中考數(shù)學(xué)系列專題29與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1、專題29與圓有關(guān)的位置關(guān)系聚焦考點(diǎn)溫習(xí)理解、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)OO的半徑是r，點(diǎn)P到圓心0的距離為d,那么有:dr 點(diǎn)P在O O外。二、直線與圓的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：(1) 相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn);(2) 相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，(3 )相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。 丿丄亠一相啊如果O 0的半徑為r,圓心0到直線I的距離為d,那么：直線I與O 0相交 v = d d=r ;直線I與O 0相離 v = dr ;切線的判定和性質(zhì)：(1 )、切線的判定定

2、理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。(2)、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。如右圖中，0D垂直于切線。切線長定理：1 、切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。2、切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。3、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)四點(diǎn)共圓的判定條件圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。如圖圓0是厶A，B7 U的內(nèi)切圓。三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。三、圓和圓的位置關(guān)系1 、圓和圓的位置

3、關(guān)系如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。 如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。 如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相交。2、圓心距兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定設(shè)兩圓的半徑分別為 R和r，圓心距為d，那么兩圓外離dR+.r兩圓外切 d=R+r兩圓相交 R-rd r)兩圓內(nèi)切 d=R-r ( Rr)兩圓內(nèi)含 dr)4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。名師點(diǎn)睛典例分類考點(diǎn)典例一、直線

4、與圓的位置關(guān)系【例1】O 0的半徑r=3,設(shè)圓心O到一條直線的距離為 d,圓上到這條直線的距離為 2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 m 給出以下命題： 假設(shè)d 5,貝U m=0;假設(shè)d=5，那么nr1;假設(shè)1 d 5，那么m=3；假設(shè)d=1，那么m=2；假設(shè)d 5時(shí)，直線與圓相離，那么 葉0,正確； 假設(shè)d=5時(shí)，直線與圓相切，那么 n=1,故正確； 假設(shè)1 d 5，貝U n=3,正確； 假設(shè)d=1時(shí)，直線與圓相交，那么 n=2正確； 假設(shè)d 1時(shí)，直線與圓相交，那么 n=2,故錯(cuò)誤.應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解直線與圓的位置關(guān)系與d與r的數(shù)量關(guān)系.【舉一反三】在平面直角坐標(biāo)系 x

5、Oy中，直線經(jīng)過點(diǎn)A - 3, 0，點(diǎn)B 0, J3 ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1 , 0,與y軸相切 于點(diǎn)0,假設(shè)將O P沿x軸向左平移，平移后得到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) P,當(dāng)OP與直線相交時(shí)，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P共有A. 1個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)【答案】C.【解析】試題分析：如 丁點(diǎn)P的坐標(biāo)為1, o, OPy軸相切于點(diǎn)0,二的烏諱匚 假設(shè)O與蔚相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D,由點(diǎn)直-3,。片點(diǎn) E 血 J5 423, 0B= VS. .AE=23 , ZDAJE 護(hù).設(shè)平移后圓與直線曲第一次相切時(shí)圓心為MC即對(duì)應(yīng)的Py.MD丄眄1TO=1又恥血 *2M點(diǎn)的坐標(biāo)為 .同理可得圓與直線第二次相切時(shí)圓

6、心N的坐標(biāo)為 _5； 0 ZECF,所EAcPPE,故tanZCEP= |錯(cuò)誤故答秦選氐 %考點(diǎn)：圓的綜合題7. 2021貴州遵義第12題如圖，矩形 ABCD中, AB=4, BC=3,連接AC O P和OQ分別是 ABCAADC的內(nèi)切圓，貝U PQ的長是5A.B.52D. 2.2【答案】B.【解析】試題分析：四邊形 ABC助矩形， ACDA CAB O P和O Q的半徑相等.在 Rt BC中，AB=4,BC=3,. AC=.AB2BC2=5,aO P的半徑r = ABBC AC = 3 45=1.2 2連接點(diǎn)P、Q過點(diǎn)Q作QE/ BC過點(diǎn)P作PE/ AB交QE于點(diǎn)E,那么/ QEP90 如下

7、圖.在 Rt QEF中，QE=BC- 2r=3- 2=1, EPAB- 2r=4 - 2=2,. PQ=. QE2 EP2 八 12 22 = . 5 .應(yīng)選 B.考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；矩形的性質(zhì).填空題8. 2021湖南永州第20題如圖，給定一個(gè)半徑長為 2的圓，圓心O到水平直線I的距離為d，即OM=d我們把圓上到直線I的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為 m如d=0時(shí)，I為經(jīng)過圓心O的一條直線，此時(shí)圓上有四個(gè)到直線I的距離等于1的點(diǎn)，即m=4由此可知：1 當(dāng) d=3 時(shí)，m=;【解析】試題分析：1當(dāng)?shù)r(shí)，因32!即dR,直線與圓相飢 那么HF心當(dāng)疔2時(shí)，那么圓上到直線L的 距禽等于L的點(diǎn)的個(gè)數(shù)

8、記兩?？傻弥本€與圓相交或相切或相離.所以即d的取值范園是OUd 3,考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系.9. 2021山東淄博第17題如圖，OO的半徑為2,圓心O到直線I的距離為4,有一內(nèi)角為60的菱形，當(dāng)菱形的一邊在直線I上，另有兩邊所在的直線恰好與OO相切，此時(shí)菱形的邊長為 .【答案】4,3 .【解析】試題井析：過點(diǎn)0作直第】的垂妹交如于E交就于陷作AGHS 1于根擱題盍玻出即的長，得到期的長根提正弦的祗念計(jì)草即可.過點(diǎn)0作直線1的垂綣交妙于E,交現(xiàn)于眄作揺直線1于 由題意得，ER2+4=D根16矩形的性質(zhì)可得，AG=ER在R-tAABG中，AB= 4 J3 .sm ZS Ji考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；菱形

9、的性質(zhì).10. 2021黑龍江哈爾濱第 18題如圖，AB為OO的直徑，直線I與OO相切于點(diǎn)C, ADLI，垂足為 D,AD交OO于點(diǎn)E,連接OG BE假設(shè)AE=6 OA=5,那么線段DC的長為.【答案】4.【解析】 試題分析： 令 OC交 BE于 F, / AB為O O的直徑，/ AEB=90, / ADL CD / BE/ CD / CD為O O的切線， OCLCD OCLBE, 四邊形 CDEF為矩形,/ CD=EF 在 Rt ABE中，BE AB2 AE28 , / OF丄 BE, BF=EF=4 CD=4考點(diǎn)：1切線；2矩形的性質(zhì)；3勾股定理.11. 2021湖北隨州第15題如圖1 ,

10、 PT與OO1相切于點(diǎn)T, PAB與OO 1相交于A、B兩點(diǎn)，可證明 PTMA PBT從而有 PT2=PA?PB請應(yīng)用以上結(jié)論解決以下問題：如圖2 , PAB PCD分別與OO 2相交于A、B、C D 四點(diǎn)， PA=2, PB=7, PC=3,那么 CD=【答案】3.【解析】試題分析：如圉2中，過點(diǎn)P作0的班戔FT,切點(diǎn)是T.切割纟疑理可得PT=PA-PB=PC-PD, ElD FA士PB=7, FC=3,即可得 2X7=3XPD,所以 FD=,即 CD=PD -比二耳 - 3=丄333圖考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì).三、解答題12. 如圖，在 ABO中，OA=OB C是邊AB的中

11、點(diǎn)，以 O為圓心的圓過點(diǎn) C.(1)求證：AB與OO相切；的面積【答案】(1)證明見解析；(2) 4 .OCLAB即AB是OO的切線【解析】 試題分析：(1)由OA=OB AC=BC根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可推出 由ZAOB-12r? AB-4J5,很IB等腫三角形三線合一的性馬可推出ZAOC的度數(shù)和M的出説角三角函數(shù)可求出0C的長從而可求00的面積.試題解析：I如團(tuán)，連接OC.：OA=OB, AOBC,二 0C 丄 AB .- -AB是OO的切線(2) *00是AABO 底邊上的中線，ZAOB-120 .AB=43 ；./AOC-150 AC-2RtAAOC 中;AC MTan. ZAO

12、C 疋考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.切線的判定；3.銳角三角函數(shù)定義.13. 2021山東棗莊第23題此題總分值8分如圖，AC是O 0的直徑，BC是O O的弦，點(diǎn)P是O 0外一點(diǎn)，連接 PA PB AB/ PBA=Z C.求證：PB是O 0的切線;連接0P假設(shè)OP/ BC且Of=8,O 0的半徑為2.2，求BC的長.第二題囹【答案】詳見解析；2 2.【解析】試題分析：連接0E,由AC是SO的直徑可得厶EC書、ZC+ZEAC=9O *再由OFOE可得ZBAC=Z0EA. 又因ZPBA=ZC, SSZPBA+Z0EA=90& ,即PE丄0丘即可判定PE是。0的切線.(2)可證ABCsAhO, 根

13、據(jù)相似三甬形的性質(zhì)即可求EC的長試題解析：證明:如團(tuán)斯示，連接OB-丁機(jī)是3的直徑；.ZABC=0O* , ZC+ZBAC=90q -丁0口6;.Zbac=Zoba.Zpba=Zc,.ZPBA+Z.OBA=90 , 31 PEOB.二PE是Oo的切線.第擊題臥解：O O的半徑為2 2 , OB=2,2 , AC=4邁./ OP/ BC,/ BOP= OBC=Z C.又/ ABC=z PBO=90 , ABCA PBOBC AC “ BC 4 2OB BC=2.考點(diǎn)：切線的判定；相似三角形的判定及性質(zhì)14. ( 2021年福建龍巖第 20題)如圖，AB是OO的直徑，C是OO上一點(diǎn)，/ ACDM B, ADLCD(1)求證：CD是OO的切線；(2 )假設(shè) AD=1, OA=2 求 AC的值.【答案】(1)證明見解析;(2) 2.【解析】試題分析：d)連接X,易知. ZB=ZSCO;可推出ZOCDNh ?可得出結(jié)論F可證ACT 利用對(duì)應(yīng)邊成比倔冋求得