傳染病傳播地數學模型

1、WORD格式傳 染 病傳播的數學模型很多醫(yī)學工作者試圖從醫(yī)學的不同角度來解釋傳染病傳播時的一種現象，這種現象就是在某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時，每次所涉及的人數大體上是一常數。 結果都不能令人滿意， 后來由于數學工作者的參與， 用建立數學模型來對這一現象進展模擬和論證， 得到了較滿意的解答。一種疾病的傳播過程是一種非常復雜的過程，它受很多社會因素的制約和影響，如傳染病人的多少，易受傳染者的多少，傳染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，還有人員的遷入和遷出，潛伏期的長短，預防疾病的宣傳以及人的個體差異等。如何建立一個與實際比較吻合的數學模型， 開場顯然不能將所有因素都考慮進去。為此，必

2、須從諸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把問題簡化，建立相應的數學模型。將所得結果與實際比較，找出問題，修改原有假設，再建立一個與實際比較吻合的模型。 從而使模型逐步完善。下面是一個由簡單到復雜的建模過程，很有代表性，讀者應從中體會這一建模過程的方法和思路。一.最簡單的模型假設： (1) 每個病人在單位時間內傳染的人數是常數 k；(2) 一個人得病后經久不愈，并在傳染期內不會死亡。以 i(t) 表示 t 時刻的病人數，k0表示每個病人單位時間內傳染的人數，i(0)=i0表示最初時有i0個傳染病人，那么在t 時間內增加的病人數為專業(yè)資料整理WORD格式i tti tk0itt兩邊除以t ，

3、并令t 0得微分方程ditk0 i tdt,2.1i 0i0其解為iti0ek0t這說明傳染病的轉播是按指數函數增加的。這結果與傳染病傳播初期比較吻合，傳染病傳播初期，傳播很快，被傳染人數按指數函數增長。但由 (2.1)的解可知，當 t時， i(t) ，這顯然不符合實際情況。最多所有的人都傳染上就是了。那么問題在那里呢？問題是就出在于兩條假設對時間較長時不合理。特別是假設(1)，每個病人單位時間內傳染的人數是常數與實際情況不符。因為隨著時間的推移，病人越來越多，而未被傳染的人數卻越來越少，因而不同時期的傳播情況是不同的。 為了與實際情況較吻合， 我們在原有的根底上修改假設建立新的模型。二 .

4、模型的修改將人群分成兩類：一類為傳染病人，另一類為未被傳染的人，分別用 i(t) 和 s(t)表示 t 時刻這兩類人的人數。i (0)=i0。假設： (1) 每個病人單位時間內傳染的人數與這時未被傳染的人數成正比。即 k0ks t ；(2) 一人得病后，經久不愈，并在傳染期內不會死亡。由以上假設可得微分方程專業(yè)資料整理WORD格式ditt i tksdtsti tni0i,(2.2)這是變量別離方程，用別離變量法可求得其解為i tnn,(2.3)11 eknti0其圖形如以下列圖 2-1 所示專業(yè)資料整理WORD格式模型 (2.2) 可以用來預報傳染較快的疾病前期傳染病頂峰到來專業(yè)資料整理WO

5、RD格式的時詢。di醫(yī)學上稱 dtt 為傳染病曲線，它表示傳染病人的增加率與時間的關系，如圖2-2 所示。由 (2.3)式可得dikn2n1 e knti0dtn2,2.4)11 e knti0d 2itd 2 i t再求二階導數dt 2，并令dt 20 ，可解得極大點為nln1i0t1,(2.5)kn從 (2.5) 式可以看出，當傳染病強度k 或人口總數 n 增加時，t1都將變小，即傳染病頂峰來得快。這與實際情況吻合。同時，如果知道了傳染率 k(k 由統計數據得到 )，即可預報傳染病頂峰t1到來的時間，這對于預防傳染病是有益處的。模型 (2.2) 的缺點是：當 t時，由 (2.3)式可知 i

6、(t) n，即最后人人都要得病。 這顯然與實襪情況不符。 造成這個結果的原因是假設 (2) 中假設一人得病后經久不愈，也不會死亡。為了得到與實際情況更吻合的模型，必須修改假設(2) 。實際上不是每個人得病后都會傳染別人，因為其中一部份會被隔離，還有由于醫(yī)治和人的身抵抗力會痊愈， 有的人會死亡從而也就不再會傳染專業(yè)資料整理WORD格式給別人了。因此必須對模型作進一步的修改，建立新的模型。三. 模型的進一步完善從上面的分析我們看到模型(2.2) 的假設(2) 是不合理的。即不可能一人得病后會經久不愈，必有一部份人因醫(yī)治或自身的免疫力，或是被隔離，或是死去而成為不會再繼續(xù)傳染給別人的第三類人。因此我

7、們把人群分成三類：第一類由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的。用I(t)表示 t 時刻第一類人數。第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的，用S(t) 表示 t 時刻第二類人數。第三類包括患病后死去的人，病愈后具有長期免疫力的人，以及在得病后被隔離起來的人。用R(t) 表示 t 時刻第三類人數。假設疾病傳染服從以下法那么：(1) 在所考慮的時期內人口總數保持在固定水平 N，即不考慮出生及其他原因引起的死亡，以及人口的遷入遷出的情況。(2) 易受傳染者人數 S(t)的變化率正比于第一類的人數 I(t) 與第二類人粉 S(t)的乘積。(3) 由第一類向第三類轉變的速度與第一類的

8、人數成正比。在這三條假設情況下可得如下微分方程：專業(yè)資料整理WORD格式dSdtrsI專業(yè)資料整理WORD格式dIrsII專業(yè)資料整理WORD格式dtdRdt,(2.6)I專業(yè)資料整理WORD格式其中 r、為比例常數， r 為傳染率，為排除率。由方程 (2.6)的三個方程相加得dS tI tR t0dt那么S tItR t常數人N口總數故RtNS tIt因此只要求出S(t)、I(t) 即可求出R(t) 。方程組(2.6) 的第一個和第二個方程與R(t) 無關。因此，由專業(yè)資料整理WORD格式得積分得dSrSIdtdIrSII,(2.7)dtdIrSII1,(2.8)dSrSIrSISSln S

9、cr專業(yè)資料整理WORD格式由 初 始 條 件 ： 當 tt0時, I t0I 0 , S t0S0并 記專業(yè)資料整理WORD格式r代入上式可確定常數 cI 0S 0ln S 0最后得ISI0SSlnS0,S0(2.9)下面我們討論積分曲線(2.9) 的性質，由 (2.8)知0SI,S10SS0S所以當 S時，I(S) 是 S 的增函數， S時，I(S) 是 S 的減函數。又有 I(0)= ，I S0I 00,由連續(xù)函數的中間值定理及單調性知，存在唯一點 S ，0SS，使得I S0,而當00S S0S 時，I(S)0。由 (2.7) 知 I=0 時，dS0, dI0，所以S ,0為方程組dtd

10、t(2.7) 的平衡點。當 t t0時，方程(2.9)的的圖形如圖2-3。當t由t0變到時，點 (S(t)，I(t) 沿曲線 (2.9) 移動，并沿 S 減少的方向移動，因為 S(t) 隨時間的增加而單調減少。因此，如果 S0小于，那么I(t)單調減少到專業(yè)資料整理WORD格式零， S(t)單調減少到S。所以，如果為數不多的一群傳染者I0分專業(yè)資料整理WORD格式散在居民S0中，且S0，那么這種病會很快被消滅。專業(yè)資料整理WORD格式如果 S0，那么隨著S(t) 減少到時， I(t) 增加，且當S=時， I(t) 到達最大值。當S(t)時 I(t) 才開場減少。由上分析可以得出如不結論：只有當

11、居民中的易受傳染者的人數超過閾值時傳染 r病才會蔓延。用一般常識來檢驗上面的結論也是符合的。當人口擁擠，密度高，缺少應有的科學文化知識，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時，傳染病會很快蔓延；反之，人口密度低，社會條件好，有良好的醫(yī)療條件和較好的管理而排除率高時， 那么傳染病在有限X圍內出現會很快被消滅。r傳染病學中的 閾值定理設 S0r ，且假設同 1 相比是小量。并設最初傳染者人數I 0很小，那么最終患病人數為2r。即是易受傳染者的人數最初比閾值高多少，那么最終就會比閾值低多少。這就是有名的傳染病 閾值定理。生物數學家 Kermack 和 Mekendrick 在1927 年首先證明了

12、這個定理 (證明從略 )專業(yè)資料整理WORD格式根據閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數來估計最終患病的人數。這定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時， 每次所涉及的人數大體上是一常數的現象。在傳染病發(fā)生的過程中，不可能準確地調查每一天或每一星期的得病人數。因為只有那些來醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來防止傳染。因此，統計的記錄是每一天或星期新排除者的人數，而不是新得病的人數。所以，為了把數學模型所預示的結果同疾病的實際情況進展比較，必須解出(2.6)中的第三個方程。dRINRSdtdSdS / dRrSIr SSdRdtdtI因為dS

13、dRSR專業(yè)資料整理WORD格式所以從而有S RS e0dRRN R S0e,(2.10)dt專業(yè)資料整理WORD格式方程 (2.10) 雖是可別離變量的方程， 但是不能用顯式求解， 如果傳染病不嚴重，那么 R/是小量，取泰勒級數前三項有R2e1 R 1 R專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式2dRNRS1R1Rdt02專業(yè)資料整理WORD格式從而其解其中2S0S0 RN S01 R2R t2S01 a tanh1 a tS0221S2S0 N2S0a01tanh 1 1S01a專業(yè)資料整理WORD格式dRa2 221,(2.11)因此dt2S0secha t2方程(2.11)在 tdR平面上定義了一條對稱鐘形曲線，稱為疾病dt傳染曲線。疾病傳染曲線很好地說明了實際發(fā)生的傳染病的情況： 每天報告的新病案的數目逐漸上升到峰值，然后又減少下來。Kermak 和 Mekendrick 把 (2.11) 得到的值， 同取自 1905 年下半年至 1906 年上半年在印度孟買發(fā)生的瘟疫資料進展比較，他們假設dR2890sech0.2t3.4專業(yè)資料整理WORD格式其中 t 按星期計，在圖2-4 中的實際數字 (圖中用“ .表示