DSP-6-2014(新)

1、第六章第六章 IIR數字濾波器設計數字濾波器設計數字信號處理數字信號處理 Digital Signal Processing中國民航大學 航空自動化學院2數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計本章主要內容本章主要內容Q數字濾波器的數字濾波器的基本概念基本概念Q模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計Q用用脈沖響應不變法脈沖響應不變法設計設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器Q用用雙線性變換法設計雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器3數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING

2、第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 濾波器濾波器，顧名思義，是，顧名思義，是指能夠使輸入信號中某些頻率分指能夠使輸入信號中某些頻率分量充分地衰減，同時保留那些需要的頻率分量的一類系統。量充分地衰減，同時保留那些需要的頻率分量的一類系統。 根據對不同信號的處理，濾波器可分為：根據對不同信號的處理，濾波器可分為：p模擬濾波器模擬濾波器由硬件電路來實現；由硬件電路來實現；RCRR1RFC+-+p數字濾波器數字濾波器把輸入序列通過一定的運算變換成所要求把輸入序列通過一定的運算變換成所要求的輸出序列，實質上就是一個離散時間系統。的輸出序列，實質上就是一個離散時間系統。 6.1引言4數字信號處理

3、數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計1.經典濾波器和現代濾波器經典濾波器和現代濾波器p經典濾波器經典濾波器 信號中有用和無用成分，各自占有不同的頻帶，通過一信號中有用和無用成分，各自占有不同的頻帶，通過一個線性系統可將個線性系統可將v(n)有效去除。有效去除。)()()( jjjeHeXeY 加法性噪聲)()()(nvnsnx 6.1 數字濾波器的基本概念5數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計p現代濾波器現代濾波器 信號和噪聲頻譜占據同一頻

4、段信號和噪聲頻譜占據同一頻段，靠經典的濾波方法難以，靠經典的濾波方法難以去除噪聲。去除噪聲。 目標：目標：是是從含有噪聲的數據記錄中估計出信號的某些特從含有噪聲的數據記錄中估計出信號的某些特征或信號本身。征或信號本身。 種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預測、自適應種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預測、自適應濾波器。濾波器。乘法性噪聲)()()(nvnsnx 卷積性噪聲)(*)()(nvnsnx 6.1 數字濾波器的基本概念6數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 線性時不變系統的系統函數線性時不變系統的系

5、統函數若上式中，除若上式中，除a0外，其余外，其余ak均為零，則均為零，則其其z反變換反變換 N0kkkM0rrr)(zazbzH M0rrr01)(zbazH M0rr0)(1)(rnbanh 長度為長度為M+1的有限長序列的有限長序列 6.1 數字濾波器的基本概念7數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 此時的系統稱為有限長單位脈沖響應（此時的系統稱為有限長單位脈沖響應（FIR，Finite Impulse Response）系統。）系統。 反之，反之，h(n)是無限長序列，系統稱為無限長單位脈沖響是無限長序

6、列，系統稱為無限長單位脈沖響應（應（IIR，Infinite Impulse Response）系統。）系統。3. .低通、高通、帶通、帶阻濾波器低通、高通、帶通、帶阻濾波器 從功能上，數字濾波器可分為低通從功能上，數字濾波器可分為低通（LP，Low Pass）、高通（）、高通（HP，High Pass）、帶通（）、帶通（BP，Band Pass）和帶阻（和帶阻（BS，Band Stop）四種類型。）四種類型。6.1 數字濾波器的基本概念8數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計pAFpDF注意：數字濾波器與模擬濾

7、波器的區(qū)別注意：數字濾波器與模擬濾波器的區(qū)別 數字濾波器的頻率響應都是以數字濾波器的頻率響應都是以2為周期的，濾波器的為周期的，濾波器的低通頻帶處于低通頻帶處于2的整數倍處，而高頻頻帶處于的整數倍處，而高頻頻帶處于的奇數倍的奇數倍附近。附近。6.1 數字濾波器的基本概念9數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計6.1.2 性能指標描述性能指標描述 濾波器的指標濾波器的指標通常在頻域給出通常在頻域給出。數字濾波器的頻響一般。數字濾波器的頻響一般為復函數，表示為為復函數，表示為其中，其中， 稱為幅頻響應，稱為幅頻響應，

8、 稱為相頻響應。稱為相頻響應。)(| )(|)( jjjeeHeH | )(| jeH)( 幅頻響應幅頻響應: :表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況；表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況；相頻響應相頻響應: :反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況6.1 數字濾波器的基本概念10數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計過渡帶過渡帶低通數字濾波器的幅頻特性技術指標低通數字濾波器的幅頻特性技術指標|H(ejw)|通帶通帶阻帶阻帶 21- 1 p0.70701c

9、S 指標說明：指標說明：p：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：0 p ；S ：阻帶截止頻率，阻帶頻率范圍：阻帶截止頻率，阻帶頻率范圍：s ； c ：3dB截止頻率；截止頻率； P：通帶最大衰減；：通帶最大衰減； S：阻帶最小衰減：阻帶最小衰減 1：通帶內幅度響應誤差范圍；通帶內幅度響應誤差范圍； 2：阻帶內幅度響應誤差范圍；阻帶內幅度響應誤差范圍；6.1 數字濾波器的基本概念11數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 通帶內和阻帶內允許的衰減一般用通帶內和阻帶內允許的衰減一般用dBdB數表示

10、，數表示，p和和s分別定分別定義為：義為：通帶（允許的）最大衰減| )(|1lg2011lg20p1pjeH| )(|1lg201lg20s2sjeH阻帶（應達到的）最小衰減當幅度衰減到當幅度衰減到 2/22/2倍時，所對應頻率倍時，所對應頻率 c，此時此時 P 3dB，稱稱c為為3dB截止頻率。截止頻率。6.1 數字濾波器的基本概念12數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計6.1.3 數字濾波器設計方法數字濾波器設計方法IIR濾波器設計方法濾波器設計方法： (1)先設計模擬濾波器先設計模擬濾波器(AF)的傳輸函

11、數的傳輸函數Ha(s)；然后按某種變；然后按某種變換，將換，將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。 (2) 借助計算機輔助設計在頻域或時域直接進行設計；借助計算機輔助設計在頻域或時域直接進行設計； FIR濾波器設計方法濾波器設計方法 (1)經常采用的是經常采用的是窗函數設計法窗函數設計法和和頻率采樣法頻率采樣法， (2)用計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設計用計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設計。6.1 數字濾波器的基本概念13數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 設計一

12、個數字濾波器一般包括三個基本步驟：設計一個數字濾波器一般包括三個基本步驟： 1. 確定所設計濾波器的技術指標。確定所設計濾波器的技術指標。 2.設計一個設計一個H(z)，使，使 3.用一個有限精度的算法去實現這個系統函數。用一個有限精度的算法去實現這個系統函數。 sspsp,f LP/HPssps2s1p2p1,f BP/BS| )(|jeH滿足給定的技滿足給定的技術要求術要求沒有考慮相位沒有考慮相位（1）零極點位置累試）零極點位置累試（2）利用模擬濾波器的理論）利用模擬濾波器的理論（3）最優(yōu)化設計）最優(yōu)化設計6.1 數字濾波器的基本概念14數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNA

13、L PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計為何要設計模擬低通濾波器？為何要設計模擬低通濾波器？p由模擬濾波器設計數字濾波器，必須由模擬濾波器設計數字濾波器，必須先將數字濾波器的設先將數字濾波器的設計技術指標轉換成模擬低通濾波器的設計指標計技術指標轉換成模擬低通濾波器的設計指標，設計出模設計出模擬低通濾波器的原型，擬低通濾波器的原型，然后進行映射（原型變換）。然后進行映射（原型變換）。pDF 是數字信號處理中極為重要的應用，但是數字信號處理中極為重要的應用，但 DF 是近幾十是近幾十年發(fā)展起來的，它在很多方面要使用模擬濾波器的概念和年發(fā)展起來的，它在很多方面要使用模擬濾

14、波器的概念和知識；知識；p模擬濾波器本身也很有用。模擬濾波器本身也很有用。p因此，在研究因此，在研究 DF 之前，我們先討論模擬濾波器的特性和之前，我們先討論模擬濾波器的特性和用用逼近方法逼近方法求其系統函數。求其系統函數。 為什么設計濾波器必須用逼近的方法？為什么設計濾波器必須用逼近的方法？ 這是由于濾波器的這是由于濾波器的理想特性是不能實現的理想特性是不能實現的，而必須用逼近而必須用逼近的方法。的方法。 6.2 模擬濾波器的設計15數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計1.模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法模

15、擬低通濾波器的設計指標及逼近方法(1)模擬低通濾波器的設計指標有：模擬低通濾波器的設計指標有：p、s、p、s其中：其中：p和和s分別稱為分別稱為通帶截止頻率通帶截止頻率和和阻帶截止頻率阻帶截止頻率; p是通帶是通帶(=0p)中的中的最大衰減系數最大衰減系數， s是阻帶是阻帶s的的最小衰減系數最小衰減系數，|Ha(j )|0.707 p s通帶通帶阻帶阻帶過過渡渡帶帶10 C p s通帶通帶過過渡渡帶帶阻帶阻帶 (dB) 衰減衰減 p S 06.2 模擬濾波器的設計16數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計(2)

16、用模擬濾波器逼近方法設計數字用模擬濾波器逼近方法設計數字IIR濾波器步驟濾波器步驟：Q給出模擬濾波器的技術指標給出模擬濾波器的技術指標 ；Q設計設計傳輸函數傳輸函數 Ha(s)：使其：使其幅度平方函數幅度平方函數滿足給定滿足給定指標指標 p和和 s，|Ha(j )|2 = Ha(j ) Ha*(j ) = Ha(s) Ha(-s)|S=j Q確定確定Ha(s)：系統系統Ha(s)應是應是穩(wěn)定穩(wěn)定的系統，因此，的系統，因此，極極點點應位于應位于S 左半平面內左半平面內。 6.2 模擬濾波器的設計17數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾

17、波器設計數字濾波器設計c: 3dB 截止頻率，單位為截止頻率，單位為 rad/sN : 待確定的濾波器階數待確定的濾波器階數特點：特點：（1）3dB 點及其不變性；點及其不變性；（2）單調下降性；）單調下降性；（3）最大平坦性；）最大平坦性；Q巴特沃思巴特沃思 (Butterworth) 濾波器的幅度平方函數表濾波器的幅度平方函數表達式為：達式為： 2211()(/)NcH j Butterworth 低通濾波器的設計方法低通濾波器的設計方法6.2 模擬濾波器的設計18數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計因此，

18、稱因此，稱 c 為為 3dB 帶寬（或半功率點截止頻率）帶寬（或半功率點截止頻率）3dB 點與點與 N 值無關，稱為值無關，稱為 3dB 不變性。不變性。2211()NcH j Q3dB 帶寬帶寬 22121101032 c |H(j)|lg |H(j)|lgdB c10|H(j)|0.707N=2N=4N=6巴特沃思幅頻特性和階數的關系巴特沃思幅頻特性和階數的關系6.2 模擬濾波器的設計19數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計Q 最平坦函數最平坦函數因此因此 B 型特性也稱為最平坦特性型特性也稱為最平坦特性

19、Filter。Q N 的影響的影響 N 越大，越大，B 型濾波器的特性型濾波器的特性 越接近理想的矩行形狀越接近理想的矩行形狀(越陡峭越陡峭)。 有限平面只有極點有限平面只有極點。 零點全部在零點全部在 s=。 （“全極點型全極點型” 濾波器濾波器）22010 |H(j )| |H(j )| 當當，； 當當，220011cccc|H(j)| N |H(j)|N 通通帶帶內內： ； 隨隨著著的的增增大大而而趨趨于于平平坦坦阻阻帶帶內內：； 隨隨著著 的的增增大大而而快快速速下下降降c10|H(j)|0.707N=2N=4N=6巴特沃思幅頻特性和階數的關系6.2 模擬濾波器的設計20數字信號處理數

20、字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計將幅度平方函數將幅度平方函數|Ha(j)|2寫成寫成s的函數：的函數：21( )()1()aaNcHs Hssj此式表明幅度平方函數有此式表明幅度平方函數有2N個個極點，極點極點，極點sk用下式表示：用下式表示：11 21()222( 1)()kjNNkccsje 其中，其中，k=0,1,(2N-1)2N個極點等間隔分布在半徑為個極點等間隔分布在半徑為c的圓上，間的圓上，間隔是隔是 /Nrad，左半平面，左半平面N個點構成個點構成Ha(s)傳輸傳輸函數，右半平面函數，右半平面N個點構成個點

21、構成Ha(-s)傳輸函數。傳輸函數。10( )()NcaNkkHsssHa(s)表示為：表示為：6.2 模擬濾波器的設計21數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率歸一化。采用對歸一化。采用對3dB截止頻率截止頻率c歸一化歸一化，歸一化后的，歸一化后的Ha(s)表示表示為為 ：101( )()aNkkccHsss101()()aNkkHppp只要知道濾波器的階數只要知道濾波器的階數N，可得歸一化的傳，可得歸一

22、化的傳輸函數，去歸一化輸函數，去歸一化p=j=s/ c ,可得到實際的可得到實際的傳輸函數傳輸函數Ha(s)令令s/ c = j / c，=/c，稱為稱為歸一化頻率歸一化頻率，令，令p=j，p稱為稱為歸一化復歸一化復變量變量，歸一化巴特沃斯的傳輸函數為：歸一化巴特沃斯的傳輸函數為：歸一化極點歸一化極點pk=ej (+(2k+1)/2N)，k=0,1,N-1。6.2 模擬濾波器的設計22數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計巴特沃斯濾波器的設計步驟巴特沃斯濾波器的設計步驟(1) 根據給出的技術指標根據給出的技術指標

23、 P、 S、 p、 S，求濾波器階數，求濾波器階數N221()1()aNcHj/10/10101()101psapNas/ 10/ 10221()101()10psapNcaNsc/10/10221()101()10psapNcaNsc1010101/ ,101psaspspspak 設設:lglgspspkN 用上式求出的用上式求出的N可能有小數部分，可能有小數部分，應取大于等于應取大于等于N的最小整數的最小整數。20lg ()20lg ()psjpjsHedBHedB10lg|H(jp)|2/1 0/1 01 01( )1 01psap Nas6.2 模擬濾波器的設計23數字信號處理數字信

24、號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計(2) 求歸一化極點求歸一化極點pk，確定歸一化傳輸函數，確定歸一化傳輸函數Ha(p)Q 根據求極點公式：根據求極點公式： pk=ej (+(2k+1)/2N)，k=0,1,N-1。再帶入：。再帶入：Q 或根據階數或根據階數N，查表查表P157 表表6.2.1得到極點和歸一化傳輸函數得到極點和歸一化傳輸函數10 . 1210 . 12( 1 01 )( 1 01 )psaNcpaNcs阻帶指標有富裕阻帶指標有富裕度度10. 1210. 12( 101 )( 101 )psaNcpaNcs通帶指

25、標有富裕通帶指標有富裕度度(3)求求3dB截止頻率截止頻率 c由由:|H(j )|2=1/1+( / c)2N， = p時時：1+( p/ c)2N=10 p/10。101()()aNkkHppp6.2 模擬濾波器的設計24數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計(4) 將將Ha(p)去歸一化，去歸一化，得到實際的濾波器傳輸函數得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s) 將將p=s/ c，代入代入Ha(p)中得：中得：Ha(s)=Ha(p)| p=s/ c。 表表 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數巴特沃斯歸一化低通濾波器參數

26、表示兩極點表示兩極點P1、PN-26.2 模擬濾波器的設計25數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計6.2 模擬濾波器的設計26數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計6.2 模擬濾波器的設計27數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計【例例】已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減p=2dB，阻，阻帶截止頻率帶截止頻率f

27、s=12kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。指標設計巴特沃斯低通濾波器。解：解：(1) 設計模擬濾波器的指標為設計模擬濾波器的指標為 p=2 fp= 104(rad/s)， ap=2dB s=2 fs=2.4 104(rad/s)， as=30dB (2) 確定濾波器的階數確定濾波器的階數N0 . 10 . 11 010 . 0 2 4 21 0122 . 42l g0 . 0 2 4 24 . 2 5 ,5l g2 . 4psas pass ppkffNN0 .10 .11 010 .0 2 4 21 0122 .42l g

28、0 .0 2 4 24 .2 5 ,5l g 2 .4psas pass ppkffNN0 . 10 . 11 010 . 0 2 4 21 0122 . 42l g 0 . 0 2 4 24 . 2 5 ,5l g 2 . 4psas pass ppkffNN取取N為為5lglgspspkN =6.2 模擬濾波器的設計28數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計最簡便的方法：由最簡便的方法：由N=5，直接查表得到：，直接查表得到： 極點形式：極點形式：-0.3090j0.9511； -0.8090j0.5878;

29、 -1.0000 分母多項式的形式：分母多項式的形式： 分母因式的形式：分母因式的形式：(3) 求極點求極點3455016523754,jjjjjseseseseseP03455016523754,jjjjjseseseseseP1P23455016523754,jjjjjses eseseseP33455016523754,jjjjjseseseseseP43455016523754,jjjjjsesesesese代入歸一化傳輸函數公式代入歸一化傳輸函數公式401( )()akkHppp5432432101()aHppb pb pb pb pb) 1)( 1618. 1)( 1618. 0(

30、1)(1) (2240 pppppp ppHakk) 1)(1618. 1)(1618. 0(1)(1)(2240 ppppppppHakk6.2 模擬濾波器的設計29數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計(4) 將將Ha(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB截止頻率截止頻率c10 .1210 .12(1 01 )25 .2 7 5 5/(1 01 )21 0 .5 2 5/psaNcpaNsck r a dsk r a ds 10.1210.12(101)2 5.2755/(101)2 10.525/psaN

31、cpaNsckrad skrad s 5554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsbb0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361(5) 將將p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：6.2 模擬濾波器的設計30數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計1.變換原理變換原理 數字濾波器的單位脈沖響應數字濾波器的單位脈沖響應h(n)模仿模擬濾波模仿模擬濾波器的沖激響應器的沖激響應ha(t)，使，使h(n)等于等于ha(t)的采樣值的采樣值

32、，即，即h(n)ha(nT)。 設模擬濾波器的傳輸函數設模擬濾波器的傳輸函數Ha(s)只有單階極點，只有單階極點，且分母的階數高于分子階數，則且分母的階數高于分子階數，則其拉普拉斯反變換其拉普拉斯反變換 NiiiassAsH1)( NitsiatueAthi1)()(6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器31數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 對對ha(t)采樣，得到數字濾波器的單位脈沖響應采樣，得到數字濾波器的單位脈沖響應h(n)為為 對對h(n)取取z變換，即得到數字濾波器的系統函數變換，即得到

33、數字濾波器的系統函數 可見，可見，s平面的極點平面的極點 si 映射到映射到z平面的極點平面的極點 ， 而對應系數不變。而對應系數不變。1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT NiTsizeAzHi111)(Tsie1( )NiaiiAHsss6.3 脈沖響應不變法32數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計2332)(2 ssssHa)(zHs1 . 0 T21112332)(2 ssssssHa11 s22 s12 . 011 . 01111)( zezezH例例6-5 利用脈沖響應不變法

34、將模擬濾波器利用脈沖響應不變法將模擬濾波器變換為數字濾波器變換為數字濾波器 ，解：模擬濾波器的傳輸函數解：模擬濾波器的傳輸函數采樣周期采樣周期 。 6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器33數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計)(tha dtenTtthdtethsHnstastaa)()()()( nnenThdtenTtthnsTasta)()()( naanTtthth)()()( )(nh1）h(n)的的z變換與變換與 的拉普拉斯變換之間的關系的拉普拉斯變換之間的關系設模擬濾波器的單位沖激響應

35、設模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)經理想采樣后為經理想采樣后為 ( )ah t則則)()(sHzHaezsTsTzennznhzH)()(6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器34數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計2、模擬信號的拉氏變換與相應的序列的、模擬信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關系：變換之間的映射關系：模擬信號模擬信號ha(t)的傅里葉變換的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號和其采樣信號 的傅里葉變的傅里葉變換換 之間的關系滿足：之間的關系滿足：結論：結論：采樣信號的拉氏變換是

36、原模擬信號的拉氏變換在采樣信號的拉氏變換是原模擬信號的拉氏變換在S平面沿平面沿虛軸以虛軸以s=2/T為周期進行的周期延拓；為周期進行的周期延拓；( )aht( )ah t1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjj kTHsHsj kTHzHsj kT1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjj kTHsHsj kTHzHsj kT()aHj將將s=j代入上式，得：代入上式，得：6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器35數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波

37、器設計 令令 ， 代入上式，得代入上式，得因此因此討論：討論：S的實部的實部（1）=0，r=1，表明，表明s平面平面虛軸虛軸映射為映射為z平面的平面的單單位圓位圓。 jre z js TjTjeere Ter T S 平面Z 平面 j Im 1Re0s平面與z平面的映射關系6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器36數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計2) 當當0 時，時，r1，即，即 S 平面右半平面映射到平面右半平面映射到 Z 平面平面的單位圓之外，的單位圓之外，系統不穩(wěn)定系統不穩(wěn)定；S 平面Z 平

38、面3）當）當0 時，時，r1， 即即 S 平面左半平面映射到平面左半平面映射到 Z 平面平面的單位圓之內，系統穩(wěn)定；的單位圓之內，系統穩(wěn)定；S 平面Z 平面6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器37數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計4）平行于虛軸）平行于虛軸 j 的線段的線段 S1=1 + j1 映射為映射為 Z 平面上半徑為平面上半徑為 1Tre 的圓周的圓周。 11Tre S 平面平面Z 平面平面6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器38數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIG

39、NAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計（3）由于）由于=T ：0 /T ：0 s平面上每一條寬為2/T的橫條，都將重疊的映射到整個z平面上。脈沖響應不變法不是從s平面到z平面的簡單代數映射關系。 S的虛部的虛部6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器39數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 根據時域采樣理論，采樣序列根據時域采樣理論，采樣序列h(n)的的z變換與模變換與模擬信號擬信號ha(t)的拉普拉斯變換之間滿足如下關系的拉普拉斯變換之間滿足如下關系 將將 和和 代入

40、得數字濾波器的頻率響應代入得數字濾波器的頻率響應 數字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延數字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延拓。拓。 maaezmTjsHTsHzHsT)2(1)(| )( jsT kajkTjTjHTeH)2(1)( 6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器40數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 脈沖響應不變法中的頻率混疊現象脈沖響應不變法中的頻率混疊現象6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器41數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSI

41、NG第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 只有當模擬濾波器的頻響是帶限的，且?guī)抻谥挥挟斈M濾波器的頻響是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內折疊頻率以內，即即有有 此時，數字濾波器的頻率響應重現模擬濾波器此時，數字濾波器的頻率響應重現模擬濾波器的頻率響應而不產生混疊失真。的頻率響應而不產生混疊失真。()0,|aHjT 1()(),|jaH eHjTT6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器42數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 但是，任何一個實際的模擬濾波器，其頻響都但是，任何一個實際的模擬濾波器，

42、其頻響都不可能是真正帶限的，這就不可避免的會產生混疊不可能是真正帶限的，這就不可避免的會產生混疊失真。失真。 答：當模擬濾波器的頻響在折疊頻率以上處衰減越大時，混疊失真就越小。 問題：要求混疊失真小，對模擬濾波器的頻響有何要求？ 混疊混疊TTfs )(6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器43數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計優(yōu)點：優(yōu)點： 1）數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬）數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的沖激響應，所以濾波器的沖激響應，所以時域逼近良好時域逼近良好; 2）頻率變化

43、是線性關系頻率變化是線性關系=T，頻率特性形，頻率特性形狀基本上與模擬濾波器相同（如果混疊不嚴重）狀基本上與模擬濾波器相同（如果混疊不嚴重）;缺點：缺點： 會產生會產生頻率混疊現象頻率混疊現象。只適合帶限濾波器（如。只適合帶限濾波器（如低通、帶通濾波器）的設計，不適合高通、帶阻濾低通、帶通濾波器）的設計，不適合高通、帶阻濾波器的設計。波器的設計。6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器44數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計【例例】 已知模擬濾波器的傳輸函數已知模擬濾波器的傳輸函數Ha(s)為為用脈沖響

44、應不變法將用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數轉換成數字濾波器的系統函數H(z)解：解：首先將首先將Ha(s)寫成部分分式：寫成部分分式：極點為：極點為：根據：根據： ，H(z)的極點為的極點為：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj sTze1212,s Ts Tzeze6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器45數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING

45、第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計按照：按照： ，經過整理，得到，經過整理，得到當：當：T=1s時用時用H1(z)表示，表示，T=0.1s時用時用H2(z)表示，則：表示，則：將將Ha(j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它們最大值歸一化的幅度特性用它們最大值歸一化后，得到它們的幅度特性曲線，如下圖所示：后，得到它們的幅度特性曲線，如下圖所示：111212120 . 3 2 7 6()11 . 0 3 2 80 . 2 4 70 . 0 4 8 5()11 . 9 3 0 70 . 9 3 7 5zHzzzzHzzz111212120 . 3 2 7 6()11 .

46、0 3 2 80 . 2 4 70 . 0 4 8 5()11 . 9 3 0 70 . 9 3 7 5zHzzzzHzzz26449. 011T3224. 0ze)T7772. 0cos(z1z )T7772. 0sin(3224. 0 .e2)z(H-+2-=11( )1iNis TiAH zez6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器46數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計很輕的混很輕的混疊現象疊現象嚴重的混嚴重的混疊現象疊現象6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器47數字信號處理數字信

47、號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計例例 利用脈沖響應不變法設計一個數字巴特沃思低通濾利用脈沖響應不變法設計一個數字巴特沃思低通濾波器，通帶截止頻率波器，通帶截止頻率fp=0.1kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減Rp=1dB，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率fs=0.3kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減Rs=10dB。研究不同采樣頻率對所設計數字濾波器。研究不同采樣頻率對所設計數字濾波器頻率響應的影響。設采樣頻率頻率響應的影響。設采樣頻率fs分別取分別取1kHz，2kHz，4kHz。解解 MATLAB部分程序如下：部分程序如下：wp=

48、2*pi*100;ws=2*pi*300;Rp=1;Rs=10;n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=butter(n,wn,s)6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器48數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計%求模擬濾波器的頻率響應求模擬濾波器的頻率響應db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,500*2*pi);plot(w/(2*pi),db,LineWidth,2,Color,k);axis(0,500,-20,1);hold on%脈沖響應不變法脈沖響應不變法f

49、s=1000;bz,az=impinvar(b,a,fs);%求數字濾波器的頻率響應求數字濾波器的頻率響應db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az);plot(0.5*fs*w/pi,db, r);axis(0,500,-20,1);hold off6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器49數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器50數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計

50、數字濾波器設計 脈沖響應不變法的主要缺點脈沖響應不變法的主要缺點:產生頻率譜混迭現象。產生頻率譜混迭現象。 原因原因：模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率 /T，數，數字化后在字化后在w= 形成頻譜混疊現象。形成頻譜混疊現象。 解決方法：解決方法：采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到頻率范圍壓縮到/T 之間，而后再用之間，而后再用 Z=eST 轉換到轉換到 Z 平面上。平面上。 6.4 雙線性變換法雙線性變換法6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器51數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PR

51、OCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 先將先將s平面壓縮成平面壓縮成s1平面上一個寬度為平面上一個寬度為2/T的的水平帶狀區(qū)域，水平帶狀區(qū)域，然后通過然后通過z=es1T將這個帶狀區(qū)域映將這個帶狀區(qū)域映射到整個射到整個z平面平面，實現實現s平面到平面到z平面的單值映射。平面的單值映射。6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器52數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 將將s平面的虛軸變換到平面的虛軸變換到s1平面虛軸平面虛軸/T之間之間 延拓到整個延拓到整個s平面和平面和s1平面，令平

52、面，令 ， ，則得則得221TtgT 1111122122sin2cos222TTjjTTjjjTTeeTeTej js11 js111122222s Ts Ts Ts TeeTee112 11s Ts TeTes6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器53數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計Tsez1 112 11zsTzTsTseeTs11112 sTsTz /2/2或 再將再將s1平面映射到平面映射到z平面，應用平面，應用 ,從而實現了從而實現了s平面平面到到z平面的單值映射。平面的單值映射。 這種這

53、種s平面單值映射為平面單值映射為z平面的映射關系稱作平面的映射關系稱作雙線性變換法雙線性變換法6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器54數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 用雙線性變換法設計數字濾波器時，在得到相用雙線性變換法設計數字濾波器時，在得到相應模擬濾波器的系統函數應模擬濾波器的系統函數Ha(s)后，后，只要將相應的變只要將相應的變換關系代入換關系代入Ha(s)，即可得到數字濾波器的系統函數即可得到數字濾波器的系統函數11z1z12a| )()z( TssHH6.4用雙線性變換法設計IIR數字低

54、通濾波器55數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 s平面上平面上與與z平面的平面的成成單值映射單值映射非線性正切非線性正切關系（關系（可以避免混疊可以避免混疊），在零頻附近，），在零頻附近，和和變換變換關系近似于線性，關系近似于線性，隨著隨著的增加，表現出嚴重非線的增加，表現出嚴重非線性性 （頻率失真頻率失真）。）。22221 tgTTtgT 6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器56數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計優(yōu)

55、點： 消除了頻率混疊現象，可適用于低通、高通、帶通或帶阻等各種類型數字濾波器的設計。缺點： 與之間呈非線性關系，引入了非線性頻率失真。6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器57數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計 由頻率之間的非線性變換關系引起。由頻率之間的非線性變換關系引起。理想濾波器經雙線性變換后幅頻響應產生畸變理想濾波器經雙線性變換后幅頻響應產生畸變 6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器58數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器

56、設計數字濾波器設計6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器例例：已知已知Ha(s)=a/(a+s)，a=1/(RC)，求，求H(z)。解：解：1、用脈沖響應不變法時用脈沖響應不變法時，先確定極點：，先確定極點：s= a，則，則 2. 用雙線性不變法時用雙線性不變法時11)( zeazHaTT為采樣間隔1111112) 2() 2()1 (112)()(11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS1111112) 2() 2()1 (112)() (11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS111121212112(1)()()12,22azsT zzH z H sazTTTT

57、1111212 12112(1)()()12,22azsTzzHzHsazTTTT其中：59數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器設設:a1000,T=0.001和和T=0.002，H1(z)和和H2(z)的歸一化幅頻的歸一化幅頻特性如圖所示特性如圖所示雙線性變換法雙線性變換法脈沖響應不變法脈沖響應不變法模擬濾波器幅頻特性模擬濾波器幅頻特性250Hz500Hz存在混疊存在混疊不存在混疊，曲線形狀差別大不存在混疊，曲線形狀差別大60數字信號處理數字信號處理 DIGITAL

58、 SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器五、用模擬濾波器設計五、用模擬濾波器設計IIR數字低通濾波器步驟數字低通濾波器步驟(1)確定數字低通濾波器的性能指標；確定數字低通濾波器的性能指標；(Wp，ap，Ws，aS)(2)確定相應模擬低通濾波器的性能指標；確定相應模擬低通濾波器的性能指標；o 脈沖響應不變法：脈沖響應不變法： = W /To 雙線性變換法：雙線性變換法： =2/Ttan(W)預畸變；預畸變；(3)設計模擬低通濾波器的傳輸函數設計模擬低通濾波器的傳輸函數Ha(S)；(4)將將Ha(S) 轉換成數字濾

59、波器系統函數轉換成數字濾波器系統函數 H(z)；o 利用脈沖響應不變法設計時，應先確定利用脈沖響應不變法設計時，應先確定Ha(s)極點，按極點，按 Z=eST 映射極點，并根據映射極點，并根據P171頁公式表示出頁公式表示出H(z)。o 若利用雙線性變換法，設采樣間隔為若利用雙線性變換法，設采樣間隔為T，則，則, | )()(11112 zzTsasHzH61數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器例：例：要求設計一數字低通濾波器，指標為：在通帶內頻率低于要求設計一數字低

60、通濾波器，指標為：在通帶內頻率低于0.2 rad/s時，容許幅度時，容許幅度誤差在誤差在1dB以內；在頻率以內；在頻率0.3之間，阻帶衰減大于之間，阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。分別用沃斯低通濾波器。分別用脈沖響應不變法脈沖響應不變法和和雙線性變換法雙線性變換法設計設計H(z)。 (dB)w11500.3 0.2 數字域指標圖數字域指標圖對應模擬域指標圖對應模擬域指標圖 (dB) 1150 s p62數字信號處理數字信號處理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR數字濾波器設計數字濾波器設計6.4用雙線性變換法設