信號分析基礎(chǔ)

1、.第二章第二章 信號分析基礎(chǔ)信號分析基礎(chǔ) 2.1 信號信號一、概述一、概述 信號可以分為確定性信號和非確定性信號兩大類。信號可以分為確定性信號和非確定性信號兩大類。是指可以用數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表來明確描述是指可以用數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表來明確描述其關(guān)系的信號。其關(guān)系的信號。具有隨機(jī)特點(diǎn)，每次觀察的結(jié)果都不相具有隨機(jī)特點(diǎn)，每次觀察的結(jié)果都不相同，無法用數(shù)學(xué)式或圖表描述其關(guān)系，更不能確切預(yù)同，無法用數(shù)學(xué)式或圖表描述其關(guān)系，更不能確切預(yù)測，只能用概率統(tǒng)計方法由過去估計未來，因此也叫測，只能用概率統(tǒng)計方法由過去估計未來，因此也叫隨機(jī)信號。隨機(jī)信號。. 確定性信號確定性信號又可分為又可分為周期信號周期信號和和非周

2、期信號非周期信號隨機(jī)信號隨機(jī)信號又可分又可分平穩(wěn)平穩(wěn)和和非平穩(wěn)非平穩(wěn)的信號兩種的信號兩種周期信號周期信號是經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號，是經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號，滿足條件：滿足條件： x ( t ) = x ( t + N t )式中：式中：T周期，周期，T20； 0基頻基頻 N0，十十1.確定信號與隨機(jī)信號確定信號與隨機(jī)信號 當(dāng)信號是一確定的時間函數(shù)時，給定某一時間值，就可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值。這樣的信號稱為確定信號。 隨機(jī)信號不是確定的時間函數(shù)，只知道該信號取某一數(shù)值的概率。 帶有信息的信號往往具有不可預(yù)知的不確定性，是一種隨機(jī)信號。 除實(shí)驗(yàn)室發(fā)生的有規(guī)律的信號外，通常的信號都是

3、隨機(jī)的，因?yàn)榇_定信號對受信者不可能載有信息。. 連續(xù)信號與離散信號連續(xù)信號與離散信號 如果在某一時間間隔內(nèi)，對于一切時間如果在某一時間間隔內(nèi)，對于一切時間值，除若干不連續(xù)點(diǎn)外，該函數(shù)都能給值，除若干不連續(xù)點(diǎn)外，該函數(shù)都能給出確定的函數(shù)值，此信號稱為連續(xù)信號。出確定的函數(shù)值，此信號稱為連續(xù)信號。 和連續(xù)信號相對應(yīng)的是離散信號。代表和連續(xù)信號相對應(yīng)的是離散信號。代表離散信號的時間函數(shù)只在某些不連續(xù)的離散信號的時間函數(shù)只在某些不連續(xù)的時間值上給定函數(shù)值。時間值上給定函數(shù)值。 一般而言，模擬信號是連續(xù)的（時間和一般而言，模擬信號是連續(xù)的（時間和幅值都是連續(xù)的），數(shù)字信號是離散的幅值都是連續(xù)的），數(shù)字信

4、號是離散的.連續(xù)信號f(t)0t0tf(t)f0f1f2離散信號01234-1tf(tk)(3)(2)(4.5)(1.5)(6)(-1). 周期信號與非周期信號周期信號與非周期信號 用確定的時間函數(shù)表示的信號，可以分為周期信號和非周期信號。 當(dāng)且僅當(dāng) 則信號f(t)是周期信號，式中常數(shù)T 是信號的周期。換言之，周期信號是每隔固定的時間又重現(xiàn)本身的信號，該固定的時間間隔稱為周期。 非周期信號無此固定時間長度的循環(huán)周期。)(tfTtft嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的周期信號，是無始嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的周期信號，是無始無終地重復(fù)著某一變化規(guī)律的信號。無終地重復(fù)著某一變化規(guī)律的信號。實(shí)際應(yīng)用中，周期信號只是指在較長實(shí)際

5、應(yīng)用中，周期信號只是指在較長時間內(nèi)按照某一規(guī)律重復(fù)變化的信號。時間內(nèi)按照某一規(guī)律重復(fù)變化的信號。實(shí)際上周期信號與非周期信號之間沒實(shí)際上周期信號與非周期信號之間沒有絕對的差別，當(dāng)周期信號有絕對的差別，當(dāng)周期信號f fT T( (t t) )的周期的周期T T 無限增大時，則此信號就轉(zhuǎn)化為非無限增大時，則此信號就轉(zhuǎn)化為非周期信號周期信號f f( (t t) )。即即lim( )( )TTftf t. 周期方波的描述周期方波的描述.二、能量信號與功率信號二、能量信號與功率信號1、能量信號、能量信號 在所分析的區(qū)間在所分析的區(qū)間(-，)內(nèi)，能量為內(nèi)，能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件有限值的信號

6、稱為能量信號，滿足條件.信號能量的解釋信號能量的解釋：對于電信號，通常是電壓或電流，電壓：對于電信號，通常是電壓或電流，電壓和電流在己知區(qū)間和電流在己知區(qū)間 (t1, t2) 內(nèi)消耗在電阻內(nèi)消耗在電阻R上的能量為上的能量為.R R1 1時。上述兩式具有相同形式。時。上述兩式具有相同形式。 定義定義：當(dāng)區(qū)間：當(dāng)區(qū)間( (t1, t2)t1, t2)為為(-(-，)時，時，能量為有限值的信號稱為能量信號，或能量為有限值的信號稱為能量信號，或稱為能量有限信號，稱為能量有限信號，. 2、功率信號、功率信號 有許多信號，如周期信號、隨機(jī)信有許多信號，如周期信號、隨機(jī)信號等，它們在區(qū)間號等，它們在區(qū)間(-

7、(-，)內(nèi)能量不是內(nèi)能量不是有限值在這種情況下，研究信號的平均有限值在這種情況下，研究信號的平均功率更為合適。功率更為合適。.顯而易見，一個能量信號具有顯而易見，一個能量信號具有0平均功率，平均功率，而一個功率信號具有無限大能量。而一個功率信號具有無限大能量。.2.2 信號的時域統(tǒng)計分折信號的時域統(tǒng)計分折一、均值一、均值、方差方差2 和均方值和均方值2各態(tài)歷經(jīng)信號的均值各態(tài)歷經(jīng)信號的均值為為.方差方差方差的正平方根叫方差的正平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 ，是隨機(jī)數(shù)據(jù)是隨機(jī)數(shù)據(jù)分析的重要參數(shù)。分析的重要參數(shù)。. 均方值均方值2描述隨機(jī)信號的強(qiáng)度描述隨機(jī)信號的強(qiáng)度 均方值的正平方根稱為均方值的正平方根稱為

8、均方根值均方根值，可表，可表示為示為xrms。 均值、方差和均方值的相互關(guān)系是均值、方差和均方值的相互關(guān)系是.二、概率密度函數(shù)二、概率密度函數(shù) 隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)表示信號隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)表示信號幅值落在指定區(qū)間內(nèi)的概率。幅值落在指定區(qū)間內(nèi)的概率。.定義幅值概率密度函數(shù)定義幅值概率密度函數(shù).概率密度函數(shù)分析儀原理方框圖概率密度函數(shù)分析儀原理方框圖.典型信號的概率密度函數(shù)典型信號的概率密度函數(shù). 含正弦波隨機(jī)信號的概率密度函效含正弦波隨機(jī)信號的概率密度函效.23 信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析.變量變量x和和y之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)表示之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)表示式中：式中：E數(shù)學(xué)期

9、望數(shù)學(xué)期望 xEx隨機(jī)變量隨機(jī)變量x的均值的均值 yEy隨機(jī)變量隨機(jī)變量y的均值的均值 x,y隨機(jī)變量隨機(jī)變量x，y的標(biāo)準(zhǔn)差：的標(biāo)準(zhǔn)差：.可以證明，可以證明，xy1。當(dāng)當(dāng)xy 1時，則所有的點(diǎn)都落在時，則所有的點(diǎn)都落在y-y = m (x-x) 的直線上，說明的直線上，說明x,y兩變量兩變量是理想的線性相關(guān)。是理想的線性相關(guān)。xy -1也是理想的線性相關(guān)，只是直線的也是理想的線性相關(guān)，只是直線的斜率為負(fù)。斜率為負(fù)。xy 0 表示表示x,y兩變量之間完全無關(guān)。兩變量之間完全無關(guān)。.用用Rx()表示自相關(guān)函數(shù)：表示自相關(guān)函數(shù)： 則則.例例1 求正弦函數(shù)求正弦函數(shù) 的自相關(guān)的自相關(guān)函數(shù)函數(shù).作業(yè)：作

10、業(yè)：1、證明均值、方差和均方值的相互關(guān)、證明均值、方差和均方值的相互關(guān)系系2*、根據(jù)圖、根據(jù)圖2-4方框圖設(shè)計一個概率密方框圖設(shè)計一個概率密度函數(shù)分析儀電路，畫出電路原理圖。度函數(shù)分析儀電路，畫出電路原理圖。. 二、互相關(guān)函數(shù)二、互相關(guān)函數(shù)對于各態(tài)歷經(jīng)過程，兩個隨機(jī)信號對于各態(tài)歷經(jīng)過程，兩個隨機(jī)信號x(t)和和y(t)的互相關(guān)函的互相關(guān)函數(shù)及數(shù)及Rxy()定義為定義為互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)：.四、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)四、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)定義，相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)：根據(jù)定義，相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)：1、自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù) )()(RR互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，也不是奇函

11、數(shù)，而滿足下互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，而滿足下式式 )()(yxxyRR.TTTTTTTTTTTTRdttxtxTt dtxtxTt dtxtxTdttxtxTRtt)()()(21lim)()(21lim)()(21lim)()(21lim)(,則令.2、自相關(guān)函數(shù)在、自相關(guān)函數(shù)在=0處取得最大值處取得最大值 abba222)()(2)()()()(txtxtxtxtxtxTTTTdttxtxTdttxtxT00)()(1lim)()(1limdtxxtxTTT)()(21lim0這個性質(zhì)極為重要，它是相關(guān)技術(shù)這個性質(zhì)極為重要，它是相關(guān)技術(shù)確定同名點(diǎn)的依據(jù)確定同名點(diǎn)的依據(jù) 兩邊取時

12、間兩邊取時間T的平均值并取極限的平均值并取極限 )()0(RR. 3、 周期信號的自相關(guān)函數(shù)仍然是同周期信號的自相關(guān)函數(shù)仍然是同 頻率的周期信號，但不具有原信號頻率的周期信號，但不具有原信號的相位信息。的相位信息。4、隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)將隨、隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)將隨值值增大而很快趨于零。增大而很快趨于零。.互相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)： 兩周期信號具有相同的頻率，才有互相關(guān)函數(shù)，即兩個非同頻的周期信號是不相關(guān)的。 兩個相同周期的信號的互相關(guān)函數(shù)仍是周期函數(shù)，其周期與原信號的周期相同，并不丟失相位信息。 兩信號錯開一個時間間隔0處相關(guān)程度有可能最高，它反映兩信號x(t)、y（t)之間主傳輸通道的滯后

13、時間。. 五、相關(guān)分析應(yīng)用五、相關(guān)分析應(yīng)用1、影像相關(guān)影像相關(guān)原理原理 影像相關(guān)是利用互相關(guān)函數(shù)，評價兩塊影像的相似性以確定同名點(diǎn) 。.示意圖示意圖 互相互相關(guān)函關(guān)函數(shù)數(shù)相似程相似程度度同名點(diǎn)同名點(diǎn)目標(biāo)區(qū)目標(biāo)區(qū)搜索區(qū)搜索區(qū).影像匹配影像匹配-同名點(diǎn)尋找同名點(diǎn)尋找.2、電子相關(guān)、電子相關(guān)n 電子相關(guān)就是采用電子線路構(gòu)成的相關(guān)器來電子相關(guān)就是采用電子線路構(gòu)成的相關(guān)器來實(shí)現(xiàn)相關(guān)的功能實(shí)現(xiàn)相關(guān)的功能 圖5-1-1電子相關(guān)dttytx)(Rxy)()(.NoImage.3、光學(xué)相關(guān)、光學(xué)相關(guān)n光的干涉和衍射光的干涉和衍射-傅立葉變換特性傅立葉變換特性 dxdyyvxufjyxgvuG)(2exp),()

14、,( 相干光學(xué)計算機(jī)相干光學(xué)計算機(jī) .n相干光學(xué)相關(guān)系統(tǒng)相干光學(xué)相關(guān)系統(tǒng) 三個傅立葉透鏡三個傅立葉透鏡L1，L2，L3及激光及激光源與光電倍增管等器件組成源與光電倍增管等器件組成 .3、數(shù)字相關(guān)、數(shù)字相關(guān)n二維相關(guān)二維相關(guān) 數(shù)字相關(guān)是利用計算機(jī)對數(shù)字影像進(jìn)數(shù)字相關(guān)是利用計算機(jī)對數(shù)字影像進(jìn)行數(shù)值計算的方式完成影像的相關(guān)行數(shù)值計算的方式完成影像的相關(guān) 目標(biāo)區(qū)目標(biāo)區(qū) 搜索區(qū)搜索區(qū). 22,2222,22max0000,mkimkjjnlinliiijrc相似性相似性測度測度.4工程應(yīng)用工程應(yīng)用.2.4 信號的頻域分析信號的頻域分析.確定信號的時間特性確定信號的時間特性 表示信號的時間函數(shù)，包含了信號

15、的全表示信號的時間函數(shù)，包含了信號的全部信息量，信號的特性首先表現(xiàn)為它的部信息量，信號的特性首先表現(xiàn)為它的時間特性。時間特性。 時間特性主要指信號隨時間變化快慢、時間特性主要指信號隨時間變化快慢、幅度變化的特性。幅度變化的特性。 同一形狀的波形重復(fù)出現(xiàn)的周期長短同一形狀的波形重復(fù)出現(xiàn)的周期長短 信號波形本身變化的速率（如脈沖信號的脈信號波形本身變化的速率（如脈沖信號的脈沖持續(xù)時間及脈沖上升和下降邊沿陡直的程沖持續(xù)時間及脈沖上升和下降邊沿陡直的程度）度） 以時間函數(shù)描述信號的圖象稱為時域圖，以時間函數(shù)描述信號的圖象稱為時域圖，在時域上分析信號稱為時域分析。在時域上分析信號稱為時域分析。.確定信號

16、的頻率特性確定信號的頻率特性 信號還具有頻率特性，可用信號的頻譜函數(shù)來表示。在頻譜信號還具有頻率特性，可用信號的頻譜函數(shù)來表示。在頻譜函數(shù)中，也包含了信號的全部信息量。函數(shù)中，也包含了信號的全部信息量。 頻譜函數(shù)表征信號的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅和頻譜函數(shù)表征信號的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅和相位。相位。 頻譜：對于一個復(fù)雜信號，可用傅立葉分析將它分解為許頻譜：對于一個復(fù)雜信號，可用傅立葉分析將它分解為許多不同頻率的正弦分量，而每一正弦分量則以它的振幅和多不同頻率的正弦分量，而每一正弦分量則以它的振幅和相位來表征。將各正弦分量的振幅與相位分別按頻率高低相位來表征。將各正弦分量的振

17、幅與相位分別按頻率高低次序排列成頻譜。次序排列成頻譜。 頻帶：復(fù)雜信號頻譜中各分量的頻率理論上可擴(kuò)展至無限，頻帶：復(fù)雜信號頻譜中各分量的頻率理論上可擴(kuò)展至無限，但因原始信號的能量一般集中在頻率較低范圍內(nèi)，在工程但因原始信號的能量一般集中在頻率較低范圍內(nèi)，在工程應(yīng)用上一般忽略高于某一頻率的分量。頻譜中該有效頻率應(yīng)用上一般忽略高于某一頻率的分量。頻譜中該有效頻率范圍稱為該信號的頻帶。范圍稱為該信號的頻帶。 以頻譜描述信號的圖象稱為頻域圖，在頻域上分析信號稱為以頻譜描述信號的圖象稱為頻域圖，在頻域上分析信號稱為頻域分析。頻域分析。.時域和頻域. 信號的頻譜函數(shù)和信號的時間函數(shù)既然都包含了信號的全部信

18、息量，都能表示出信號的特點(diǎn),那么，信號的時間特性與頻率特性必然具有密切聯(lián)系。 例：周期性脈沖信號的重復(fù)周期的倒數(shù)就是該信號的基波頻率，周期的大或小分別對應(yīng)著低的或高的基波和諧波頻率； 信號分析中將進(jìn)一步揭示兩者的關(guān)系。.不同頻率信號的時域圖和頻域圖不同頻率信號的時域圖和頻域圖. 時域分析信號時域分析（線性系統(tǒng)疊加原理）卷積積分的應(yīng)用及其數(shù)學(xué)描述 頻域分析周期信號的頻域分析(三角與指數(shù)傅立葉級數(shù)）非周期信號的頻域分析（傅立葉積分）信號在頻域與時域之間的變換（正反傅立葉變換式）頻譜與時間函數(shù)的關(guān)系0000tttS(t)r(kt)r(t)ktktkts(kt)r(kt)ttkstkthttks激勵函

19、數(shù)激勵函數(shù)(輸入輸入信號信號)的分解的分解第第k個脈沖的個脈沖的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)(輸輸出信號出信號)波形波形沖激響應(yīng)疊加沖激響應(yīng)疊加后的總響應(yīng)后的總響應(yīng)(輸輸出信號出信號)波形波形第第k個脈沖函數(shù)之面積個脈沖函數(shù)之面積（當(dāng)（當(dāng)t 0，脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)可近似表示為沖激函數(shù)）可近似表示為沖激函數(shù)）系統(tǒng)對第系統(tǒng)對第k個沖激函數(shù)個沖激函數(shù)的沖激響應(yīng)函數(shù)的沖激響應(yīng)函數(shù). 式中h(t)是單位沖激函數(shù)(t)對應(yīng)的響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)函數(shù)。 單位沖激函數(shù)(t) 也稱狄拉克函數(shù)或函數(shù)，其定義是：在t0時，函數(shù)值均為0；在t=0處，函數(shù)值為無窮大，而脈沖面積為1，即 當(dāng)t無限趨小而成為d時，上式中不連續(xù)變量kt

20、成了連續(xù)變量，對各項(xiàng)求和就成了求積分。于是有 這種疊加積分稱為卷積積分卷積積分。 0t0,t0t1,dtt dthstrt0. 考察信號考察信號 式中式中1 1=2=2f f1 1。1 1稱為稱為基波頻率基波頻率，簡稱基頻，簡稱基頻，1 1的倍數(shù)稱為的倍數(shù)稱為諧波諧波。 該信號的波形圖和其頻譜圖見下圖。該信號的波形圖和其頻譜圖見下圖。 對于周期信號而言，其頻譜由離散的頻率成分，對于周期信號而言，其頻譜由離散的頻率成分，即基波與諧波構(gòu)成。圖中，每一條譜線代表一個即基波與諧波構(gòu)成。圖中，每一條譜線代表一個正弦分量，譜線的位置代表這一正弦分量的角頻正弦分量，譜線的位置代表這一正弦分量的角頻率，譜線的

21、高度代表該正弦分量的振幅。信號率，譜線的高度代表該正弦分量的振幅。信號f f( (t t) )的成分正好是角頻率為的成分正好是角頻率為1 1、331 1 、551 1和和7 71 1的正弦波。的正弦波。 tttttf11117sin715sin513sin31sin. 狄利希萊條件 要將一周期信號分解為諧波分量，代表這一周期信號的函數(shù)f(t)應(yīng)當(dāng)滿足下列條件： 在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對可積的，即在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對可積的，即 應(yīng)為有限值；應(yīng)為有限值； 在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限；在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限； 在一周期內(nèi)，函數(shù)在一周期內(nèi)，函數(shù)f(t)或者為連續(xù)的，或者具有有限或者為連

22、續(xù)的，或者具有有限個這樣的間斷點(diǎn)，即當(dāng)個這樣的間斷點(diǎn)，即當(dāng)t從較大的時間值和較小的時從較大的時間值和較小的時間值分別趨向間斷點(diǎn)時，函數(shù)具有兩個不同的有限的間值分別趨向間斷點(diǎn)時，函數(shù)具有兩個不同的有限的函數(shù)值。函數(shù)值。 測試技術(shù)中的周期信號，大都滿足該條件。測試技術(shù)中的周期信號，大都滿足該條件。 dttfTtt|11lim()lim()f tf t. 根據(jù)傅立葉變換原理，通常任何信號都可表示成各種頻率成分的正弦波之和。 對于任何一個周期為T、且定義在區(qū)間（- T/2, T/2）內(nèi)的周期信號f(t)，都可以用上述區(qū)間內(nèi)的三角傅立葉級數(shù)表示： a0是頻率為零的直流分量（如圖），式中系數(shù)值為 傅立葉級

23、數(shù)的這種形式稱為三角函數(shù)展開式三角函數(shù)展開式或稱正弦-余弦表示，是用正交函數(shù)集來表示周期信號的一種常用方法。 1110)sincos(nnntnbtnaatf tdtntfTbtdtntfTadttfTaTTnTTnTT12/2/12/2/2/2/0sin2cos21.0110022( )cos()tannnnnnnnnnf tAAntAaAabba 式中：An-，n-分別稱為幅值譜和相位譜，統(tǒng)稱為頻譜。.帶有直流分量的信號帶有直流分量的信號. 指數(shù)傅立葉級數(shù)指數(shù)傅立葉級數(shù) 用正交函數(shù)集來表示周期信號另一種更常用的方法是傅立葉級數(shù)的指數(shù)表示法，稱為指數(shù)傅立葉級數(shù)。 三角傅立葉級數(shù)與指數(shù)傅立葉級

24、數(shù)并不是兩種不同類型的級數(shù)，而只是同一級數(shù)的兩種不同的表示方法。指數(shù)級數(shù)形式比三角級數(shù)形式更簡化更便于計算。 根據(jù)歐拉公式0002211() ,()221122nnnnnnnnnnnCaACaj bCaj bCCAab. 1/ 2/ 21,0 ,1 ,2 , . . . .Tj n tnTC ft e d t nT 1jn tnnf tCe1j ntnnftCe 1/2/21Tjn tnTCf t edtT. 對于定義于區(qū)間（-，+）上的非周期函數(shù)，也能分解成許多正弦波的疊加。（也要滿足狄利希萊條件） 如果在表示周期信號f(t)的傅立葉級數(shù)中令周期T，則在整個時間內(nèi)表示f(t)的傅立葉級數(shù)也能

25、在整個時間內(nèi)表示非周期信號。f (t)的指數(shù)傅立葉級數(shù)可寫為 式中Fn是復(fù)數(shù)振幅，將其代入f(t),得到tjnnTTtjnedtetfTtf112/2/) (1) ( 221TtjnnTTtjnedtetftf112/2/)(21)(. 當(dāng)T 增加時，基頻1變小，頻譜線變密，且各分量的振幅也減小，但頻譜的形狀不變。在T的極限情況下，每個頻率分量的幅度變?yōu)闊o窮小，而頻率分量有無窮多個，離散頻譜變成了連續(xù)頻譜。這時，f(t)已不是n1的離散函數(shù)，而是的連續(xù)函數(shù)。 以上過程可以用計算式說明。由于相鄰頻率分量間隔為=(=(n n+1)+1)1 1- -nn1 1=1 1 周期T 可寫為 于是，有ded

26、te t ft ft jt j ) (21) (deFtftj21)(. 當(dāng)T 時，求和變成了取積分，變成d d ，n1用表示。因此有 式中方括號是原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱，記作F() 。即 將原函數(shù)寫成 這就是非周期信號f(t)的傅立葉積分表示式，它與周期信號的傅立葉級數(shù)相當(dāng)。 和傅立葉級數(shù)中的復(fù)數(shù)振幅相當(dāng)，是無窮小量，頻譜密度函數(shù)反映了各分量振幅間的相對比例關(guān)系。dtetfFtj)()()FjdFt fFt f0002211() ,()221122nnnnnnnnnnnCaACaj bCaj bCCAab ( )()jtjtjtjtRr t ed

27、tsh tdt edsh tedtdseHjdSH. 通過非周期信號的頻譜分析得知，時域上的原函數(shù)中含有包含全部信息量的頻譜函數(shù)，而頻譜函數(shù)中也含有原函數(shù)。因此我們可以在時域與頻域之間對信號進(jìn)行相互變換。 這種變換通過稱之為傅立葉變換式的公式來實(shí)現(xiàn)。即我們前面已經(jīng)推導(dǎo)出的一對傅立葉積分表示式： 前者稱為傅立葉正變換式，它將時域內(nèi)t t 的函數(shù)變換為頻域內(nèi)的函數(shù)；后者稱為傅立葉逆變換式或反變換式，可把的函數(shù)變換為t t 的函數(shù)。 傅立葉變換式簡記為 ()Fjd st htshtd 0002211() ,()221122nnnnnnnnnnnCaACaj bCaj bCCAab. 傅立葉變換可將時

28、域上較復(fù)雜的運(yùn)算簡化為相對簡單的頻域運(yùn)算。 作為時域上卷積積分例子的函數(shù)r(t)對應(yīng)的頻域函數(shù)為 上式即卷積定理卷積定理，激勵s(t)通過頻率特性為H()的系統(tǒng)時，響應(yīng)r(t)的頻譜函數(shù)R()等于s(t)的頻譜函數(shù)S() 和H()的乘積運(yùn)算。. 通過時域與頻譜分析的討論，可總結(jié)為兩個關(guān)系式 R() = S() H()r(t) = s(t)*h(t) 其中 兩個關(guān)系式的意義是：兩個頻譜相乘，其乘積的時間函兩個頻譜相乘，其乘積的時間函數(shù)就是相應(yīng)的兩個時間函數(shù)相卷積。數(shù)就是相應(yīng)的兩個時間函數(shù)相卷積。反之，兩個時間函兩個時間函數(shù)相卷積，其頻譜就是相應(yīng)的兩個頻譜相乘數(shù)相卷積，其頻譜就是相應(yīng)的兩個頻譜相乘

29、。 從濾波角度看，該兩關(guān)系式的意義是：濾波可以兩種方式實(shí)現(xiàn)。一是在頻域上實(shí)現(xiàn)，將頻譜H()與 S() 相乘得到R()，再由R()作傅立葉反變換得到r(t)。 二是在時域上直接實(shí)現(xiàn)，將時間函數(shù)h(t) 與s(t) 相卷積得到r(t)。其它02/2/tAtg.幾種典型信號的傅立葉變換幾種典型信號的傅立葉變換 數(shù)字信號中典型的波形是矩形窗函數(shù)（矩形脈沖函數(shù)）。矩形脈沖g(t)及其對應(yīng)的頻域函數(shù)為G()分別如圖和下面兩式：22/ 2/ 222s i n/ 2/ 22s i ns i ns i n,jtjtjjAGgted tAed tAeeAAS i n cxcxx （）稱為抽樣函數(shù)00() ()() (0)(0)() ()( )txtdttx dt xt t xtdt xt .() ()ttd tu t . (t)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)：1.抽樣性抽樣性()t2. 單位脈沖函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)單位脈沖函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)() ()() ()() ()()() ()()()()f ttftdf ttd t f tf tt Tft Tdf t T 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積函數(shù)與其他函數(shù)的卷積 .()()ttd tu t 4. 函