誤差分類及特性

1、誤差分類及特性(一) 誤差分類根據(jù)觀測(cè)誤差性質(zhì)，可將其分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類。（1）系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量作一系列觀測(cè)，如果誤差的出現(xiàn)在符號(hào)和大小相同或按一定規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差對(duì)成果的影響具有規(guī)律性，可采取一定措施或采用改正公式消除或削弱其對(duì)觀測(cè)成果的影響。主要方法有：在觀測(cè)方法和程序上采取必要措施削弱其影響，如角度測(cè)量中，經(jīng)緯儀盤左盤右觀測(cè)，消除視準(zhǔn)差、橫軸誤差和豎盤指標(biāo)差等系統(tǒng)誤差影響；水準(zhǔn)測(cè)量中的前后視距相等，消除視準(zhǔn)軸和水準(zhǔn)管軸不平行引起的角誤差、地球曲率和大氣折光對(duì)觀測(cè)高差影響;找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因，利用公式對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行改正，如對(duì)鋼尺量丈量距離

2、，應(yīng)加尺長(zhǎng)改正、溫度改正、地球曲率改正，以消除該三項(xiàng)系統(tǒng)誤差影響等。（2）偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量作一系列觀測(cè)，如果誤差的出現(xiàn)在符號(hào)和大小均不一致，即從表面上看，沒(méi)有什么規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差，偶然誤差又稱為隨機(jī)誤差。偶然誤差是由于人的感覺(jué)器官和儀器的性能受到一定的限制，以及觀測(cè)時(shí)受到外界條件中氣溫、濕度、風(fēng)力、明亮度、大氣等的影響產(chǎn)生的。例如用刻至1mm的鋼尺，只能估讀到十分之一毫米，讀數(shù)時(shí)可能偏大，也可能偏小，從而產(chǎn)生讀數(shù)誤差，其對(duì)成果的影響符號(hào)和大小不具有預(yù)見(jiàn)性，對(duì)觀測(cè)結(jié)果影響呈現(xiàn)出偶然。測(cè)量工作過(guò)程中，除了上述兩種誤差外，還可能發(fā)生錯(cuò)誤，即粗差，粗差不是觀測(cè)誤差。粗差大

3、多是由于是作業(yè)員疏忽大意造成的，如大數(shù)被讀錯(cuò)、記錯(cuò)等。為有效的發(fā)現(xiàn)粗差，采取必要的重復(fù)觀測(cè)、多余觀測(cè)、嚴(yán)格的檢驗(yàn)、驗(yàn)算等措施，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)存在粗差，必須舍棄或進(jìn)行重測(cè)，及時(shí)更正。(二)偶然誤差特性偶然誤差，從單個(gè)誤差看，其大小和符號(hào)沒(méi)有規(guī)律性，即呈現(xiàn)出一種偶然性（隨機(jī)性），但隨著觀測(cè)個(gè)數(shù)的增多，則呈現(xiàn)出一定的明顯的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。下面通過(guò)事例來(lái)說(shuō)明。在某測(cè)區(qū)，在相同的條件下，獨(dú)立地觀測(cè)358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，由于觀測(cè)值含有誤差，各三內(nèi)角觀測(cè)值之和不等于其真值180°。由（41）式知三角形內(nèi)角和的真誤差可由下式算出： 42式中（）表示各三角形內(nèi)角觀測(cè)值之和?，F(xiàn)取誤差區(qū)間的間隔，將按絕對(duì)值的大

4、小排列。統(tǒng)計(jì)出在各區(qū)間內(nèi)的正負(fù)誤差個(gè)數(shù)，列成誤差頻率分布表，出現(xiàn)在某區(qū)間的誤差的個(gè)數(shù)稱為頻數(shù)，用k表示，頻數(shù)除以誤差的總個(gè)數(shù)n得k/n，稱此為誤差在該區(qū)間的頻率。為更直觀，根據(jù)表的數(shù)據(jù)畫出直方圖。橫坐標(biāo)表示正負(fù)誤差的大小，縱坐標(biāo)表示各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4-1，由該表看出，該組誤差具有如下規(guī)律：小誤差比大誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)相近；最大的誤差不超過(guò)一定的限值。通過(guò)大量的實(shí)踐，可以總結(jié)出偶然誤差具有如下四個(gè)統(tǒng)計(jì)特性：（1） 在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限值。（2） 絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大。（3） 絕對(duì)

5、值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等。（4） 隨著觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即 4-3 n觀測(cè)次數(shù), 表示求和。誤差頻率分布表 表41 誤差區(qū)間+備注02450.1260.0630460.1280.0640d=224400.112005600410.1150.057546330.0920.0460330.0920.046068230.0640.0320210.0590.0295810170.0470.0280160.0450.02251012130.0360.0180130.0360.0180121460.0170.008550.0140.0070141640.0110.00

6、5520.0060.003016以上000000.0001810.5051770.495 (a)直方圖 (b)分布曲線圖4-1 頻率直方圖由偶然誤差統(tǒng)計(jì)特性可知，當(dāng)對(duì)某量有足夠多的觀測(cè)次數(shù)時(shí)，其正負(fù)誤差可以相互抵消。因此，可采用多次觀測(cè)，并取其算術(shù)平均值的方法，來(lái)減小偶然誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響。觀測(cè)值偏離真值的程度，稱為觀測(cè)值的準(zhǔn)確度。系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)值的準(zhǔn)確度有較大的影響。故必需按照系統(tǒng)誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)對(duì)觀測(cè)成果進(jìn)行處理。在一定觀測(cè)條件下對(duì)應(yīng)的一組誤差分布，如果該組誤差總的來(lái)說(shuō)偏小些，如圖4-1中曲線峰值較高，誤差分布就較集中，反之絕對(duì)值較多時(shí)，分布就較分散，所以誤差分布的離散程度，反映了觀測(cè)結(jié)

7、果精度高低，其分布越集中，則觀測(cè)結(jié)果的精度越高，反之越低。所以通常由偶然誤差大小和分布狀態(tài)，評(píng)定成果的精度。 (三)測(cè)量精度指標(biāo)精度是指對(duì)某個(gè)量的進(jìn)行多次同精度觀測(cè)中，其偶然誤差分布的密集程度或離散程度。為了衡量觀測(cè)結(jié)果精度的高低，必須有一個(gè)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)，常用的有：（1）中誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行多次觀測(cè)，得到一組等精度的獨(dú)立觀測(cè)值，每個(gè)觀測(cè)值的真誤差為，方差的定義為： 44式中，n觀測(cè)次數(shù)，方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際工作中，觀測(cè)次數(shù)有限，取觀測(cè)值真誤差平方和的平均值，再開(kāi)方定義為中誤差，作為衡量該組觀測(cè)值精度指標(biāo)，即： 45式中m中誤差一組等精度觀測(cè)誤差的平方總和n觀測(cè)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

8、要求，中誤差是有限時(shí)求得的標(biāo)準(zhǔn)差估值，當(dāng)，中誤差接近標(biāo)準(zhǔn)差。中誤差值小，表明誤差的分布較為密集，各觀測(cè)值之間的差異也較小，這組觀測(cè)的精度就高；反之，中誤差值較大，表明誤差的分布較為離散，觀測(cè)值之間的差異也大，這組觀測(cè)的精度就低。當(dāng)觀測(cè)量的真值未知時(shí)，計(jì)算多次等精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值： 46 利用偶然誤差算術(shù)平均值趨近于零特性，算術(shù)平均值比任一觀測(cè)值更接近于真值，該結(jié)論將在4.3節(jié)中詳細(xì)證明。我們把最接近于真值的近似值稱為最或然值或稱為最可靠值。令 （） 47稱觀測(cè)值的改正數(shù)，在4.3節(jié)將證明其總和等于零。此時(shí)，用觀測(cè)值的改正數(shù)中誤差計(jì)算公式應(yīng)為： 48式中：n觀測(cè)次數(shù)；v改正數(shù)，即算術(shù)平均值L

9、與各觀測(cè)值之差。（4-8）式是用觀測(cè)值的改正數(shù)即最或然誤差計(jì)算觀測(cè)值中誤差最常用的實(shí)用公式，又稱白塞爾公式。（2）平均誤差在相同的觀測(cè)條件下，得到一組獨(dú)立的真誤差的絕對(duì)值的算術(shù)平均值的極限定義為平均誤差： 49式中 真誤差的絕對(duì)值； n觀測(cè)數(shù)。當(dāng)觀測(cè)數(shù)n有限時(shí)，計(jì)算的估值，即 410稱為平均誤差，其可靠性不如中誤差，我國(guó)統(tǒng)一采用中誤差作為衡量精度指標(biāo)。（3）相對(duì)中誤差在衡量觀測(cè)精度時(shí)，有時(shí)依據(jù)中誤差并不能反映測(cè)量精度的優(yōu)劣。例如，分別丈量了長(zhǎng)度為100m和50m的兩段距離，其中誤差均為0.02m，是否說(shuō)明兩段距離丈量的精度相同呢？顯然不能，此時(shí)，必須引入相對(duì)誤差衡量精度。相對(duì)中誤差是中誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值的比值，為無(wú)量綱數(shù)。通常分子為1，分母為整數(shù)的分?jǐn)?shù)形式表示，即 411式中：K相對(duì)中誤差或簡(jiǎn)稱相對(duì)誤差；m距離L的觀測(cè)中誤差。上例中： ； 故第一段距離的相對(duì)誤差較小，即第一段距離精度高。（4）容許誤差偶然誤差特性表明，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限值。根據(jù)誤差理論和大量的實(shí)踐證明：在等精度觀測(cè)某量的一組誤差中，大于兩倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為4