第5講.找規(guī)律、程序運(yùn)算和定義新運(yùn)算.尖子班.教師版

1、5找規(guī)律、程序運(yùn)算和定義新運(yùn)算,. b-2題型切片（六個(gè)）對應(yīng)題目題 型 目 標(biāo)數(shù)列的規(guī)律例1;練習(xí)1數(shù)表的規(guī)律例2;練習(xí)2圖形的規(guī)律例3;練習(xí)3算式的規(guī)律例4;練習(xí)4程序運(yùn)算例5、例6:練習(xí)5定義新運(yùn)算例7;練習(xí)6C思路導(dǎo)航J）找規(guī)律解題思維過程：從簡單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲得結(jié)論 有時(shí)候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件一般有下列幾個(gè)類型：一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號n之間的關(guān)系一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號n之間的關(guān)系圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號 間

2、的關(guān)系圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個(gè)循環(huán) 變換周期，進(jìn)而觀察商和余數(shù) .數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前n項(xiàng)（一般前3項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.常見的數(shù)列規(guī)律：1, 3, 5, 7, 9,2n 1 （ n為正整數(shù)）.2, 4, 6, 8, 10,，2n （ n為正整數(shù)）. 2, 4, 8, 16, 32,，2n （ n 為正整數(shù)）. 2, 5, 10, 17, 26,，n 1 （ n 為正整數(shù)）.0,3,8,15,24,，n21（ n 為正整數(shù)）. 2,6,12,20,， n（n 1） （ n 為正整數(shù)）. X , X , X , X ,

3、X , X ,，（1）nx （ n 為正整數(shù)）.n 1 X , X , X , X , X , X ,，（1） X （ n 為正整數(shù)）.特殊數(shù)列： 斐波那契數(shù)列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,從第三個(gè)數(shù)開始每一個(gè)數(shù)等于與它相 鄰的前兩個(gè)數(shù)的和三角形數(shù)：1,3,6,10,15,21,，n(n I)2數(shù)列的規(guī)律【例1】 觀察下列一組數(shù):1, 3, 5, 7,，它們是按一定規(guī)律排列的那么這一組數(shù)2468的第k個(gè)數(shù)是 ( k為正整數(shù))瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù)9 , 16 , 25 , 36 ,中得到巴爾末公式，從5122132而打開了光譜奧妙的大門.請你按這種規(guī)律寫出第八個(gè)數(shù)據(jù)是

4、找規(guī)律，并按規(guī)律填上第五個(gè)數(shù):916 ,第n個(gè)數(shù)為:有一列數(shù) 12(n為正整數(shù)).(n為正整數(shù))3104 ,，那么第7個(gè)數(shù)是第n個(gè)數(shù)為17(5) 組按規(guī)律排列的式子:b2b5a11L (4a是,第n個(gè)式子是【解析】2丄；(2) 100 2k963n 1(1)nJ a1132, (I)b8,-3 ,a(n為正整數(shù))n 2n 1 /*、7H :2n50ab0),其中第7個(gè)式子b20；(5)b7 ,a數(shù)表的規(guī)律稱為萊布尼4,3表示分【例2】 將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形,茨三角形，若用有序數(shù)對m, n表示第m行，從左到右第 n個(gè)數(shù)，如1數(shù)一那么9,2表示的分?jǐn)?shù)是 .

5、122初一數(shù)學(xué)能力提咼培優(yōu)111136311114121241111152030205LLL LLL正整數(shù)按圖的規(guī)律排列請寫出第第一列 第二列20行第21列的數(shù)字：第三列 第四列 第五列第一行151017l11l12liwl第四行16 15 14 -13第五行25-242322 21按一定的規(guī)律排列成的數(shù)表如圖所示 當(dāng)“X型框中間數(shù)字為15時(shí)，框中五個(gè)數(shù)的和為 .當(dāng)“X型框中間數(shù)字為-57時(shí)，框中五個(gè)數(shù)的和為 . 如果設(shè)“X型框中間的數(shù)為a,請用含a的代數(shù)式表示“X型框中五個(gè)數(shù)的和； 若將“X型框上下左右移動， 所框住的五個(gè)數(shù)之和能等于 285嗎？若能，請求出這 五個(gè)數(shù)；若不能，請說明理由丈7

6、-911-13O19-212331-3335-3739-41'<4×今-4951-535<>-6163-65 «&×7>【解析】丄72420 ;觀察可得規(guī)律：第一行第二列的數(shù)：21 2 ；第二行第三列的數(shù)：62 3;第三行第四列的數(shù)：123 4 ;第n行第n 1列的數(shù)：n(n 1)故可得第20行第21列的數(shù)為：20 21420.(3)-45，171-3a不能，中間數(shù)字應(yīng)該為95,但是95卻在最后一列【例3】 下圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第 2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第3個(gè)圖案由 個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，

7、，第n ( n是正整數(shù))個(gè)圖案由 個(gè)基礎(chǔ)圖形組成.n個(gè)圖形觀察下列圖形:會* * # * * * * «- * * * * * * * * * *它們是按照一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第9個(gè)圖形中共有個(gè),第有個(gè) . 圖1是一個(gè)三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖2 ,再分別連接圖2中間小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖 3.3有個(gè)三角形；n個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形?4 圖2有個(gè)三角形；圖 按上面的方法繼續(xù)下去，第如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去， 則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是 初一數(shù)學(xué)能力提高培優(yōu)第1個(gè)圖形 第2個(gè)圖形 第3個(gè)圖形 第4個(gè)圖形【

8、解析】10, 3n 1 ;5 , 9 4n 3 ；28,3n+1 ; n(n 2)或 n2 2n 或(n 1)2 1 ；算式的規(guī)律【例4】此規(guī)律第一 2 6 12 20觀察下列等式： a 3 :a 5 :a7 :a aaaa第n個(gè)等式為29；則根據(jù)【解析】6個(gè)等式為4213n na13 ； a2naa思路導(dǎo)航一般的以計(jì)算機(jī)程序?yàn)楸尘暗男滦颓笾殿}，解這類題的關(guān)鍵是弄清計(jì)算機(jī)程序與數(shù)學(xué)表達(dá)式之間的關(guān)系.程序運(yùn)算【例5】 如下圖，輸入X32 ,則輸出值y是 如下圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入X 1 ,則最后輸出的結(jié)果 是 如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入的X值為48 ,我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為

9、24 ,第2次輸出的結(jié)果為12 ,，第2013次輸出的結(jié)果為 5按下面的程序計(jì)算，若開始輸入的值X為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為853 ,試求出滿足條件的X的所有值.【解析】5 ;此程序?yàn)檫x擇式，因 X91，故yx4 9 45. 9 ；經(jīng)過第一次程序運(yùn)算得2 ,因?yàn)?5，需要返回循環(huán)；經(jīng)第二次運(yùn)算得 9，因?yàn)? 5，此程序結(jié)束，故輸出結(jié)果為9.6.(提示：利用循環(huán)，多進(jìn)行幾次運(yùn)算.) 由題意： 853 1 4 213>0 , 213 1 4 53>0 ,153 1413>013 143>03 14- >02只有213 , 53 , 13 , 3符合題意.(也可用方程思

10、想理解： X為正整數(shù)， 4x 1 5.當(dāng) 4x 1853時(shí)，X 213.當(dāng) 4x 1213 時(shí)，X 53.當(dāng) 4x 153時(shí)，X 13.當(dāng) 4x 113時(shí)，X 3.綜上所述，X 213或X 53或X 13或X 3).【例6】閱讀右面的框圖并回答下列問題：(1)若 A 為 785 ,貝U E=(2)按框圖流程，取不同的三位數(shù) A ,所得E的值都相同嗎？如果相同，請說明理由；如果不 同，請求出E的所有可能的值；(3)將框圖中的第一步變?yōu)?任意寫一個(gè)個(gè)位數(shù)字不為 O的三位數(shù)A ,它的百位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字所得的差大于 2”，其余的步驟不變，請猜想 E的值是否為定值？A- B-C并對你猜想的結(jié)論加以證明

11、.【解析】E=1089 ；陽到親DE的值都相同.理由如下：設(shè) A=Iooa+10b+c且 a c=2,貝U B=IooC+10b+ a. C=A B=(100a+10b+c) (100c+10b+ a)=99a 99c=99(a c)=99 ×2=198. D=891 . E=C+D=198+891=1089 . E=1089.證法 1：設(shè) A=100a+10b+c且 a c>2 ,貝U B=100c+10b+ a. C=A B=(100a+10b+c) (100c+10b+ a)=100(a c)+(c a)=100(a c 1)+10 X9+(10+ c a) D=100(

12、10+c a) +10 ×+ (a c 1). E=C+D=100(a c 1)+10 ×9+(10+ c a)+ 100(10+ c a) +10 ×+ (a c 1)=1089 .定義新運(yùn)算基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后 按照基本運(yùn)算過程、運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算律，特別注意運(yùn)算順序每個(gè)新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用 定義新運(yùn)算【例7】現(xiàn)定義兩種新運(yùn)算 、，對于任意兩個(gè)整數(shù) a、b ,都有：a b a b 1, a b ab 1.試求：(3 4) (2 1)的值.用“ × ”定義

13、新運(yùn)算：對于任意a ,b ,都有a l× b2 ab .例如，4 × 74279 ,那么5 × 3=:當(dāng)m為有理數(shù)時(shí)，m × ( 1 × 2)=. 對于正整數(shù)a , b , C , d ,規(guī)定a bad bc ,若 11 b3 ,則 b dC dd 4 定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù).如：2的差倒數(shù)是1 a1 ,1的差倒數(shù)是11 已知a1-1 2 1 1 2 3 a2是a1的差倒數(shù)，貝U a2; a3是a2的差倒數(shù)，貝U a37 a4是a3的差倒數(shù)，貝U a4 ,，依此類推，貝U a2009 【解析】6; 22, m21 ;由題

14、意得4 bd 2 ,故bd 2 ,又b, d為正整數(shù)，所以b d 3 . 3 ；4;-；2434【點(diǎn)評】一個(gè)值得注意的問題是：定義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的 運(yùn)算律，因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來解題.【選講題】【例8】（1）右圖為手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A , B , C , D .請你按圖中箭頭所指方向（即A B C D C B A BC 的方式）從 A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù) 1, 2 , 3, 4 ,，當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對應(yīng)的字母是 ;當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是;當(dāng)字母C第2n 1次出現(xiàn)時(shí)（n為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是

15、 （用含n的代數(shù)式表示）【解析】B, 603, 6n 3 .(2)數(shù)a1,a2,a3, a4,L滿足下列條件：印 0 ,a2a11 ,a3a22 ,a4a33 , L貝U a2013 的值為 .【解析】1006（3）如圖，將一張正方形紙片，剪成四個(gè)大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一個(gè)小正方形再按同樣的方法剪成四個(gè)小正方形，再將其中的一個(gè)小正方形剪成四個(gè)小正方形，如此循環(huán)進(jìn)行剪的次數(shù)12345正方形個(gè)數(shù)47填表:下去：如果剪了 100次，共剪出多少個(gè)小正方形? 如果剪n次，共剪出多少個(gè)小正方形？【解析】如表.剪的次數(shù)12345正方形個(gè)數(shù)47101316 如果剪了 100次，共剪出1 100

16、3 301個(gè)小正方形;如果剪n次，共剪出1 3n個(gè)小正方形訓(xùn)練1.【解析】思維拓展訓(xùn)練（選講）在數(shù)列 1, 1, 2, 1,2, 322333，中，第100個(gè)數(shù)是9-將上述各組數(shù)分成如下幾組:14的個(gè)數(shù)依次12 L n 1即巴J 1002100n(n21 22,2第100個(gè)數(shù)位141314 .又前13組數(shù)的個(gè)數(shù)為2可發(fā)現(xiàn)每一組中數(shù)n組，則91個(gè)，第100個(gè)數(shù)位于第14組的第9個(gè)，第14組的數(shù)分母均為14，故第100個(gè)數(shù)為.14訓(xùn)練2.觀察下表，依據(jù)表格數(shù)據(jù)排列的規(guī)律，數(shù)2008在表格中出現(xiàn)的次數(shù)共有 次.1234246836912481216【解析】 提示：2008有8個(gè)約數(shù)，所以出現(xiàn) 8次.

17、訓(xùn)練3. 定義一種對于三位數(shù) abc （a、b、C不完全相同）的"F運(yùn)算”：重排abc的三個(gè)數(shù)位 上的數(shù)字，計(jì)算所得最大三位數(shù)和最小三位數(shù)的差（允許百位數(shù)字為零）例如ObC 213時(shí)，貝U213 F 19（321 123 198） F （981189792）.579經(jīng)過三次“ F運(yùn)算”得; 假設(shè)abc中a>b>c,則abc經(jīng)過一次“ F運(yùn)算”得 （用代數(shù)式表示）.【解析】495;99 a c .訓(xùn)練4.在有理數(shù)的范圍內(nèi)，我們定義三個(gè)數(shù)之間的新運(yùn)算“* ”法則:9a*b*c 2 a b c a b C .如:1*2*31| 1 23|12 35 .2計(jì)算:3*2*3 ；計(jì)算

18、:1*2*1°3在65432 10 , 1，234567 , 8這77777799999999卜五個(gè)數(shù)中,任取三個(gè)數(shù)作為a、b、C的值，進(jìn)行“ a*b*c”運(yùn)算，求所有運(yùn)算結(jié)果的最大初一數(shù)學(xué)能力提高培優(yōu)值； 若將這十五個(gè)數(shù)任意分成五組，每組三個(gè)數(shù)，進(jìn)行“ a*b*c ”運(yùn)算，得到五個(gè)結(jié)果.由于分組不同，所以五個(gè)運(yùn)算結(jié)果不盡相同.那么五個(gè)結(jié)果和的最大值為.【解析】3 ;4353a* b* c-ab c abC,由定義可知，2丨I當(dāng)a bC時(shí)，a * b* c1ab Ca b camax a*cb* c82I9當(dāng)a bC時(shí)，a * b* c-1ab Ca b cbC, maxa* b*C

19、87 52I99 34.提示：分15組構(gòu)造,7 825 63344 120, 2679 979 97997 9977則五個(gè)結(jié)果和的最大值為876 54 3210 4.9999999910數(shù)列的規(guī)律【練習(xí)1】觀察一列有規(guī)律的數(shù)：4 ,A 2007L 小2007A . 2B. 216 , 32 ,，它的第2007個(gè)數(shù)是（2008c 20062 觀察下列單項(xiàng)式，2x , 5x2, 10x3 , 17x4,根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第5個(gè)式子是 ,第8個(gè)式子是 ,第n個(gè)式子是 . （ n為正整數(shù)）【解析】 C. 26x5 , 65x8 , （ 1）n1（n2 1）n.數(shù)表的規(guī)律【練習(xí)2】 下面是由自然數(shù)排成

20、的數(shù)表，分為A , B, C三列，按這個(gè)規(guī)律，1999在第列。12 11 1013【解析】A圖形的規(guī)律第1次把它分成4個(gè)小正方形，第 2次將上一次分成小正方形其中的一個(gè)又等分成 4 個(gè)小正方形，第3次將上次分成小正方形的其中一個(gè)又等分成 4個(gè)小正方形 依此操 作下去 請通過觀察和猜想， 將第3次，第4次和第n次劃分圖中得到的正方形總個(gè)數(shù)（m ）填入下表：11次數(shù)（n ）1234n正方形總個(gè)數(shù)（m）59請你判斷，按上述操作方法，能否得到103個(gè)正方形？為什么？【解析】 當(dāng)n=3時(shí)，m=13 ； n=4時(shí)，m=17一般地 m=4n+1 ; 由m=4n+1得103=4n+1 n=25.5，因n不是整

21、數(shù)，故按此要求操作不可能得到103個(gè).算式的規(guī)律【練習(xí)4】 觀察圖形(每個(gè)正方形的邊長均為1)和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：K鄉(xiāng)2N -尸尸尸(1)寫出第五個(gè)等式，并在右邊給出的五個(gè)正方形上畫出與之對應(yīng)的圖示;(2)猜想并寫出與第n個(gè)圖形相對應(yīng)的等式.【解析】(I) 5I程序運(yùn)算【練習(xí)5】根據(jù)右圖中的程序,當(dāng)輸入X2時(shí)，輸出結(jié)果y輸入有理數(shù)X負(fù)數(shù)正數(shù)+(- 2)2×- 4)7輸岀有理數(shù)yX值為正數(shù)，最后輸出的結(jié)則滿足條件的不同的值分別是： .計(jì)算5x+1的值輸入X【解析】15;656 15 131>0 ,131 1526>0 ,26 155>0 ,545>0 ,512按下面的程序計(jì)算，若開始輸入的果為656,4 1415<0, 只有-,5 , 26, 131 符合題意.5 255定義新運(yùn)算【練習(xí)6】 定義運(yùn)算為a探b a b （a b） 求5探7，7探5 . 求12 八 3探4）,（ 12探3 ）探4 . 這個(gè)運(yùn)算“”有交換律、結(jié)合律嗎？ 如果3探（5探