó)IBM公司研究中心物理研究部研究院暨哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Benoit B.Mandelbrot在1975年首次提出的，其原意是“不規(guī)則的、分離的、支離破碎的”物體。這個(gè)名詞是參考了拉丁文fractures后造出來(lái)的，它既是英文又是法文，既是名詞又是形容詞。1977年，Benoit B.Mandelbrot出版的第一本著作Fractal：Form chance and Mimension，標(biāo)志著分形理論的正式誕

2、生。5年后，他出版了著名的專(zhuān)著The Fractal Geometry of nature，至此，分形理論初步形成。 分形是一種粗糙的或破碎的幾何圖形，它的組成部分可以被無(wú)限細(xì)分，而且它的局部的形狀一般與整體相似1。分形一般是自相似的和標(biāo)度不變的。 1.2 分形體的數(shù)學(xué)構(gòu)造與維數(shù) 分形體是一個(gè)維數(shù)，介于點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的客體，具有分形特征的物體的維數(shù)往往是分?jǐn)?shù)。分形體不具有晶體幾何的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)和平稱(chēng)對(duì)稱(chēng)性，但具有其特有的標(biāo)度對(duì)稱(chēng)、伸縮對(duì)稱(chēng)與自相似性。分形體的數(shù)學(xué)構(gòu)造通?？煞譃镃antor棒分形、sierpinski四面體分形、隨機(jī)分形、多重分形。 分形維數(shù)又叫分維，是定量刻畫(huà)分形特征的參數(shù)，在一般

3、情況下是分?jǐn)?shù)，它表征了分形體的復(fù)雜程度，分形的維數(shù)越大，其客體就越復(fù)雜，反之亦然。 1.3 分形的自相似性 分形結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征是自相似性或自仿似性。自相似性是指把觀(guān)察對(duì)象的一部分沿各個(gè)方向以相同的比例放大后，其形態(tài)與整體相同或相似。一個(gè)系統(tǒng)的同相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過(guò)程的特征從不同的空間尺度或時(shí)間尺度來(lái)看都是相似的。另外，在整體與整體之間，或部分與部分之間，也會(huì)存在自相似性。 2 分形理論在晶體表面形貌中的應(yīng)用 2.1 分形理論在無(wú)光釉L(fǎng)iAlSiO4SiO2體系枝晶中的應(yīng)用 枝晶生長(zhǎng)是一種在一定冷凝狀態(tài)下冷凝的金屬、合金以及其他材料的一種常見(jiàn)生長(zhǎng)模型。枝晶理論的發(fā)展受到了科學(xué)和機(jī)械的重視，這是

4、因?yàn)橹Р粌H具有錯(cuò)綜復(fù)雜的圖案，而且具有廣泛的工業(yè)用途2。一些模擬和實(shí)際試驗(yàn)得出來(lái)的枝晶已經(jīng)被描述具有接近分形的結(jié)構(gòu)。分形生長(zhǎng)理論是一種非線(xiàn)性科學(xué)的一個(gè)新的分支，在過(guò)去的幾十年里強(qiáng)烈的吸引了人們的目光，特別是八十年代3。這里我們給出的無(wú)光釉L(fǎng)iAlSiO4SiO2體系的一種特殊枝晶，它不具有樹(shù)狀或者雪花狀形貌但是卻具有類(lèi)似于分形中sierpinski gasker的形貌。 利用原子力顯微鏡和微分干涉顯微鏡觀(guān)察形成于無(wú)光釉L(fǎng)iAlSiO4SiO2 體系的枝晶釉料的表面。由觀(guān)察我們發(fā)現(xiàn)，枝晶在不同的晶體上表現(xiàn)出了三種不同的形貌：雪花狀、穿插狀和三角形狀。雪花狀和穿插狀的枝晶具有一般的枝晶形貌，而三

5、角形狀的枝晶較少見(jiàn)。 如圖1所示，為該枝晶的原子力顯微鏡和微分干涉顯微鏡下的“sierp Inski gasker”圖片。從這幾幅圖片上我們可以很明顯的看出自相似性：大的三角形中包含有許多小的三角形，而小的三角形中又包括許多更小的三角形。 圖1AFM和DIC下的“Sierpinski gasket”枝晶 （ ），（b）和（c）為原子力顯微鏡（AFM）圖形，其中（c）是 （a）圖形的放大（200）；（e）為微分干涉顯微鏡（DIC）400，（f）為（e）圖的草圖4。 圖1中所示的具有“sierpinski gasker”的枝晶截面恰好是三次軸的方向。同時(shí)，在枝晶的其他表面上還存在其他的形貌相為“s

6、ierpinski gasker”枝晶上接近平行三次軸的界面上的原子力顯微鏡圖片。我們可以通過(guò)對(duì)這兩個(gè)方向上的形貌分析畫(huà)出立體的“sierpinski gasker”的形貌相。這種立體的“sierpinski gasker”枝晶組成了許多中空的并有可能被玻璃基質(zhì)充填的三角錐。這一立體的形貌相與分形中的“Menger sponge”相似。 “sierpinski gasker”枝晶的三次軸方向上的形貌與“sierpinski gasker”圖非常相似。但實(shí)際的“sierpinski gasker”枝晶并不與理想中的“sierpinski gasker”圖完全一致的。實(shí)際中的分形都只是接近于理論分

7、形的，而且重復(fù)的次數(shù)在實(shí)際中也不是無(wú)限的。在這里我們?cè)贏(yíng)FM和DIC尺度上只可以看到兩次或者三次的重復(fù)，如圖1所示。再者，樹(shù)形的“sierpinski gasker”枝晶在圖1的（e）中得到反映，這一樹(shù)形的結(jié)構(gòu)并不能在理想的“sierpinski gasker”圖出現(xiàn)。 “sierpinski gasker”枝晶的立體形貌與理想的“Menger sponge”是相似的，但是實(shí)際中的枝晶明顯不同于理想中的“Menger sponge”圖。實(shí)際中的“sierpinski gasker”枝晶為許多三角錐，這些三角錐生長(zhǎng)方向與底層方向性相同，但是理想的“Menger sponge”圖可組成許多四面體。

8、這種枝晶晶體形貌與理想“Menger sponge”不同是由晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性引起的。由XRD對(duì)釉料晶體的表面分析可知，具有“sierpinski gasker”形貌的枝晶為石英。這種枝晶形貌只能在石英中唯一的六次對(duì)稱(chēng)軸方向表現(xiàn)出三次對(duì)稱(chēng)。所以“sierpinski gasker”枝晶在唯一一個(gè)三次軸方向上形成三角錐。        2.2 分形理論在鈮酸鋰晶體中的應(yīng)用 晶體結(jié)構(gòu)質(zhì)量例如位錯(cuò)可以用位錯(cuò)蝕坑的辦法來(lái)檢驗(yàn)。此處在LiNbO3晶體表面的腐蝕并得到一定的腐蝕坑。選用作為腐蝕的是平行于c軸的晶片。該晶片先拋光然

9、后在HF和HNO3（HF/HNO3=1/2）中進(jìn)行腐蝕，形成三角形的蝕坑形態(tài)。很明顯蝕坑具有明顯的分形幾何結(jié)構(gòu)，與“sierpinski gasker”一致，該分形的維數(shù)為ln3/ln21.585。 礦物學(xué)家認(rèn)為晶體表面不對(duì)稱(chēng)的電化學(xué)性質(zhì)是造成這種蝕坑出現(xiàn)的主要原因。晶體表面常常有一些缺陷（如位錯(cuò)、晶界、雜質(zhì)等），這些缺陷可以作為侵蝕核，當(dāng)該地方遇到陰離子蝕刻劑時(shí)首先聚集到有缺陷的地方并在此形成蝕坑。同時(shí)這些蝕坑的形態(tài)還取決于其所處的晶體的對(duì)稱(chēng)方向，不同的晶面具有不同的對(duì)稱(chēng)性所以也具有不同的蝕坑方位和蝕坑形態(tài)。 3 結(jié)束語(yǔ) 分形理論作為一門(mén)新興的邊緣學(xué)科，雖然其發(fā)展歷史不長(zhǎng)，但在以其作為工具認(rèn)

10、識(shí)或揭示自然界中的各種現(xiàn)象及其本質(zhì)方面，已經(jīng)或正在起著重要作用。分維幾何學(xué)在諸如晶體表面、晶體形貌、催化劑結(jié)構(gòu)、材料斷裂機(jī)理分析、凝聚體結(jié)構(gòu)等涉及材料表面幾何形貌的研究中都有重要作用。分形理論及其應(yīng)用具有很大的發(fā)展空間，在晶體表面形貌研究中已取得了一些成果，隨著分形理論的數(shù)學(xué)進(jìn)展必將為材料學(xué)的研究提供更有力的方法和觀(guān)點(diǎn)，而晶體表面形貌的高科技應(yīng)用背景又將為分形的數(shù)學(xué)理論的發(fā)展提供強(qiáng)大的動(dòng)力。 參考文獻(xiàn)： 1張濟(jì)忠，分形M.北京：清華大學(xué)出版社，1995. 2趙珊茸、王繼揚(yáng)、譚勁、楊泰銘、劉惠芳，無(wú)光釉中LiAlSiO4-SiO2固溶體的枝晶研究，人工晶體學(xué)報(bào)，1999.3. 3黃暉、許京軍、孔勇發(fā)、張國(guó)權(quán)、舒永春、孫軍、徐曉軒、張光寅，鈮酸鋰晶體中的分形幾何觀(guān)察，人工晶體學(xué)報(bào)，2004，33（4）：647-650. 4Shanrong Zhao，Jin Tan，Jiyang Wang，A dendrite with“Sierpinski gaskey”fractal morphology in matt glaz