龍格庫塔方法及其matlab實現(xiàn)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上龍格-庫塔方法及其matlab實現(xiàn)摘要：本文的目的數(shù)值求解微分方程精確解，通過龍格-庫塔法，加以利用matlab為工具達到求解目的。龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法是一種在工程上應(yīng)用廣泛的高精度單步算法，用于數(shù)值求解微分方程。MatLab軟件是由美國Mathworks公司推出的用于數(shù)值計算和圖形處理的科學計算系統(tǒng)環(huán)境。MatLab是英文MATrix LABoratory（矩陣實驗室）的縮寫。在MratLab環(huán)境下，用戶可以集成地進行程序設(shè)計、數(shù)值計算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項操作。關(guān)鍵詞：龍格-庫塔 matlab 微分方程1. 前言1.1：知識背景龍

2、格庫塔法（Runge-Kutta）是用于非線性常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術(shù)由數(shù)學家卡爾·龍格和馬丁·威爾海姆·庫塔于1900年左右發(fā)明。通常所說的龍格庫塔方法是相對四階龍格庫塔而言的，成為經(jīng)典四階龍格庫塔法。該方法具有精度高，收斂，穩(wěn)定，計算過程中可以改變步長不需要計算高階導(dǎo)數(shù)等優(yōu)點，但是仍需計算在一些點上的值，比如四階龍格-庫塔法沒計算一步需要計算四步，在實際運用中是有一定復(fù)雜性的。Matlab是在20世紀七十年代后期的事：時任美國新墨西哥大學計算機科學系主任的Cleve Moler教授出于減輕學生編程負擔的動機，為學生設(shè)計了一組調(diào)用LI

3、NPACK和EISPACK庫程序的“通俗易用”的接口，此即用FORTRAN編寫的萌芽狀態(tài)的MATLAB。 經(jīng)幾年的校際流傳，在Little的推動下，由Little、Moler、Steve Bangert合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把MATLAB正式推向市場。從這時起，MATLAB的內(nèi)核采用C語言編寫，而且除原有的數(shù)值計算能力外，還新增了數(shù)據(jù)圖視功能。 MATLAB以商品形式出現(xiàn)后，僅短短幾年，就以其良好的開放性和運行的可靠性，使原先控制領(lǐng)域里的封閉式軟件包（如英國的UMIST，瑞典的LUND和SIMNON，德國的KEDDC）紛紛淘汰，而改以MATLAB為平臺加以重建。在時

4、間進入20世紀九十年代的時候，MATLAB已經(jīng)成為國際控制界公認的標準計算軟件。到九十年代初期，在國際上30幾個數(shù)學類科技應(yīng)用軟件中，MATLAB在數(shù)值計算方面，而Mathematica和Maple則分居符號計算軟件的前兩名。Mathcad因其提供計算、圖形、文字處理的統(tǒng)一環(huán)境而深受中學生歡迎。1.2研究的意義精確求解數(shù)值微分方程，對龍格庫塔的深入了解與正確運用，主要是在已知方程導(dǎo)數(shù)和初值信息，利用計算機仿真時應(yīng)用，省去求解微分方程的復(fù)雜過程。利用matlab強大的數(shù)值計算功能，省去認為計算的過程，達到快速精確求解數(shù)值微分方程。在實際生活中可以利用龍格庫塔方法和matlab的完美配合解決問題。

5、1.3研究的方法對實例的研究對比，實現(xiàn)精度的要求，龍格庫塔是并不是一個固定的公式，所以只是對典型進行分析2. 龍格-庫塔方法2.1龍格-庫塔公式在一階精度的的拉格朗日中值定理有：對于函數(shù)y=f（x，y） y'=f(x,y)y(n+1)=y(n)+h*K1K1=f(xn, yn)這就是一階龍格-庫塔方法形如 y(n+1)=y(n)+h*i=1rcikik1 =f（xn，yn） ki=f（xn+hai ，yn+h*j=1i-1bijki） i=2r故二階龍格-庫塔公式y(tǒng)(n+1)=y(n)+h（c1k1+c2k2）k1= f（xn，yn） (2)k2= f（xn+ha2 ，yn+ha2 k

6、1）將y（x）在xn處展成冪級數(shù)y（xn+1）=y(xn)+hy'(xn)+h22y' (xn)+o（h3）y'（x）= f（x，y（x）y'x= fx（x，y（x）+ fy（x，y（x）·f(x，y（x）)y（xn+1）=y(xn)+hf+h22(fx+fyf)+ o（h3） (3)將（2）式中的k2在（xn，yn）點展成冪級數(shù)k2= f（xn+ha2 ，yn+ha2 k1） =f+ha2fx+ ha2fyf+ o（h2）將k1，k2代入（2）式，得yn+1=yn +h（c1+c2）f+ha2c2（fx+fyf）+ o（h3） （4） 對比（3）（4

7、），當y(xn)= yn時只有c1+c2=1，a2c2=12 （5）形如(2)存在常數(shù)滿足（5）式，局部截斷誤差為o（h3）的求解方法稱為二階龍格-庫塔法。滿足（5）式，若取c1=12，則得到c2=12，a2=1，則公式則恰為預(yù)估-校正法公式若取c1=0，則c2=1，a2=12， yn+1=yn+hk2 k1= f（xn，yn） (6) k2= f（xn+h2，yn+h2k） n=0,1N-1由（5）式，可知龍格-庫塔法不是唯的三階龍格-庫塔法 yn+1=yn+h（c1k1+c2k2+ c3k3） k1= f（xn，yn） k2= f（xn+ha2，yn+ha2k1） （7） k3= f（xn

8、+ha3，yn+hb31k1+hb32k2）若c1，c2， c3，a2，a3，b31, b32且滿足b31+ b32=a3，并使得局部截斷誤差為o（h4）。類似二階龍格-庫塔法推導(dǎo)的 c1+c2+ c3=1 a2c2+a3c3=12 a2b32c3=16 （8） a22c2+a32c3=13形如（7），常數(shù)滿足（8），局部截斷誤差為o（h4）的求解方法稱為三階龍格-庫塔法在（8）式中若取c1=16，c3=16，則得c2=23，a2=12，a3=1，b31=-1，b32=2代入（7）中得三階龍格-庫塔法公式 yn+1=yn+h6（k1+4k2+ k3） k1= f（xn，yn） k2= f（xn

9、+h2，yn+h2k1） （9） k3= f（xn+ha3，yn-hk1+2hk2）四階龍格庫塔法的推導(dǎo)類似于三階龍格-庫塔法，但相對復(fù)雜這里不再進行推導(dǎo)，公式如下 yn+1=yn+h6（k1+2k2+2 k3+k4） k1= f（xn，yn） k2= f（xn+h2，yn+h2k1） （10） k3= f（xn+h2，yn+h2k2） k4= f（xn+h，yn+h k3） n=0,1N-1這就是標準四階龍格庫塔公式2.1 對實例的研究 利用龍格-庫塔法求解方程 y'=8-3yy0=2的數(shù)值，其中h=0.2，計算y(0.4)的近似值。至少保留四位小數(shù)。解：f (x，y)83y，利用四階龍格-庫塔公式有 yn+1=yn+h6（k1+2k2+2 k3+k4） k1= f（xn，yn）=8-3yn k2= f（xn+h2，yn+h2k1）=5.6-2.1yn k3= f（xn+h2，yn+h2k2）=6.32-2.37yn k4= f（xn+h，yn+h k3）=4.2081.57