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1、Tem61Page 13 of 13大連理工大學第十屆數(shù)學建模競賽參賽作品選題：A.伽瑪?shù)吨委熡媱澖M別：第61組隊員：計算機系 0102班 劉力協(xié)計算機系 0101班 楊 威計算機系 0101班 馮 維2003年4月20日伽瑪?shù)吨委熡媱澱覀冊趯┝糠植紗栴}的充分研究的基礎上，提出利用中軸變換抽取出病灶的骨架（3D Skeleton），迅速掌握了病灶的特征，然后利用雙重標準進行填充的計算機自動生成治療方案的模型。我們利用二次積分和微分的概念求出了靶點附近劑量的分布函數(shù)，在此基礎上討論了有效劑量的選擇對周圍正常腦細胞的影響及不同準直器對周圍腦細胞的影響，進一步討論了兩個靶點組合進行治療時，互相

2、影響所引起的等劑量曲線的變化。通過對上面三個問題的分析，我們提出了用低劑量相互疊加，有效等劑量曲線和用來進行病灶覆蓋的等劑量曲線（即我們在進行填充時的參考形狀）的雙重標準，我們認為70%等劑量曲線是有效劑量，而50%的劑量曲線是用來進行病灶覆蓋的等劑量曲線。這樣就能夠在放置靶點的同時，將靶點之間的相互影響的問題也同時考慮進去，從而避免了計算量很大的迭代，能夠一步到位，而且使的我們的模型很有彈性。這樣就避免了純粹用幾何來解決時遇到的幾何和劑量分布差別較大的缺點。在具體建立模型過程中，我們在一個50X50X50（625，000個像素）的正方形網(wǎng)格中討論問題，這是能夠滿足一般情況下的技術精度的。因為

3、沒有現(xiàn)成的病灶，我們利用隨機和分形相結合方法生成了一個簡陋的病灶（圖五）。在圖形處理方面，我們利用現(xiàn)在在圖形保存和壓縮方面比較常用的骨架抽取的方法，具體通過利用“帶符號的距離地圖”（8SSED, Sequential Euclidean Distance mapping algorithms6812）的思想來實現(xiàn)，通過記錄病灶內(nèi)部的像素到邊界像素的最近距離，找到圖形的中軸。抽取出病灶的骨架后，我們利用骨架的特征（最大內(nèi)球球心的集合）來進行靶點對病灶進行從“角”到中心類似貪心算法的覆蓋，在形成治療方案后，再對其進行評價，利用我們模型的彈性化設計再進行一些局部優(yōu)化，將得到一個滿意的結果。我們的模型

4、有很強的可操作性和彈性，并且算法復雜度低，穩(wěn)定性好，完全實現(xiàn)計算機自動處理。一 問題重述： 伽瑪?shù)妒鞘澜缟献钕冗M的治療儀器之一，主要通過伽瑪?shù)督M發(fā)射的高劑量的射線來達到摧毀腫瘤的目的。伽瑪?shù)督M有固定在頭罩上的201個鈷-60單元來組成，單一一條射線是不足以殺死腫瘤細胞的，而201束射線同時在同一中心交匯，形成一個大致球體的劑量分布（稱為靶點），并達到有效的劑量水平，殺死腫瘤細胞。可以通過四個可互換的外部瞄準儀頭罩（有4，8，14，18mm四種射線束通道）來照射出不同的劑量分布尺寸。如果目標的體積較大，可以通過多個靶點的組合來覆蓋整個目標，在實際中，大多需要一到十五個靶點?，F(xiàn)在治療方案大多是憑醫(yī)

5、師的經(jīng)驗和一個迭代算法，結果的滿意程度在很大程度上取決于醫(yī)師的經(jīng)驗。我們的模型就是要找到一種有效的方法，使計算機針對腫瘤的形狀和周圍健康組織的情況來自動生成一套治療方案。二 假設條件：1 由核磁共振(MRI)或CT提供的圖像是足夠精度的，我們暫不考慮其精度問題對我們模型的影響。2 大腦組織是均勻的，且對射線的傳播沒有影響，即射線在其中傳播能能量不會衰減。3 每條射線是一個理想的圓柱形，且各處能量密度相同，同時由于伽瑪射線的波長很短且各放射源相互獨立，因此認為相交時不發(fā)生干涉。4 從不同準直器出來的光線的能量密度是相同的，在我們的模型中認為是不可改變的。4 射線組的焦點是嚴格準確的，不考慮實際中

6、存在的焦點偏差。5 各個靶點的照射時間是相同的，不考慮因為此而帶來的劑量問題。6 靶點是一個正球體。7 某一點累積的劑量和這些劑量同時作用于這一點所起的效果是相同的。三 名詞解釋1 有效劑量：能殺死腫瘤細胞的最低劑量。2 能量密度：單位體積介質中的射線的能量。3 IDL：isodose lines,等劑量曲線，在我們的模型中，說50%IDLs或選取50%等劑量線，是指用50%等劑量曲線的形狀來作為靶點的參考形狀。四 模型建立和算法設計我們的模型有三個重要的組成部分：1 靶點的劑量問題。靶點劑量分布是有201條射線疊加而形成的，在我們的假設條件下通過計算討論劑量的分布函數(shù)，多個靶點之間劑量的影響

7、等問題，為下面的優(yōu)化和評價提供基礎。2 治療計劃的生成。我們用三維抽取骨架算法（3D Skeleton）來求出腫瘤的骨架，繼而通過填充算法來對靶點進行操作并進行自評價，最終生成一個較優(yōu)化的治療方案。3 對治療計劃的評價。主要考慮劑量的覆蓋面，劑量的分布是否均勻，及周圍組織受到得劑量大小等。（一）靶點的劑量分布靶點的附近劑量曲線根據(jù)我們的假設，射線呈圓柱形，不衰減，且不發(fā)生干涉。疊加效果如圖一所示,根據(jù)這一假設，我們可以求出靶點周圍的劑量分布。先考慮一條射線，設這條射線的能量密度為Po, 截面半徑為a（可以為2mm/4mm/7mm/9mm）。一個以靶心的中心為球心，半徑為R的球，截得的圓柱體積為

8、Vcut(R)，根據(jù)二次積分公式可以求得Vcut(R)=。 （1） 圖一：光線疊加的結果其中所包含的能量P(R)=Vcut(R)*Po。下面同時考慮201條射線，因為201條射線射線同時照射一個中心，可以認為以該中心為球心的球面上各處的能量密度是相同的。半徑為R(R>a)的球面上的能量密度為 （2）(其中Vsp(R)表示半徑為R的球的體積，表示距靶點中心R處的能量密度)進一步可以求得 （3）從此公式我們可以得到劑量分布如圖二所示，從中可以明顯看出從1-0.5曲線下降得很厲害，以后逐漸變得平緩，因此選取不同的等劑量線作為有效劑量造成的對周圍腦組織的影響是不同的，越低越大。為了對周圍腦組織造

9、成較小的影響，相對劑量水平一定要達到50%以上，國際上較通用做法也是選取50%等劑量曲線作為有效劑量覆蓋病灶周邊，目的是利用立體定向放射外科靶點外劑量成梯度銳減的特點，減少正常腦組織的損傷。在考慮到一些其他因素后，我們將做出一點改進，這在下面的有效劑量的選擇中將重點討論。不同直徑靶點對周圍組織的影響的比較我們將其中兩種準直器的靶點劑量分布做了比較，如圖三所示，從中可以看出，18mm準直器的射線束直徑大，劑量從聚焦中心向外周的遞減比小直徑射線束較彌散，對周圍腦組織影響較大，術后并發(fā)癥的危險性也相應增大，為了達到使用最小的靶點目的，勢必要多選取較大直徑的靶點，然而這樣也會增大對周邊腦組織的影響，因

10、此為了達到總體的優(yōu)化，應該從總體上達到一個平衡，在我們的模型中也考慮了這一因素。圖二：8mm準直器下靶點的劑量分布。右圖，橫坐標表示距靶點中心的距離，縱坐標為相對劑量。左圖為靶點的等劑量線，最大圓為90%等劑量線。圖三：圖中心的空白處為靶點的大小，線條表示射線束。大直徑的準直器靶點外射線束較彌散，而小直徑準直器射線較集中，對靶點外正常組織影響小。兩個靶點之間劑量的相互影響當所用到的靶點超過一個時，必然會涉及到兩個靶點周邊的重疊，而且這種影響是很顯著的，因此有必要對這個問題進行深入的討論。通過我們上面所得到的劑量分布公式，我們計算了兩個2mm準直器靶點相互作用時他們中心線上的劑量分布，如圖四所示

11、，從中我們可以清楚看到，在70%-80%疊加時，等劑量線要比50%60%變化快，中央形成一個很大的陡坡，這不是我們想要的結果，我們要使最大劑量附近劑量變化盡可能平緩，即要使劑量的變化率盡可能小。還可以看出，70%-80%等劑量線疊加時，等劑量線將發(fā)生顯著的變化（易位），這種變化是在我們進行計算機優(yōu)化是應該考慮的。一般的模型先將靶點看成是剛性小球，根據(jù)病灶形狀進行填充，然后再考慮劑量的影響，這往往使先前的工作變成徒勞，因為先前純幾何的討論往往不能達到劑量分布的要求，一旦有多個靶點同時作用時，等劑量線將發(fā)生很大的易位，而調整起來又比較困難。我們的模型將這種因素融進去，做了一些改進，在作幾何填充的同

12、時將劑量因素考慮進去，這也是我們之所以花很多精力來研究靶點的劑量問題。我們在劑量方面的模型從上面的討論我么可以看到，因為靶點不是理想的剛性球，當多個靶點共同配合來治療時，后加入的靶點將影響到在此以前的劑量分布，使以前的等劑量線發(fā)生圖四：在不同IDLs（等劑量線）處疊加時中心線上的劑量分布，注意縱坐標的不同很大的變形，和病灶的外形就不會很好的匹配，因此常常需要一個迭代的算法。這種用幾何一次性填充想要達到很好匹配的想法是不夠合理的，付出的代價就是不斷的迭代。我們想出一個解決的辦法就是有新的靶點加入時盡量保持原來的等劑量線保持不變。要達到這個目的，我們想通過低劑量的疊加實現(xiàn)，即讓每個靶點只在他們的低

13、劑量區(qū)域開始進行疊加，這樣對原來的劑量分布造成的影響就小的多，而且能過滿足有效劑量的要求。在我們的模型中將有效劑量定為70%以上，而不是通常的50%；我們將50%等劑量曲線作為我們覆蓋病灶使達到最好匹配的參考形狀（即我們在進行幾何覆蓋計算時使用的尺寸）。這樣就可以有效的避免不斷的迭代，同時在這一范圍內(nèi)里，劑量變化是較迅速的，因此不會對周邊腦組織造成大的影響。這樣做的同時還有一個好處，就是在這一段距離內(nèi)，病灶的放置方式可以有一定程度的自由，我們認為兩個靶點在50%-60%等劑量曲線組成的球殼區(qū)域內(nèi)是可以有重疊的，因此我們的模型是有一定的彈性。同時若要考慮關鍵組織的情況，我們可以先通過對關鍵組織周

14、圍病灶進行匹配，通過這種辦法來達到對其的保護。（二）治療方案生成要達到和病灶的最佳匹配，必須同時考慮靶點的大小和位置。最容易想到的就是將靶點放到病灶的中心，然后盡可能的靶點放進去，以達到最大的覆蓋率，這種想法不是我們模型的思想，但求最大球的思路是可以肯定的。我們在查閱資料中發(fā)現(xiàn)一個這方面的一個有效的算法，就是三維骨架抽取（或稱中軸變換）算法（3D Skeleton）6-10，這使得我們的想法有了實現(xiàn)的方法。這部分我們主要進行了三個主要的工作：（一） 通過利用類似分形的算法來生成一個病灶。（二） 利用距離地圖（Distance Map/SED）的方法來抽象出病灶的骨架。（三） 利用我們的算法來實

15、現(xiàn)治療方案的最后設計。病灶的生成我們的模型是在一個50mmX50mmX50mm正方體內(nèi)（共有625，000個像素），通過向里面放進一些隨機產(chǎn)生的“種子”（像素），然后讓它們根據(jù)自己的“鄰居”的情況遵守一定規(guī)則來向各個方向自動“生長”，直到有一個方向達到邊界。一些定義：我們認為像素是一系列的正方體，它們緊密排列。如果兩個正方體共用一個面，我們稱它們?yōu)槊驵従樱‵-neighbors）。如果兩個正方體共用一條棱，我們稱它們?yōu)檫呧従?E-neighbors)。如果兩個正方體共用一個頂點，我們稱它們?yōu)辄c鄰居(V-neighbors)。一步：是指向某個方向“生長”一個像素。規(guī)則 如果一個像素沒有鄰居，它可

16、以向四周的面鄰居和邊鄰居“生長”一步。 如果一個像周邊已經(jīng)被堵死，即在兩步之內(nèi)找不到能出去的路，則將周圍填滿。 如果一個像素有鄰居但還沒有堵死，則只向面鄰居生長（如果原來已經(jīng)有了，就不用再生成）。 圖五：用我們算法生成的三維腫瘤三維圖像的骨架抽?。?D Skeleton）一個圖形的骨架（有的稱中軸）是這樣一個集合，這個集合中的元素是有一系列的點和它所對應的最大內(nèi)圓（二維）或球（三維）組成的。一個最大內(nèi)圓至少和圖形的邊界相切于兩點，并且不能被別的最大內(nèi)圓完全包含。骨架抽取在過去的年里已經(jīng)取得了許多成果，在我們所找到的資料中，主要有兩種主要算法（一） 細化方法。即逐次去掉物體的邊界點，同時必須保證

17、區(qū)域的連通性不被破壞，最后保留的點組成物體的中軸。這種方法多采用模板方式來實現(xiàn)。抽取的中軸可以保留物體的拓撲結構。（二） 中軸轉化法。即先對圖像進行距離變換，找出每個像素與最近邊界點的距離，將距離相對最大的點提取出來，作為中軸點。這種方法易于實現(xiàn)，效率高。但由此方法得到的中軸點離散分布可能不連通，會出現(xiàn)中軸斷裂的情況。圖六很清楚的說明了它們的區(qū)別圖六：上面兩個圖形的骨架是通過細化方法生成的，中間的點或線就是所謂的中軸或骨架。下面的兩個是通過中軸變換生成的。我們可以看出用中軸變換生成的骨架內(nèi)圓半徑有一個很大的近似連續(xù)變化的范圍，這就就為我們用提供更大的選擇空間。這在我們的模型中將用到。我們在算法

18、中用第二種方法，主要是針對我們的問題并不需要過多的保留拓撲結構，因為我們能用的球只有四種，按我們的模型，四種球可以在很小的范圍上變化。即使這樣，也不可能完全按曲率剛好匹配，所以我們需要在更大范圍上有所選擇?；谶@一點和效率的考慮，我們采用算法復雜度較小的帶符號的距離地圖算法（8SSED, Sequential Euclidean Distance mapping algorithms）6812來實現(xiàn)。治療方案設計以上算法生成的骨架相對應的最大內(nèi)球，和我們的靶點唯一的區(qū)別就是，最大內(nèi)球是可以任意疊加的，根據(jù)我們的模型，靶點只能在一定程度上重疊，因此我們要想出一種規(guī)則，來達到這個目的?；谏厦嫠惴?/p>

19、生成的骨架，我們提出以下規(guī)則來對病灶進行覆蓋（填充），以達到對病灶的最大覆蓋。定義：“角”和“分支點”： 如上頁圖七所示。分支的盡頭： 如果將骨架看成是一棵樹的話，那么根節(jié)點或葉子節(jié)點我們成為分支的盡頭。規(guī)則：（一）靶點的中心在生成的中軸（骨架）上。（二）靶點只允許在低劑量區(qū)域（<70%）重疊。（三）靶點從骨架的病灶的一個“角”開始填充，也就是從骨架的分支的盡頭開始。（四）已經(jīng)填充的區(qū)域不在下一次填充的考慮范圍。（五）一次將病灶所有的“角”都填充好，然后再計算剩余部分的中軸，。具體算法（參照示意圖:圖七）：第一步：通過“帶符號的距離地圖”求出圖形的骨架或稱中軸。第二步：按我們定的規(guī)則進行

20、填充，對于骨架的每一個分支的盡頭，沿這條分支尋找，在不通過分支點（包括分支點）的情況下，找到一個適合四種靶點之一且是相對最大靶點的位置并填充。如果沒有找到適合靶點的位置，則可以超過分支點，類似第二步進行填充，直到找到合適位置。第三步：當所有的分支的盡頭都已經(jīng)填充好后，重新計算剩余部分的中軸，即將剩余部分看成是一個新問題再調用我們的算法。注意： 這里所說的剩余部分是指在原來圖形中只除去已經(jīng)填充進去的靶點部分。 圖七_A （第一步） 圖七_B（第二步1） 圖七_C（第二步2） 圖六：我們算法的示意圖。括號寫出了對應算法的步數(shù)，這只是我們算法開始的兩次迭代。（圖胚來源5） 圖七_D（又第一步） 圖七

21、_E（又第二步）（三）治療計劃的評價我們最終得到的治療方案要達到一定的臨床和生物學上一些要求。 劑量的變化率我們用等劑量線的疏密來表示。 有效劑量的覆蓋面可以用70%等劑量曲面包圍的體積占病灶總體積的百分比來表 示 對周邊腦組織的影響我們的模型是選取一個最低相對劑量（比如20%），低于這個水平的劑量認為對腦組織沒有影響。然后可以通過數(shù)值積分的方法求出。 優(yōu)先考慮關鍵組織。 如果上面生成的治療方案有小的偏差，可以通過適當?shù)恼{整來實現(xiàn)，因為我們放置的時候就在不影響治療效果的前提下留有一定的調整程度。五 模型及算法評價我們的模型的優(yōu)點主要表現(xiàn)在以下幾個方面： 我們對劑量分布進行了深入的分析，考慮了各

22、個靶點之間的相互影響，及由于這種影響而造成的純粹用幾何匹配所帶來的一系列問題，并得到了一些結論。因此我們的模型在放置靶點的同時，也將靶點之間的影響問題同時考慮，制定了有效劑量曲面和用來覆蓋病灶的等劑量曲面的分別考慮。從而避免了計算量很大的迭代，能夠一步到位。 我們采用了在圖形存儲和壓縮方面常用的骨架抽取思想，能夠迅速抓住病灶的特征，為后面治療計劃的生成提供了有利的前提條件，雖然骨架抽取本身也是一個難題，但是在實際應用中已經(jīng)有了一些很好的近似算法（線性的）和實際應用，這將為我們的模型提供一個有力的后盾，也將有力控制我們模型的復雜度，同時使我們的模型有更大的可操作性。 根據(jù)我們在二維圖形上的嘗試，

23、我們的模型能夠得到理想的結果。我們的模型也存在一些不足和需要改進之處： 我們的模型將射線想象成完美的圓柱體，并且沒有考慮到射線的衰減及身體組織對其的影響。這和實際是有一定出入的，從而也會造成治療方案的偏差，但我們認為關于射線的形狀并不能影響到我們模型的實用價值。只要適當調整有效劑量曲線和用來覆蓋病灶的等劑量曲線就可以解決。 在實際中，靶點絕對劑量是可以通過射線的照射時間和堵住一些源來改變，這就對模型提出了更高的要求，并且可以更好的解決關鍵組織免遭破壞的更多方案,由于時間關系，我們沒能夠就這一點進一步研究。 根據(jù)我們的填充算法，抽取骨架的算法還可以更簡單，因為我們是從病灶的“角”開始填充的，因此

24、求出圖形所有的骨架是一種浪費，理想狀態(tài)時只要能確定靶點的位置和大小就可以了，這是我們將來要簡化的，將兩者集中在一個算法里也不是沒有可能的。 我們的遺憾之處就是我們發(fā)現(xiàn)骨架提取算法的時間較晚，并且其本身也相當復雜，對于三維圖形更是如此。我們的三個主要算法：(1)病灶的生成算法，（2）骨架的提取算法（8SSED）,(3)病灶的填充算法 由于時間的限制，我們順利的完成了第一個，其余我們只能完成部分，因此不能得到完整的結果，在寫論文的時間，我的同伴正在調試，爭取能夠讓程序正常運行，只要有充足的時間。參考文獻：1Clinical Implementation of an Automated Planni

25、ng System for Gamma Knife Radiosurgery. David M.Shepard etc.2 Treatment Planning for Image-Guided Robotic Radiosurgery，Rhea Tombropoulos, John Adler, and Jean-Claude Latombe，Computer Science Department，Neurosurgery Department，Stanford University3 王恩敏 周良輔 潘力 不同準直器對大病灶中心劑量和周圍腦組織受照容積影響的研究功能性和立體定向神經(jīng)外科雜志

26、 1996年第九卷第四期4A Study and Automatic Solution for Multishot Treatment Planning for the gamma-knife Q.jackie Wu, Ph.D. and J.Daniel Bourland,Ph.D. Journal of Radiosurgery,Vol.3，No.2,20005Computerized Treatment Planning for Stereotactic Radiosurgery D.M.Shepard , University of Maryland School of Medicine, M.C.Ferris ，University of Wisconsin-Madison6 Wu Q, Bourand JD, Robb RA: Fast 3d medial axis transformation to reduce computation and complexity in radiosurgery treatment planning. SPIE2710:562-571,19967 Efficient Computation of A Simplified Medial Axis Mark Foskey, Ming C.