第九章專題研究二

1、課時(shí)作業(yè)（五十六）1設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y22px(p>0)上的兩點(diǎn)，并且滿足OAOB，則y1y2等于()A4p2B3p2C2p2Dp2答案A解析OAOB，·0.x1x2y1y20.A、B都在拋物線上，代入得·y1y20，解得y1y24p2.2拋物線yax2與直線ykxb(k0)交于A，B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3，則恒有()Ax3x1x2Bx1x2x1x3x2x3Cx1x2x30 Dx1x2x2x3x3x10答案B解析由方程組得ax2kxb0，可知x1x2，x1x2，x3，代入各項(xiàng)驗(yàn)證即可得B正確，故

2、選B.3已知A，B，C三點(diǎn)在曲線y上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1<m<4)，當(dāng)ABC的面積最大時(shí)，m等于()A3 B.C.D.答案B解析由題意知A(1,1)，B(m，)，C(4,2)直線AC所在的方程為x3y20，點(diǎn)B到該直線的距離為d.SABC|AC|·d××|m32|()2|.m(1,4)，當(dāng)時(shí)，SABC有最大值，此時(shí)m.故選B.4過(guò)拋物線y22px(p>0)上一定點(diǎn)M(x0，y0)(y00)，作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，當(dāng)MA與MB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，則等于()A2 B2C4 D4答案A解析kMA(y

3、0y1)，同理：kMB.由題意：kMAkMB，y1y0(y2y0)，y1y22y0，2，故選A.5已知P為拋物線y24x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2(y4)21上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是()A5 B8C.1 D.2答案C解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，圓x2(y4)21的圓心為C(0,4)，設(shè)點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)拋物線的定義有d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.6.(2012·東北三校)已知曲線C1的方程為x21(x0，y0)，圓C2的方程為(x3)2y21，斜率為k(k>0)的直線

4、l與圓C2相切，切點(diǎn)為A，直線l與曲線C1相交于點(diǎn)B，|AB|，則直線AB的斜率為()A.B.C1 D.答案A解析設(shè)B(a，b)，則由題意可得解得則直線AB的方程為yk(x1)，故1.k，或k(舍去)7已知點(diǎn)M是拋物線y24x上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A在圓C：(x4)2(y1)21上，則|MA|MF|的最小值為_答案4解析依題意得|MA|MF|(|MC|1)|MF|(|MC|MF|)1，由拋物線的定義知|MF|等于點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線x1的距離，結(jié)合圖形不難得知，|MC|MF|的最小值等于圓心C(4,1)到拋物線的準(zhǔn)線x1的距離，即為5，因此所求的最小值為4.8若拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)

5、F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線y24x(y0)上，則PAB的面積的最小值為_答案2解析由題意，得F(1,0)，直線AB的方程為yx1.由，得x26x10.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x26，x1x21，|AB|·8.設(shè)P(，y0)，則點(diǎn)P到直線AB的距離為，PAB的面積S2，即PAB的面積的最小值是2.9(2012·海淀期末)已知點(diǎn)M(1，y)在拋物線C：y22px(p>0)上，M點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2，直線l：yxb與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程；(3)若

6、直線l與y軸負(fù)半軸相交，求AOB面積的最大值解析(1)拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線為x，由拋物線定義和已知條件可知|MF|1()12，解得p2，故所求拋物線方程為y24x.(2)解法一聯(lián)立消去x并化簡(jiǎn)整理得y28y8b0.依題意應(yīng)有6432b>0，解得b>2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y28，y1y28b.設(shè)圓心Q(x0，y0)，則應(yīng)有x0，y04.因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，得到圓的半徑為r|y0|4，又|AB|所以|AB|2r8.解得b.所以x1x22b2y12b2y24b16.所以圓心坐標(biāo)為(，4)故所求圓的方程為(x)2(y4)216.解法二

7、聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得x2(4b16)x4b20.依題意應(yīng)有16(b4)216b2>0，解得b>2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24b16，x1x24b2.設(shè)圓心Q(x0，y0)，則應(yīng)有x0，y04，因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，得到圓的半徑為r|y0|4.又|AB|，又|AB|2r8，所以有8.解得b.所以x1x2.所以圓心坐標(biāo)為(，4)故所求圓的方程為(x)2(y4)216.(3)因?yàn)橹本€l與y軸負(fù)半軸相交，所以b<0.又l與拋物線C交于兩點(diǎn)，由(2)知b>2，所以2<b<0.直線l：yxb整理得x2y2b0.點(diǎn)O到直線l的距離d，所

8、以SAOB·|AB|d4·.令g(b)b32b2，2<b<0，g(b)3b24b3b(b)，當(dāng)b變化時(shí)，g(b)、g(b)的變化情況如下表：b(2，)(，0)g(b)0g(b)極大由上表可得g(b)的最大值為g().所以當(dāng)b時(shí)，AOB的面積取得最大值.10(2011·山東理)已知?jiǎng)又本€l與橢圓C：1交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩不同點(diǎn)，且OPQ的面積SOPQ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)證明：xx和yy均為定值；(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|·|PQ|的最大值(3)橢圓C上是否存在三點(diǎn)D，E，G，使得SODESODGSOEG？若存

9、在，判斷DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以x2x1，y2y1.因?yàn)镻(x1，y1)在橢圓上，因此1，又因?yàn)镾OPQ，所以|x1|·|y1|.由、得|x1|，|y1|1，此時(shí)xx3，yy2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxm，由題意知m0，將其代入1得(23k2)x26kmx3(m22)0，其中36k2m212(23k2)(m22)>0，即3k22>m2，(*)又x1x2，x1x2，所以|PQ|··.因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離為d，所以SOPQ|PQ|·d·

10、3;，又SOPQ，整理得3k222m2，且符合(*)式，此時(shí)，xx(x1x2)22x1x2()22×3，yy(3x)(3x)4(xx)2.綜上所述，xx3，yy2，結(jié)論成立(2)解法一當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由(1)知|OM|x1|，|PQ|2|y1|2，因此|OM|·|PQ|×2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由(1)知：，k()mm，|OM|2()2()2(3)，|PQ|2(1k2)2(2)，所以|OM|2·|PQ|2×(3)×2×(2)(3)(2)()2.所以|OM|·|PQ|，當(dāng)且僅當(dāng)32，即m±時(shí)，等號(hào)

11、成立綜合得|OM|·|PQ|的最大值為.解法二因?yàn)?|OM|2|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2(x2x1)2(y2y1)22(xx)(yy)10.所以2|OM|·|PQ|5.即|OM|·|PQ|，當(dāng)且僅當(dāng)2|OM|PQ|時(shí)等號(hào)成立因此|OM|·|PQ|的最大值為.(3)橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得SODESODGSOEG.假設(shè)存在D(u，v)，E(x1，y1)，G(x2，y2)滿足SODESODGSOEG，由(1)得u2x3，u2x3，xx3，v2y2，v2y2，yy2，解得u2xx；v2yy1.因此u，x1，x2只能從±中選取，v

12、，y1，y2只能從±1中選取，因此D，E，G只能在(±，±1)這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，與SODESODGSOEG矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G.1(2012·福建廈門質(zhì)檢)定義一個(gè)法則f：(m，n)(m，)(n0)，在法則f的作用下，點(diǎn)P(m，n)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(m，)現(xiàn)有A(1,2)，B(1,0)兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的軌跡為G，則軌跡G與線段AB公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3答案C解析點(diǎn)P的軌跡方程為xy1(1x1)，設(shè)P(x，y)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P(x，y2)，代入上式，可得P

13、(x，y)的軌跡方程為y2x1，則軌跡G與線段AB交于(1,0)，(0,1)兩點(diǎn)2(2012·鄭州質(zhì)檢)已知圓C：(x)2y216，點(diǎn)N(，0)，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，NQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l交軌跡E于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，AOB(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S，求直線AB的方程解析(1)由題意得|MC|MN|MC|MQ|CQ|4>2，所以軌跡E是以N，C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即軌跡E的方程為y21.(2)記A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，直線AB的斜率不可能為0，故可設(shè)直線AB的方程為：xmy1，由消

14、去x得(4m2)y22my30.所以S|OP|y1y2|.由S，解得m21，即m±1.故直線AB的方程為x±y1，即xy10或xy10為所求3(2012·合肥質(zhì)檢)已知拋物線y24x，過(guò)點(diǎn)M(0,2)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且直線l與x軸交于點(diǎn)C.(1)求證：|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列；(2)設(shè)，試問(wèn)，是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解析(1)由題意知，直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為：ykx2(k0)，聯(lián)立方程可得得：k2x2(4k4)x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(，0)，則x1x2，x1·x

15、2.|MA|·|MB|x10|·|x20|(1k2)·|x1x2|，而|MC|2(|0)2，|MC|2|MA|·|MB|，即|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列(2)由，得，(x1，y12)(x1，y1)，(x2，y22)(x2，y2)，即得：，.得.由(1)中代入得1，故為定值且定值為1.4(2012·江西南昌)已知雙曲線1(b>a>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e2，點(diǎn)M(，)在雙曲線上(1)求雙曲線的方程；(2)若直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且·0.求|OP|2|OQ|2的最小值解析(1)e2，c2a，b2c2a23

16、a2，雙曲線方程為1，即3x2y23a2.點(diǎn)M(，)在雙曲線上，1533a2.a24.所求雙曲線的方程為3x2y212.(2)設(shè)直線OP的方程為ykx(k0)，聯(lián)立3x2y212，得|OP|2x2y2.則OQ的方程為yx，有|OQ|2，.設(shè)|OP|2|OQ|2t，則t()2()2()2224，t24.即|OP|2|OQ|224(當(dāng)且僅當(dāng)|OP|OQ|2時(shí)取等號(hào))當(dāng)|OP|OQ|2時(shí)，|OP|2|OQ|2有最小值24.5(2011·廣東文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x2交x軸于點(diǎn)A.設(shè)P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足MPOAOP.(1)當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求

17、點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)已知T(1，1)設(shè)H是E上動(dòng)點(diǎn)，求|HO|HT|的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；(3)過(guò)點(diǎn)T(1，1)且不平行于y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線l1的斜率k的取值范圍解析(1)如圖1可得直線l：x2與x軸交于點(diǎn)A(2,0)，設(shè)P(2，m)，當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，這時(shí)OP的垂直平分線為x1，由AOPMPO0°，得M(1,0)，當(dāng)m0時(shí)，設(shè)M(x0，y0)，()若x0>1，由MPOAOP得MPOA，有y0m，又kOP，OP的中點(diǎn)為(1，)，OP的垂直平分線為y(x1)，而點(diǎn)M在OP的垂直平分線上，y0(x01)，又my0，于是y0(

18、x01)，即y4(x01)(x0>1)()若x0<1，如圖1，由MPOAOP得點(diǎn)M為OP的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，在y(x1)中，令y0，有x1<1，即M(1,0)，點(diǎn)M的軌跡E的方程為y24(x1)(x1)和y0(x<1)(2)由(1)知軌跡E為拋物線y24(x1)(x1)與射線y0(x<1)，而拋物線y24(x1)(x1)的頂點(diǎn)為B(1,0)，焦點(diǎn)為O(0,0)，準(zhǔn)線為x2，當(dāng)點(diǎn)H在拋物線y24(x1)(x1)上時(shí)，作HG垂直于準(zhǔn)線x2于點(diǎn)G，由拋物線的定義得|HO|HG|，則|HO|HT|HT|HG|，作TF垂直于準(zhǔn)線x2于點(diǎn)F，則|HT|HG|TF|，又T

19、(1，1)，得|TF|3，在y24(x1)(x1)中，令y1得x，即當(dāng)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(，1)時(shí)，|HO|HT|的最小值為3，當(dāng)點(diǎn)H在射線y0(x<1)上時(shí)，|HO|HT|>|TF|，|HO|HT|的最小值為3，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(，1)(3)由(2)得kBT，由圖2得當(dāng)直線l1的斜率k或k>0時(shí)，直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)直線l1的斜率k的取值范圍是(，(0，)6已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1：y1，過(guò)定點(diǎn)F與直線l1相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求·的最小值解(1)由題設(shè)點(diǎn)C到點(diǎn)

20、F的距離等于它到l1的距離，點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線所求軌跡的方程為x24y.(2)由題意直線l2的方程為ykx1，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x24kx40.記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x24k，x1x24.直線PQ的斜率k0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，1)，·(x1，y11)·(x2，y21)(x1)(x2)(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(2k)(x1x2)44(1k2)4k(2k)44(k2)8，k22，當(dāng)且僅當(dāng)k21時(shí)取到等號(hào)·4×2816，即·的最小值為16.7已知橢圓C：1(a>b>

21、0)以雙曲線y21的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；若直線MA，MB與直線x4分別交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最小值解(1)易知雙曲線y21的焦點(diǎn)為(2,0)，(2,0)，離心率為，則在橢圓C中a2，e，故在橢圓C中c，b1，所以橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)M(x0，y0)(x0±2)，由題易知A(2,0)，B(2,0)，則kMA，kMB，故kMA·kMB·，點(diǎn)M在橢圓C上，則y1，即y1(x4)，故kMA

22、3;kMB，即直線MA，MB的斜率之積為定值解法一：設(shè)P(4，y1)，Q(4，y2)，則kMAkPA，kMBkBQ，由得·，即y1y23，當(dāng)y1>0，y2<0時(shí)，|PQ|y1y2|22，當(dāng)且僅當(dāng)y1，y2時(shí)等號(hào)成立同理可得，當(dāng)y1<0，y2>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)y1，y2時(shí)，|PQ|有最小值2.解法二：設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MA的方程為yk(x2)，從而P(4,6k)，由知直線MB的斜率為，則直線MB的方程為y(x2)，故得Q(4，)，故|PQ|6k|2，當(dāng)且僅當(dāng)k±時(shí)等號(hào)成立，即|PQ|有最小值2.8如圖所示，已知直線l：ykx2與拋物線C：x22

23、py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，(4，12)(1)求直線l和拋物線C的方程；(2)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求ABP面積的最大值思路(1)根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系和(4，12)列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)線段AB的長(zhǎng)度為定值，只要求點(diǎn)P到直線AB的最大值即可解析(1)由得x22pkx4p0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.因?yàn)?x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)(4，12)，所以解得所以直線l的方程為y2x2，拋物線C的方程為x22y.(2)解法一：設(shè)P(x0，y0)，依題意，拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，ABP的面積最大，yx，所以x02x02，y0x2，所以P(2，2)此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離d，由得x24x40，|AB|··4.ABP的面積最大值為8.解法二：由得x24x40，|AB|··4，設(shè)P(t，t2)(22<t<22)，因?yàn)锳B為定值，當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離d最大時(shí)，ABP的面積最大，d，因?yàn)?2<t<22，所以當(dāng)t2時(shí)，dmax，此時(shí)P(2，2)ABP的