高斯小學(xué)奧數(shù)六年級(jí)上冊(cè)含答案第08講復(fù)雜直線型計(jì)算

1、第八講復(fù)雜直線型計(jì)算我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)詳細(xì)學(xué)習(xí)了直線形長(zhǎng)度、角度以及面積的計(jì)算， 并學(xué)習(xí)了直線形中的各種比例關(guān)系？下面我們就對(duì)這些知識(shí)作一下總結(jié)本講知識(shí)點(diǎn)匯總：我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)詳細(xì)學(xué)習(xí)了直線形長(zhǎng)度、角度以及面積的計(jì)算，并學(xué)習(xí)了直線形中的各種比例關(guān)系？下面我們就對(duì)這些知識(shí)作一下總結(jié) .一、角度問(wèn)題1. n邊形的內(nèi)角和是180 n 2 ;2. n邊形的外角和是360 .二、基本直線形的面積計(jì)算：三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形面積公式（詳細(xì)公式略）三、直線形中的比例關(guān)系1.等高三角形：面積比等于底的比.2 .共角三角形：面積比等于共角夾邊比的乘積？如右圖所示，陰影三角形與大三角形

2、共享一個(gè)角，它的左側(cè)邊占大三角形左側(cè)邊的，右側(cè)邊占大三角形3右側(cè)邊的1 ,那么它的面積就是大三角形的1 - - ?3 .沙漏三角中的比例關(guān)系系，則有比例關(guān)系旦-成立.b d f如下圖所示，上下兩個(gè)三角形底邊平行,另兩邊呈交叉關(guān)4.長(zhǎng)方形中的比例關(guān)系SSi 共邊長(zhǎng)方形的面積比等于另一組邊的比？如右圖所示,(2)如右圖所示,長(zhǎng)方形被一對(duì)分別平行于長(zhǎng)、寬的線段一分為四S2則有面積比例：51 S352S4a-.將其寫(xiě)成交叉相乘的形式可得bSi S4 S2sS2S3S4ba積有色OSi4SiSS2Sabbib2金字塔模型？金字塔模型的比例關(guān)系如右圖bi bib2bi十Cibib2燕尾三角形7上面的等高三

3、角形中我們學(xué)過(guò)等高三角形的比例關(guān)如下左圖所示圖中有4個(gè)小三角形4個(gè)小三角形的面積之間的比例關(guān)系如圖中所示ABDS外比CD51abAOODS3fSiaa2S3的形式ABC被線段AD 一分為二，且有比例關(guān)系右圖三角形中添加一條與底邊平行的平行線，就是S2S3S4上述兩個(gè)比例關(guān)系還可以通過(guò)交叉相乘，寫(xiě)成如下右圖所示，在增加了兩條線段后aiai(i)如右圖所示，當(dāng)四邊形被對(duì)角線分為四個(gè)部分的時(shí)候SiCD,并在CD上取一點(diǎn)接OA和OB，將四邊形分為四部分.這四部分的面積仍然有比例關(guān)系aiaa5. 一般四邊形中的比例關(guān)系bib2C2aia2Si S2S ：Sa的比例關(guān)系成立.S2 S4(2)如右圖所示，連

4、接四邊形的一條對(duì)角線Qb2 C2面積之間的比例關(guān)系如圖中所示8厘米，圖中的字例1. A、B是兩個(gè)大小完全一樣的長(zhǎng)方形，已知這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬長(zhǎng)母表示相應(yīng)部分的長(zhǎng)度？則 A、B中陰影部分的周長(zhǎng)之差是多少厘米?分析根據(jù)圖中標(biāo)出的字母,你能用字母a、b分別表示出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬以及兩圖中陰影部分的周長(zhǎng)之差嗎?ba練習(xí)1、下圖中，大正六邊形內(nèi)部有7個(gè)完全一樣的小正六邊形？如果陰影部分的周長(zhǎng)是120 （陰影部分周長(zhǎng)由內(nèi)、外兩部分組成），那么大正六邊形的周長(zhǎng)是多少？例2.如圖，ABCDE是正五邊形，CDF是正三角形，那么/ BFE等于多少度?分析正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度？等邊三角形每個(gè)內(nèi)角又是多少度？由此

5、如何求出/ BFE的度數(shù)?CD練習(xí)2、如下圖，已知 ABCDEF是正六邊形，ABIJK是正五邊形，ABGH是正方形，圖例3.如圖，四邊形ABCD與四邊形CNMP都是平行四邊形，若三角形 DFP與三角形AEF的面積分別是21和43,則三角形BNE的面積為多少？那么如何使用平行線作為分析兩個(gè)平行四邊形為我們提供了幾組平行線這個(gè)條件,我們的解題突破口呢?練習(xí)3、圖中的長(zhǎng)方形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標(biāo)出，那么陰影部分的面積是多少？例4.已知四邊形ABCD是平行四邊形，三角形 AEF的面積為4,三角形CDE的面積為9,那么平行四邊形的面積等于多少?分析這道題中有一個(gè)“沙漏形”是可以用在解題中的

6、請(qǐng)你找出練習(xí)4、圖中的梯形被分成四小塊，其中兩塊的面積已經(jīng)標(biāo)出，那么梯形的面積是多少如圖，大長(zhǎng)方形被分為四個(gè)小長(zhǎng)方形，面積分別為12、24、35、49 ?那么圖中陰影圖形的面積為多少？分析圖中的陰影三角形是包含在長(zhǎng)方形中的如何利用三角形與長(zhǎng)方形的面積比來(lái)求陰影部分呢？如圖所示，ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn) E在CD延長(zhǎng)線上？已知 AB 5, BC 12 ,三角形AFE的面積等于15,那么三角形 CFE的面積等于多少？分析在這道題中你首先能求出哪些部分的面積請(qǐng)先求出，系去然后再根據(jù)這些面積的關(guān) 尋找圖中的線段長(zhǎng)度關(guān)系.課 堂 內(nèi) 外 幾何原本幾何原本（希臘語(yǔ)：T° ?ax是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾

7、里得所著的一部數(shù)學(xué)著作，共13卷 . 這本著作是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在西方是僅次于圣經(jīng)而流傳最廣的書(shū)籍?這本書(shū)是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里得最有價(jià)值的一部著作?在原 本里，歐幾里得系統(tǒng)地總結(jié)了古代勞動(dòng)人民和學(xué)者們?cè)趯?shí)踐和思考中獲得的幾何知識(shí)，把人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成定義和公理，用這些定義和公理來(lái)研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學(xué)論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系一一幾何學(xué)?而這本書(shū)，也就成了歐式幾何的奠基之作.幾何原本集整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)的成果和精神于一書(shū). 既是數(shù)學(xué)巨著，又是哲學(xué)巨著，并且第一次完成了人類對(duì)空間的認(rèn)識(shí)?除圣經(jīng)之

8、外，沒(méi)有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與幾何原本相比 .幾何原本大約成書(shū)與公元前300 年，原書(shū)早已失傳，如今見(jiàn)到的幾何原本是經(jīng)過(guò)后來(lái)的數(shù)學(xué)家們修改過(guò)的，而且有的包含13 卷，有的包含15 卷，書(shū)中大部分內(nèi)容有關(guān)圖形的知識(shí)（即幾何知識(shí)）.1582 年，意大利人利瑪竇到我國(guó)傳教，帶來(lái)了15 卷本的原本. 1600 年，明代數(shù)學(xué)家徐光啟（ 1562- 1633 ）與利瑪竇相識(shí)后，便經(jīng)常來(lái)往. 1607 年，他們把該書(shū)的前6 卷平面 幾何部分合譯成中文，并改名為幾何原本?后9 卷是 1857 年由我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭（ 1811-1882 ）和英國(guó)人偉烈亞歷譯完的.幾何原本最主要的特色

9、是建立了比較嚴(yán)格的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理）?幾何原本第一卷列有23 個(gè)定義， 5條公理， 5 條公設(shè) . （其中最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，這些定義、公理、公設(shè)就是幾何原本全書(shū)的基礎(chǔ). 全書(shū)以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開(kāi)他的各個(gè)部分的.比如后面出現(xiàn)的每一個(gè)定理都寫(xiě)明什么是已知、什么是求證?都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明.歐幾里得的幾何原本是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的好教材.它巳成為培養(yǎng)、提高青、少年邏輯思維能力的好教材. 歷史上不知有多少科學(xué)家從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而做出了偉大的貢獻(xiàn)?兩千多年來(lái)，幾何原

10、本一直是學(xué)習(xí)幾何的主要教材?哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過(guò)幾何原本，從中吸取了豐富的營(yíng)養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就._ r rL -11 - J - 二 - 1 _- w !猶磬曲粘哩E叫堆1rL4h作業(yè)1.如圖，它是由若干塊面積為 12平方厘米的小長(zhǎng)方形磚和 3塊白色小正方形磚砌起來(lái)的一面墻，問(wèn)這塊墻的面積是多少？4.如圖，面積為4的正方形ABCD中，E、F是DC邊上的三等分點(diǎn)，求陰2 .如圖，將一個(gè)正方形的左上角和左下角折起來(lái)，并且交于/ 1等于多少度？3 .如圖，ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，E為CD邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，如果圖中陰影部分面積為1,求長(zhǎng)方形ABCD的面積.積.

11、5.如圖，三角形ABC的面積是1 , D、E、F分別是相應(yīng)邊的三等分點(diǎn)，三角形ADO的面積是多少？第八講復(fù)雜直線型計(jì)算例題：例7.答案：16厘米詳解：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a 2b ,寬為a b ?再根據(jù)長(zhǎng)比寬多 8厘米，就能求出b 8厘米.長(zhǎng)方形A中，陰影部分的周長(zhǎng)為6b 4a 2b 4 a b ?長(zhǎng)方形B中，陰影部分有6條邊，它的周長(zhǎng)其實(shí)就等于大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，等于a 2b a b 2 4a 6b .兩者相差2b 2 8 16 厘米.例&答案：1685 21803 180540,每個(gè)內(nèi)角是5405108BCF1086048.BCF是等腰三角形，所以BFC18048同理DFE也等于66.因止匕看

12、BFE360BFCCFDDFE 360666066168詳解：因?yàn)?CDF是正三角形，所以 CFD FCD 60 .正五邊形的內(nèi)角和是.因此2 66 ,得 到例9.答案：22DFP與三角形AFM詳解：如圖連接AM,因?yàn)镻M / AD,所以由蝴蝶模型可知三角形面積相等；同樣道理三角形BEN與三角形AEM面積相等，所以三角形 BEN面積=43一2 仁 22 .例10 .答案：30詳解：三角形AFE與三角形DCE構(gòu)成沙漏模型，而已知面積比為4:9,所以對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比為EF:EC=2:3 ,因此FE:FC=2:5 .三角形AFE又與三角形BFC構(gòu)成金字塔模型，所 以三角形AFE與三角形BFC的面積比為4:

13、25,因此三角形BFC的面積為25,所以四邊形ABCE的面積為25 4=21 ,因此平行四邊形的面積為21+9=30例11 .答案：15詳解： GE: EH 12: 241:2 , 所以 GE 1GHGF :FH 49:357:5，所以5 FH GH12的面積等于由此可得,1 SACDJ8EF 15GH 131212 24493531 s陰影，匚，因此陰影部分 而 -2 GH 84SACDJ15 .例 12 . 答案 :30詳解：三角ABF 與三角形DEFAB FD DE AF 2 15 30 ，所以 FD構(gòu)成沙漏模型，所以便匚，即DE FD 所30 AB 6 ，又因?yàn)锳D= 12 ,以 AF

14、=6 ,FD 230 .DE 2 15 AF 5 . 所以三角形CFE 的面積 =(CD DE)練習(xí) :1. 答案： 90簡(jiǎn)答：陰影部分的外周長(zhǎng)與大正六邊形相同，而陰影部分的外周長(zhǎng)等于內(nèi)周長(zhǎng)的3 倍 ,3因此陰影部分外周長(zhǎng)等于總周長(zhǎng)的3，即12042. 答案： 3簡(jiǎn)答：四邊形內(nèi)角等于90 ° , 五邊形內(nèi)角等于108° , 六邊形內(nèi)角等于120。，所以KAH 1089018KAF 12010812 . AFK與A AHK都是等腰三角形，AHK 180182 81 , AFK180122 84，兩者相差3 .3. 答案 :25簡(jiǎn)答：如圖作輔助線構(gòu)造蝴蝶模型即可4. 答案：36

15、簡(jiǎn)答：三角形AOD與三角形BOC構(gòu)成沙漏模型，而已知面積比為 4:16=1:4 ,所以對(duì)應(yīng) 邊長(zhǎng)比為OD:OB=1:2 ,因此三角形 AOD與三角形BOA的面積比為1:2,所以三角形BOA的面積為8?由蝴蝶 模型可知三角形 COD的面積也是8,所以梯形的面積是 4+16+8+8=36 .作業(yè)：1. 答案： 270簡(jiǎn)答：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x, 寬為y. 從水平方向的線段可以看出5x 3x 3y ，因此2x 3y ?所以小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比為3:2, 而相應(yīng)小正方形的邊長(zhǎng)就是3 2 1 份 ?由此可得小長(zhǎng)方形的面積是白色小正方形的3 2 6 倍，即 12 6 2 ?接著把小長(zhǎng)方形與小正方形的面積相加即可

16、得到答案.2. 答案：75°簡(jiǎn)答：如右圖，添加一個(gè)點(diǎn)F . ADE 是正三角形，所以AED 60 ,因此BEA=90 6030,由于 AFE是由 BFE折疊而來(lái)的，因此兩個(gè)三角形完全相同，都是直角三角形，而且1FEA FEB BEA 15 ?因此190 FEA 75 ?23. 答案： 24簡(jiǎn)答：由 CO:OA EC : AB 1:3 ，得：Soae =3Soce =3 , Sace =4?又由 CD 3CE得 SADAC 3SAACE =12，所以整個(gè)長(zhǎng)方形的面積為24?4. 答案： 1EF : AB 1:3 ?簡(jiǎn)答：不妨設(shè)SAoEF =a ?由EF 與 AB 平行，得oE :oB oF : oA所以S A EoASA FoB3a ,