第5講.找規(guī)律、程序運(yùn)算和定義新運(yùn)算.尖子班.教師版_第1頁
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文檔簡介

1、5找規(guī)律、程序運(yùn)算和定義新運(yùn)算,. b-2題型切片(六個(gè))對應(yīng)題目題 型 目 標(biāo)數(shù)列的規(guī)律例1;練習(xí)1數(shù)表的規(guī)律例2;練習(xí)2圖形的規(guī)律例3;練習(xí)3算式的規(guī)律例4;練習(xí)4程序運(yùn)算例5、例6:練習(xí)5定義新運(yùn)算例7;練習(xí)6C思路導(dǎo)航J)找規(guī)律解題思維過程:從簡單、局部或特殊情況入手,經(jīng)過提煉、歸納和猜想,探索規(guī)律,獲得結(jié)論 有時(shí)候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件一般有下列幾個(gè)類型:一列數(shù)的規(guī)律:把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號n之間的關(guān)系一列等式的規(guī)律:用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律,注意此代數(shù)式與序號n之間的關(guān)系圖形(圖表)規(guī)律:觀察前幾個(gè)圖形,確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號 間

2、的關(guān)系圖形變換的規(guī)律:找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn),然后用圖形變換總次數(shù)除以一個(gè)循環(huán) 變換周期,進(jìn)而觀察商和余數(shù) .數(shù)形結(jié)合的規(guī)律:觀察前n項(xiàng)(一般前3項(xiàng))及利用題中的已知條件,歸納猜想一般性結(jié)論.常見的數(shù)列規(guī)律:1, 3, 5, 7, 9,2n 1 ( n為正整數(shù)).2, 4, 6, 8, 10,,2n ( n為正整數(shù)). 2, 4, 8, 16, 32,,2n ( n 為正整數(shù)). 2, 5, 10, 17, 26,,n 1 ( n 為正整數(shù)).0,3,8,15,24,,n21( n 為正整數(shù)). 2,6,12,20,, n(n 1) ( n 為正整數(shù)). X , X , X , X ,

3、X , X ,,(1)nx ( n 為正整數(shù)).n 1 X , X , X , X , X , X ,,(1) X ( n 為正整數(shù)).特殊數(shù)列: 斐波那契數(shù)列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,從第三個(gè)數(shù)開始每一個(gè)數(shù)等于與它相 鄰的前兩個(gè)數(shù)的和三角形數(shù):1,3,6,10,15,21,,n(n I)2數(shù)列的規(guī)律【例1】 觀察下列一組數(shù):1, 3, 5, 7,,它們是按一定規(guī)律排列的那么這一組數(shù)2468的第k個(gè)數(shù)是 ( k為正整數(shù))瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù)9 , 16 , 25 , 36 ,中得到巴爾末公式,從5122132而打開了光譜奧妙的大門.請你按這種規(guī)律寫出第八個(gè)數(shù)據(jù)是

4、找規(guī)律,并按規(guī)律填上第五個(gè)數(shù):916 ,第n個(gè)數(shù)為:有一列數(shù) 12(n為正整數(shù)).(n為正整數(shù))3104 ,,那么第7個(gè)數(shù)是第n個(gè)數(shù)為17(5) 組按規(guī)律排列的式子:b2b5a11L (4a是,第n個(gè)式子是【解析】2丄;(2) 100 2k963n 1(1)nJ a1132, (I)b8,-3 ,a(n為正整數(shù))n 2n 1 /*、7H :2n50ab0),其中第7個(gè)式子b20;(5)b7 ,a數(shù)表的規(guī)律稱為萊布尼4,3表示分【例2】 將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù),得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形,茨三角形,若用有序數(shù)對m, n表示第m行,從左到右第 n個(gè)數(shù),如1數(shù)一那么9,2表示的分?jǐn)?shù)是 .

5、122初一數(shù)學(xué)能力提咼培優(yōu)111136311114121241111152030205LLL LLL正整數(shù)按圖的規(guī)律排列請寫出第第一列 第二列20行第21列的數(shù)字:第三列 第四列 第五列第一行151017l11l12liwl第四行16 15 14 -13第五行25-242322 21按一定的規(guī)律排列成的數(shù)表如圖所示 當(dāng)“X型框中間數(shù)字為15時(shí),框中五個(gè)數(shù)的和為 .當(dāng)“X型框中間數(shù)字為-57時(shí),框中五個(gè)數(shù)的和為 . 如果設(shè)“X型框中間的數(shù)為a,請用含a的代數(shù)式表示“X型框中五個(gè)數(shù)的和; 若將“X型框上下左右移動, 所框住的五個(gè)數(shù)之和能等于 285嗎?若能,請求出這 五個(gè)數(shù);若不能,請說明理由丈7

6、-911-13O19-212331-3335-3739-41'<4×今-4951-535<>-6163-65 «&×7>【解析】丄72420 ;觀察可得規(guī)律:第一行第二列的數(shù):21 2 ;第二行第三列的數(shù):62 3;第三行第四列的數(shù):123 4 ;第n行第n 1列的數(shù):n(n 1)故可得第20行第21列的數(shù)為:20 21420.(3)-45,171-3a不能,中間數(shù)字應(yīng)該為95,但是95卻在最后一列【例3】 下圖是一組有規(guī)律的圖案,第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成,第 2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成,第3個(gè)圖案由 個(gè)基礎(chǔ)圖形組成,

7、,第n ( n是正整數(shù))個(gè)圖案由 個(gè)基礎(chǔ)圖形組成.n個(gè)圖形觀察下列圖形:會* * # * * * * «- * * * * * * * * * *它們是按照一定規(guī)律排列的,依照此規(guī)律,第9個(gè)圖形中共有個(gè),第有個(gè) . 圖1是一個(gè)三角形,分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖2 ,再分別連接圖2中間小三角形三邊的中點(diǎn),得到圖 3.3有個(gè)三角形;n個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形?4 圖2有個(gè)三角形;圖 按上面的方法繼續(xù)下去,第如圖所示,把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上,按照這樣的規(guī)律擺下去, 則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是 初一數(shù)學(xué)能力提高培優(yōu)第1個(gè)圖形 第2個(gè)圖形 第3個(gè)圖形 第4個(gè)圖形【

8、解析】10, 3n 1 ;5 , 9 4n 3 ;28,3n+1 ; n(n 2)或 n2 2n 或(n 1)2 1 ;算式的規(guī)律【例4】此規(guī)律第一 2 6 12 20觀察下列等式: a 3 :a 5 :a7 :a aaaa第n個(gè)等式為29;則根據(jù)【解析】6個(gè)等式為4213n na13 ; a2naa思路導(dǎo)航一般的以計(jì)算機(jī)程序?yàn)楸尘暗男滦颓笾殿},解這類題的關(guān)鍵是弄清計(jì)算機(jī)程序與數(shù)學(xué)表達(dá)式之間的關(guān)系.程序運(yùn)算【例5】 如下圖,輸入X32 ,則輸出值y是 如下圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算,若開始輸入X 1 ,則最后輸出的結(jié)果 是 如圖所示的運(yùn)算程序中,若開始輸入的X值為48 ,我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為

9、24 ,第2次輸出的結(jié)果為12 ,,第2013次輸出的結(jié)果為 5按下面的程序計(jì)算,若開始輸入的值X為正整數(shù),最后輸出的結(jié)果為853 ,試求出滿足條件的X的所有值.【解析】5 ;此程序?yàn)檫x擇式,因 X91,故yx4 9 45. 9 ;經(jīng)過第一次程序運(yùn)算得2 ,因?yàn)?5,需要返回循環(huán);經(jīng)第二次運(yùn)算得 9,因?yàn)? 5,此程序結(jié)束,故輸出結(jié)果為9.6.(提示:利用循環(huán),多進(jìn)行幾次運(yùn)算.) 由題意: 853 1 4 213>0 , 213 1 4 53>0 ,153 1413>013 143>03 14- >02只有213 , 53 , 13 , 3符合題意.(也可用方程思

10、想理解: X為正整數(shù), 4x 1 5.當(dāng) 4x 1853時(shí),X 213.當(dāng) 4x 1213 時(shí),X 53.當(dāng) 4x 153時(shí),X 13.當(dāng) 4x 113時(shí),X 3.綜上所述,X 213或X 53或X 13或X 3).【例6】閱讀右面的框圖并回答下列問題:(1)若 A 為 785 ,貝U E=(2)按框圖流程,取不同的三位數(shù) A ,所得E的值都相同嗎?如果相同,請說明理由;如果不 同,請求出E的所有可能的值;(3)將框圖中的第一步變?yōu)?任意寫一個(gè)個(gè)位數(shù)字不為 O的三位數(shù)A ,它的百位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字所得的差大于 2”,其余的步驟不變,請猜想 E的值是否為定值?A- B-C并對你猜想的結(jié)論加以證明

11、.【解析】E=1089 ;陽到親DE的值都相同.理由如下:設(shè) A=Iooa+10b+c且 a c=2,貝U B=IooC+10b+ a. C=A B=(100a+10b+c) (100c+10b+ a)=99a 99c=99(a c)=99 ×2=198. D=891 . E=C+D=198+891=1089 . E=1089.證法 1:設(shè) A=100a+10b+c且 a c>2 ,貝U B=100c+10b+ a. C=A B=(100a+10b+c) (100c+10b+ a)=100(a c)+(c a)=100(a c 1)+10 X9+(10+ c a) D=100(

12、10+c a) +10 ×+ (a c 1). E=C+D=100(a c 1)+10 ×9+(10+ c a)+ 100(10+ c a) +10 ×+ (a c 1)=1089 .定義新運(yùn)算基本思路:嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則,把已知的數(shù)代入,轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算,然后 按照基本運(yùn)算過程、運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算注意事項(xiàng):新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算律,特別注意運(yùn)算順序每個(gè)新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用 定義新運(yùn)算【例7】現(xiàn)定義兩種新運(yùn)算 、,對于任意兩個(gè)整數(shù) a、b ,都有:a b a b 1, a b ab 1.試求:(3 4) (2 1)的值.用“ × ”定義

13、新運(yùn)算:對于任意a ,b ,都有a l× b2 ab .例如,4 × 74279 ,那么5 × 3=:當(dāng)m為有理數(shù)時(shí),m × ( 1 × 2)=. 對于正整數(shù)a , b , C , d ,規(guī)定a bad bc ,若 11 b3 ,則 b dC dd 4 定義:a是不為1的有理數(shù),我們把稱為a的差倒數(shù).如:2的差倒數(shù)是1 a1 ,1的差倒數(shù)是11 已知a1-1 2 1 1 2 3 a2是a1的差倒數(shù),貝U a2; a3是a2的差倒數(shù),貝U a37 a4是a3的差倒數(shù),貝U a4 ,,依此類推,貝U a2009 【解析】6; 22, m21 ;由題

14、意得4 bd 2 ,故bd 2 ,又b, d為正整數(shù),所以b d 3 . 3 ;4;-;2434【點(diǎn)評】一個(gè)值得注意的問題是:定義一個(gè)新運(yùn)算,這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的 運(yùn)算律,因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前,不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來解題.【選講題】【例8】(1)右圖為手的示意圖,在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A , B , C , D .請你按圖中箭頭所指方向(即A B C D C B A BC 的方式)從 A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù) 1, 2 , 3, 4 ,,當(dāng)數(shù)到12時(shí),對應(yīng)的字母是 ;當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí),恰好數(shù)到的數(shù)是;當(dāng)字母C第2n 1次出現(xiàn)時(shí)(n為正整數(shù)),恰好數(shù)到的數(shù)是

15、 (用含n的代數(shù)式表示)【解析】B, 603, 6n 3 .(2)數(shù)a1,a2,a3, a4,L滿足下列條件:印 0 ,a2a11 ,a3a22 ,a4a33 , L貝U a2013 的值為 .【解析】1006(3)如圖,將一張正方形紙片,剪成四個(gè)大小形狀一樣的小正方形,然后將其中的一個(gè)小正方形再按同樣的方法剪成四個(gè)小正方形,再將其中的一個(gè)小正方形剪成四個(gè)小正方形,如此循環(huán)進(jìn)行剪的次數(shù)12345正方形個(gè)數(shù)47填表:下去:如果剪了 100次,共剪出多少個(gè)小正方形? 如果剪n次,共剪出多少個(gè)小正方形?【解析】如表.剪的次數(shù)12345正方形個(gè)數(shù)47101316 如果剪了 100次,共剪出1 100

16、3 301個(gè)小正方形;如果剪n次,共剪出1 3n個(gè)小正方形訓(xùn)練1.【解析】思維拓展訓(xùn)練(選講)在數(shù)列 1, 1, 2, 1,2, 322333,中,第100個(gè)數(shù)是9-將上述各組數(shù)分成如下幾組:14的個(gè)數(shù)依次12 L n 1即巴J 1002100n(n21 22,2第100個(gè)數(shù)位141314 .又前13組數(shù)的個(gè)數(shù)為2可發(fā)現(xiàn)每一組中數(shù)n組,則91個(gè),第100個(gè)數(shù)位于第14組的第9個(gè),第14組的數(shù)分母均為14,故第100個(gè)數(shù)為.14訓(xùn)練2.觀察下表,依據(jù)表格數(shù)據(jù)排列的規(guī)律,數(shù)2008在表格中出現(xiàn)的次數(shù)共有 次.1234246836912481216【解析】 提示:2008有8個(gè)約數(shù),所以出現(xiàn) 8次.

17、訓(xùn)練3. 定義一種對于三位數(shù) abc (a、b、C不完全相同)的"F運(yùn)算”:重排abc的三個(gè)數(shù)位 上的數(shù)字,計(jì)算所得最大三位數(shù)和最小三位數(shù)的差(允許百位數(shù)字為零)例如ObC 213時(shí),貝U213 F 19(321 123 198) F (981189792).579經(jīng)過三次“ F運(yùn)算”得; 假設(shè)abc中a>b>c,則abc經(jīng)過一次“ F運(yùn)算”得 (用代數(shù)式表示).【解析】495;99 a c .訓(xùn)練4.在有理數(shù)的范圍內(nèi),我們定義三個(gè)數(shù)之間的新運(yùn)算“* ”法則:9a*b*c 2 a b c a b C .如:1*2*31| 1 23|12 35 .2計(jì)算:3*2*3 ;計(jì)算

18、:1*2*1°3在65432 10 , 1,234567 , 8這77777799999999卜五個(gè)數(shù)中,任取三個(gè)數(shù)作為a、b、C的值,進(jìn)行“ a*b*c”運(yùn)算,求所有運(yùn)算結(jié)果的最大初一數(shù)學(xué)能力提高培優(yōu)值; 若將這十五個(gè)數(shù)任意分成五組,每組三個(gè)數(shù),進(jìn)行“ a*b*c ”運(yùn)算,得到五個(gè)結(jié)果.由于分組不同,所以五個(gè)運(yùn)算結(jié)果不盡相同.那么五個(gè)結(jié)果和的最大值為.【解析】3 ;4353a* b* c-ab c abC,由定義可知,2丨I當(dāng)a bC時(shí),a * b* c1ab Ca b camax a*cb* c82I9當(dāng)a bC時(shí),a * b* c-1ab Ca b cbC, maxa* b*C

19、87 52I99 34.提示:分15組構(gòu)造,7 825 63344 120, 2679 979 97997 9977則五個(gè)結(jié)果和的最大值為876 54 3210 4.9999999910數(shù)列的規(guī)律【練習(xí)1】觀察一列有規(guī)律的數(shù):4 ,A 2007L 小2007A . 2B. 216 , 32 ,,它的第2007個(gè)數(shù)是(2008c 20062 觀察下列單項(xiàng)式,2x , 5x2, 10x3 , 17x4,根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第5個(gè)式子是 ,第8個(gè)式子是 ,第n個(gè)式子是 . ( n為正整數(shù))【解析】 C. 26x5 , 65x8 , ( 1)n1(n2 1)n.數(shù)表的規(guī)律【練習(xí)2】 下面是由自然數(shù)排成

20、的數(shù)表,分為A , B, C三列,按這個(gè)規(guī)律,1999在第列。12 11 1013【解析】A圖形的規(guī)律第1次把它分成4個(gè)小正方形,第 2次將上一次分成小正方形其中的一個(gè)又等分成 4 個(gè)小正方形,第3次將上次分成小正方形的其中一個(gè)又等分成 4個(gè)小正方形 依此操 作下去 請通過觀察和猜想, 將第3次,第4次和第n次劃分圖中得到的正方形總個(gè)數(shù)(m )填入下表:11次數(shù)(n )1234n正方形總個(gè)數(shù)(m)59請你判斷,按上述操作方法,能否得到103個(gè)正方形?為什么?【解析】 當(dāng)n=3時(shí),m=13 ; n=4時(shí),m=17一般地 m=4n+1 ; 由m=4n+1得103=4n+1 n=25.5,因n不是整

21、數(shù),故按此要求操作不可能得到103個(gè).算式的規(guī)律【練習(xí)4】 觀察圖形(每個(gè)正方形的邊長均為1)和相應(yīng)的等式,探究其中的規(guī)律:K鄉(xiāng)2N -尸尸尸(1)寫出第五個(gè)等式,并在右邊給出的五個(gè)正方形上畫出與之對應(yīng)的圖示;(2)猜想并寫出與第n個(gè)圖形相對應(yīng)的等式.【解析】(I) 5I程序運(yùn)算【練習(xí)5】根據(jù)右圖中的程序,當(dāng)輸入X2時(shí),輸出結(jié)果y輸入有理數(shù)X負(fù)數(shù)正數(shù)+(- 2)2×- 4)7輸岀有理數(shù)yX值為正數(shù),最后輸出的結(jié)則滿足條件的不同的值分別是: .計(jì)算5x+1的值輸入X【解析】15;656 15 131>0 ,131 1526>0 ,26 155>0 ,545>0 ,512按下面的程序計(jì)算,若開始輸入的果為656,4 1415<0, 只有-,5 , 26, 131 符合題意.5 255定義新運(yùn)算【練習(xí)6】 定義運(yùn)算為a探b a b (a b) 求5探7,7探5 . 求12 八 3探4),( 12探3 )探4 . 這個(gè)運(yùn)算“”有交換律、結(jié)合律嗎? 如果3探(5探

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