第一章 連續(xù)性

1、1.1 函數(shù)1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且，又求出()的表達(dá)式。（1993北京）解 記，則，且故因此2 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界（ A ）（A）（1，0） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，3）1.2 極限1. = (03年考研題)解 =2. (95考研題) 解: 本題應(yīng)用夾逼原理.3. 設(shè)為常數(shù)，且，則 （北京2001）4. （北京1999）5. 已知北京（1996）解：利用等價(jià)無(wú)窮小替換的方法求解，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，故6. (北京2001) 提示：作變量替換7. （北京2000）解：故 8. 若，則 （北京2000）解：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，等價(jià)于，因而，于是9. =(97年考研題)解 當(dāng)時(shí),

2、, 利用等價(jià)無(wú)窮小替換, 可以得到=(對(duì)所用的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納、總結(jié))10. 當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則（05考研題）解 若，則與等價(jià)無(wú)窮小。另解 =11. （00考研題）設(shè)對(duì)任意的，總有，且，則 （D） （A）存在且等于零 （B）存在但不一定為零 （C）一定不存在 （D）不一定存在 解：令，顯然，且，此時(shí)1，故（A）和(C)不正確。實(shí)際上，不一定存在，例如，但是12. （00考研題）若，則 （ C）A0 B. 6 C. 36 D. 解法1: 由所給的極限式通過(guò)運(yùn)算去求未知的極限是本題的思路.寫出的taylor公式代入原極限式得到，即得36解法2: 通過(guò)加項(xiàng)減項(xiàng)的辦法解.而=13. (04考研題)

3、把時(shí)的無(wú)窮小, , 進(jìn)行排序, 使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小, 則正確的排序是( B)A. B. C. D. 解答: 注意, 這些無(wú)窮小都要和進(jìn)行比較, 找出這些無(wú)窮小的階, 然后進(jìn)行排序.14. 當(dāng)時(shí)，下列無(wú)窮小量(03年題天津市競(jìng)賽試題)從低階到高階的排列順序?yàn)椋―）A. B. C. D.15. 已知, 則 (A)(04年天津市競(jìng)賽試題)A. 12 B. 3 C. 1 D. 0解: , 所以316. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù), 且, 求及(04年天津市競(jìng)賽題)解 因?yàn)橐虼? 由無(wú)窮小的階的比較, 得到, 應(yīng)用羅必答法則, , 因此, 再一次應(yīng)用羅必答法則, 有, 即.=17.

4、求（廣東1991）解：利用重要極限，可得18. 設(shè)函數(shù)，求出函數(shù)的解析表達(dá)式，并畫出它的圖形（北京競(jìng)賽題1991）解：可寫成分段函數(shù)，是分段點(diǎn)。設(shè)，證明：（1） 方程在內(nèi)有唯一的實(shí)根；（2）求 （北京1994）解：（1）在上連續(xù)，又，由介值定理，存在，使，又當(dāng)時(shí)，即在上嚴(yán)格遞增，故是方程在在內(nèi)有唯一的實(shí)根。（2）現(xiàn)證明數(shù)列單調(diào)有界由（1），知數(shù)列有界。又因?yàn)?，?gt;0因此，即數(shù)列單調(diào)減少，所以存在，設(shè)為，由于，故，由，得令，取極限，有即19. 設(shè)，求（北京1997）解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故20. 設(shè)是上遞減的連續(xù)函數(shù)，且，證明數(shù)列收斂，其中（北京2000）分析：應(yīng)用數(shù)列的單調(diào)有界定理，證明

5、過(guò)程中要充分運(yùn)用定積分的性質(zhì)。證明：是上遞減的連續(xù)函數(shù)，知單調(diào)減少。又對(duì)任意，知有下界。綜上所述，可見收斂。21. (工科數(shù)學(xué)分析146頁(yè))解 由, 代入原式經(jīng)過(guò)計(jì)算, 可得= 22. (98考研題) 求(為自然數(shù))解: 因?yàn)槠渲腥? 可得=23. (94考研題)計(jì)算解法1: 利用三角公式化簡(jiǎn), 得到, 于是=解法2:=解法3: 因?yàn)槎?4. (04考研題) 求解: =練習(xí)題: 求(05考研題)25. (04考研題)余下利用羅必答法則, 結(jié)果=解法2: 26. (97考研題、05天津競(jìng)賽試題) 解：1注意：分母部分分為兩部分，每一部分都除以為了避免出現(xiàn)錯(cuò)誤，可以按照下面的方法來(lái)做。解法2：令，

6、則余下分子分母同除以，可以計(jì)算出極限。27. 已知極限, 試確定常數(shù)和的值(02年天津市競(jìng)賽試題)解: 由此我們可以得到, 即, 同時(shí)28. 求(99考研題)解: =本題的重點(diǎn)是處理29. 求(00年考研題)解: 由于函數(shù)中含有絕對(duì)值, 故應(yīng)該分別考慮左、右 極限，因此， 1主要錯(cuò)誤是將此極限問(wèn)題分為兩個(gè)極限去討論，由于兩個(gè)極限都不存在，得出結(jié)論，原極限不存在。30. 設(shè)，證明數(shù)列的極限存在，并求此極限。（02考研題）證明：由題設(shè)，知 ，均為正數(shù)，故設(shè)當(dāng)時(shí)，則故由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)任意正整數(shù)，均有又當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，即數(shù)列單調(diào)增加，所以由單調(diào)有界數(shù)列必有極限存在準(zhǔn)則知該數(shù)列極限存在。設(shè)，則有知，得到

7、或，顯然與已知不符，因此有31. 設(shè)，。證明存在，并求之。（04天津競(jìng)賽題）解：因?yàn)閷?duì)任何，恒有，因此數(shù)列有界。余下我們只要證明該數(shù)列單調(diào)即可。，因此，與同號(hào)，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)減少。也就是說(shuō)，數(shù)列為單調(diào)有界數(shù)列，因而必有極限。設(shè)，可得。利用微分中值定理求極限的例子32. 求極限解：令，則原式在與之間，當(dāng)時(shí)，從而原式233. 求極限解：令，則在區(qū)間或上，、滿足柯西中值定理的條件，固有介于與 之間，又因?yàn)?，所以由兩邊夾法則，知原式34. 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且。證明存在使證明：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，且有，從而有若等號(hào)成立，則，命題得證；若，則異號(hào)。由介值定理知，存在，使，即。3

8、5. 求極限 解：因?yàn)?，所?6. 求極限（1） （2）提示：，1設(shè)，試證明：證明：由，知對(duì)任給的，存在，當(dāng)時(shí)總有由于顯然，當(dāng)充分大之后，必有，因此，從而證明了1.3 連續(xù)性1. (05考研題)設(shè)函數(shù), 則 ( D)A. 都是的第一類間斷點(diǎn)B. 都是的第二類間斷點(diǎn)C. 是的第一類間斷點(diǎn), 是的第二類間斷點(diǎn)D. 是的第二類間斷點(diǎn), 是的第一類間斷點(diǎn)2. (03考研題) 設(shè)為不恒等于零的奇函數(shù), 且存在, 則( D)A. 在處左極限不存在 B. 有跳躍間斷點(diǎn)C. 在處右極限不存在 D. 有可去間斷點(diǎn)3. 設(shè)函數(shù)在上有定義，且函數(shù)與函數(shù)在上都是單調(diào)遞增的，求證：在上連續(xù)。（1992北京） 證明：對(duì)于

9、，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱卧?，故有因?yàn)閱卧?，故有從而有令，取極限，得，說(shuō)明在點(diǎn)右連續(xù)。同理，當(dāng)時(shí)，可證得在點(diǎn)左連續(xù)。因此，在點(diǎn)連續(xù)。由于點(diǎn)在中的任意性，所以在上連續(xù)。4. 設(shè)，求證：（1） 對(duì)于任何自然數(shù)，方程在區(qū)間中僅有一根。（2） 設(shè)滿足，則。（1992北京）證明：（1）因?yàn)樵谏线B續(xù)，又，故由介值定理知，存在，使得，且因?yàn)樗?，在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格遞減。因此，滿足方程的根存在且唯一。 （2）因?yàn)?，令兩邊取極限，有說(shuō)明存在正整數(shù)，使對(duì)于時(shí)，有。因?yàn)閲?yán)格遞減所以，對(duì)于由夾逼準(zhǔn)則知：當(dāng)時(shí)，有，即5. 設(shè)函數(shù) 試討論在處的連續(xù)性。（95考研題）6. 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且。證明存在使證明：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，且有，從而有若等號(hào)成立，則，命題得證；若，則異號(hào)。由介值定理知，存在，使，即。7. 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若在時(shí)是比高階的無(wú)窮小，試確定的值（02考研題）解：由題設(shè)條件知由于