醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第五章

1、.abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實(shí)例實(shí)例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy .abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放播放.觀察下列演示過(guò)程，注意

2、當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲

3、邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程

4、，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積

5、和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)，內(nèi)內(nèi)插插入入若若干干在在區(qū)區(qū)間間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx .iniixfA

6、 )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時(shí)，時(shí)，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)當(dāng)分割無(wú)限加細(xì))0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)i （iix ），作乘積作乘積iixf )( ),

7、 2 , 1( ibxxxan10定義定義 niiixfS1并作和.怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i 怎怎樣樣的的取取法法，只要當(dāng)只要當(dāng)0 時(shí)，時(shí)，和和S總趨于總趨于確確定定的的極極限限I，我我們們稱(chēng)稱(chēng)這這個(gè)個(gè)極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和.注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf

8、)( badttf)( baduuf)(（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時(shí)時(shí)，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無(wú)無(wú)關(guān)關(guān).稱(chēng)稱(chēng))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定理定理1 1稱(chēng)稱(chēng))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. ., 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba .

9、幾何意義：幾何意義：積取負(fù)號(hào)積取負(fù)號(hào)軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號(hào)；軸上方的面積取正號(hào)；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( .例例1 1 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等分，分點(diǎn)為等分，分點(diǎn)為nixi ，(ni, 2 , 1 )小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx .nnini121 niin12316

10、)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 .對(duì)定積分的對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)， abbadxxfdxxf)()(.說(shuō)明說(shuō)明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小.證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxx

11、f)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1. babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2. badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補(bǔ)充補(bǔ)充：不論：不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)

12、()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則則假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3.dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上0)( xf，.例例 1 1 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0

13、)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx .性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）.dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說(shuō)明：說(shuō)明： 可積性

14、是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）.設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6.例例 2 2 估估計(jì)計(jì)積積分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin314

15、10030dxdxxdx .3sin31403 dxx.如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知?jiǎng)t則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式.在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少

16、少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，即即積分中值公式的幾何解釋?zhuān)悍e分中值公式的幾何解釋?zhuān)簒yoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個(gè)個(gè)矩矩形形的的面面積積。.例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f .

17、6 .定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限.3 3定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）4 4典型問(wèn)題典型問(wèn)題（）估計(jì)積分值；（）估計(jì)積分值；（）不計(jì)算定積分比較積分大?。ǎ┎挥?jì)算定積分比較積分大小.思考題思考題將和式極限：將和式極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定積分表示成定積分.思考題解答思考題解答

18、原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i .變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21)(TTdttv 設(shè)設(shè)某某物物體體作作直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，已已知知速速度度)(tvv 是是時(shí)時(shí)間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)的的路路程程.另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs ).()()(122

19、1TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中. 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且設(shè)設(shè)x為為,ba上上的的一一點(diǎn)點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動(dòng)動(dòng)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，.abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)

20、導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x. dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x. 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為補(bǔ)充補(bǔ)充 )()()

21、()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF.例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：這是分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果

22、果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已已知知)(xF是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，CxxF )()(,bax 證證.令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一

23、個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.例例2 2 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例3 3 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，5)( xf, 102152dxxdx原原式

24、式. 6 xyo12.例例5 5 求求 解解.112dxx 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，x1的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面積面積xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 .3.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系間的關(guān)系.思考題思考題 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(

25、是是x的的函函數(shù)數(shù)還還是是t與與u的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？.思考題解答思考題解答dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx .二、分部積分法二、分部積分法三、小結(jié)三、小結(jié).定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時(shí)，上變化時(shí)，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfd

26、xxfba )()()(. .應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計(jì)計(jì)算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量t的的上上、下下限限分分別別代代入入)(t 然然后后相相減減就就行行了了.（2）用用)(tx 把把變變量量x換換成成新新變變量量t時(shí)時(shí)，積積分分限限也也相相應(yīng)應(yīng)的的改改變變.例例1 1 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066

27、t .61 ,sin xdxdt .例例2 2 計(jì)算計(jì)算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 .證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中令中令tx ,. 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()

28、(;)(20 adttf)(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 .奇函數(shù)奇函數(shù)例例4 4 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積.證證（1）設(shè)）設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t. 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）設(shè)）設(shè)tx

29、,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft. 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu、)(xv在區(qū)間在區(qū)間 ba,上具有連續(xù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有導(dǎo)數(shù)，則有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式

30、推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv.例例6 6 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則.例例7 7 計(jì)算計(jì)算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln2

31、18 x.42ln8 .例例8 8 計(jì)算計(jì)算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 .幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式1.定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(2.定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）.思考題思考題1指指出出求

32、求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯(cuò)錯(cuò)誤誤，并并寫(xiě)寫(xiě)出出正正確確的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 .思考題解答思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 .思考題思考題2設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求

33、求 10)2(dxxfx.思考題解答思考題解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 .第四節(jié)第四節(jié) 定積分的近似計(jì)算定積分的近似計(jì)算( (自學(xué)自學(xué)) )一、矩形法一、矩形法二、梯形法二、梯形法三、拋物線法三、拋物線法.這這時(shí)時(shí)稱(chēng)稱(chēng)廣廣義義積積分分 收收斂斂；若若極極限限不不存存在在，稱(chēng)稱(chēng)廣廣義義積積分分 發(fā)發(fā)散散. . dxxfa dxxfa babdx)x(flim dxxfa 一、無(wú)窮限的廣義積分.類(lèi)似地，設(shè)函數(shù)類(lèi)似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b上連續(xù)，取上連續(xù)，取

34、bt ，如果極限，如果極限 bttdx)x(flim存在，則稱(chēng)此極存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間,(b上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)(.dx)x(flimbtt 這這時(shí)時(shí)稱(chēng)稱(chēng) 收收斂斂；若若極極限限不不存存在在，稱(chēng)稱(chēng) 發(fā)發(fā)散散. . dxxfb dxxfb . 設(shè)設(shè))(xf在在),( 上連續(xù)上連續(xù), ,若若 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂， 則稱(chēng)上述兩廣義積分之和為都收斂， 則稱(chēng)上述兩廣義積分之和為)(xf在在),( 上 的 廣 義 積 分 ， 記 作上 的 廣 義 積 分 ， 記 作 dxxf)(，即，即 dxx

35、f)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0ttdx)x(flim.dx)x(flimtt 0.兩極限均存在稱(chēng)兩極限均存在稱(chēng) 收斂，兩極限至少收斂，兩極限至少有一個(gè)不存在稱(chēng)有一個(gè)不存在稱(chēng) 發(fā)散發(fā)散. dxxf dxxf 上述各廣義積分統(tǒng)稱(chēng)為無(wú)窮限的廣義積分，上述各廣義積分統(tǒng)稱(chēng)為無(wú)窮限的廣義積分， 簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分. . . .FFtFlimtFlimdxxftt說(shuō)明說(shuō)明 （1）設(shè) ，則 xfxF dxxfa ；aFFaFtFlimt ；FbFtFlimbFt dxxfb.解解 . 100 xxedxe例例1 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分 . dxex0 這個(gè)廣義積分值的幾這個(gè)廣義積分值的幾t

36、時(shí)，圖中陰影部時(shí)，圖中陰影部其面積卻有極限值其面積卻有極限值1 1 .分向左無(wú)限延伸，但分向左無(wú)限延伸，但何意義是何意義是, ,當(dāng)當(dāng)yxo1txey .解解 00 xdxsinxdxsindxxsin.xcosxcos00極限不存在極限不存在 dxxsin是發(fā)散的是發(fā)散的 例例2 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分 . dxxsin若認(rèn)為積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)為若認(rèn)為積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)為奇函數(shù)，按定積分公式計(jì)算就錯(cuò)了奇函數(shù)，按定積分公式計(jì)算就錯(cuò)了. ,dxxflimdxxfBABA這里這里A A與與B B是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的. . （2 2）當(dāng)）當(dāng) 為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí), , 不

37、能按積不能按積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的定積分處理為零。因?yàn)榉謪^(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的定積分處理為零。因?yàn)?xf dxxf. .dxxflimdxxfbtatba 即即二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分 定義定義 設(shè)設(shè) 在在 上連續(xù)，在點(diǎn)上連續(xù)，在點(diǎn) 的右鄰的右鄰 域內(nèi)無(wú)界域內(nèi)無(wú)界 ,取取 ，若，若 存在，則稱(chēng)此極存在，則稱(chēng)此極 限為限為 在在 上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 b ,aat dxxflimbtat xf b ,a dxxfba xfa這時(shí)稱(chēng)廣義積分這時(shí)稱(chēng)廣義積分 收斂收斂；若極限不存在，；若極限不存在，稱(chēng)廣義積分稱(chēng)廣義積分 發(fā)散發(fā)散. dxxfba dxxfba . 類(lèi)似地，設(shè)類(lèi)似地，設(shè) 在在

38、上連續(xù)，在點(diǎn)上連續(xù)，在點(diǎn) 的的左鄰域內(nèi)無(wú)界，取左鄰域內(nèi)無(wú)界，取 ，若，若 存存在，則稱(chēng)此極限為在，則稱(chēng)此極限為 在在 上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 ，即，即 xf b ,abbt dxxflimtabt xf b ,a dxxfba . dxxflimdxxftabtba 這時(shí)稱(chēng)廣義積分這時(shí)稱(chēng)廣義積分 收斂；若極限不存在，收斂；若極限不存在，稱(chēng)廣義積分稱(chēng)廣義積分 發(fā)散發(fā)散. dxxfba dxxfba . 設(shè)設(shè) 在在 上除點(diǎn)上除點(diǎn) 外連續(xù)，在點(diǎn)外連續(xù)，在點(diǎn) 的的鄰域內(nèi)無(wú)界，若廣義積分鄰域內(nèi)無(wú)界，若廣義積分 和廣義積分和廣義積分 都收斂，則稱(chēng)上述兩廣義積分之和為都收斂，則稱(chēng)上述兩廣義積分

39、之和為 在在 上的廣義積分，記為上的廣義積分，記為 ， xf b ,acc dxxfca dxxfbc xf b ,a dxxfba .dxxflimdxxflimbtcttact dxxfdxxfdxxfbccaba 即即.這時(shí)稱(chēng)廣義積分這時(shí)稱(chēng)廣義積分 收斂，若上述兩極限收斂，若上述兩極限至少有一個(gè)不存在，則稱(chēng)廣義積分至少有一個(gè)不存在，則稱(chēng)廣義積分 發(fā)發(fā)散散. dxxfba dxxfba 說(shuō)明說(shuō)明 （1 1）在定義中在定義中 在點(diǎn)在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)都無(wú)的鄰域內(nèi)都無(wú)界，這些點(diǎn)均為界，這些點(diǎn)均為 的無(wú)界間斷點(diǎn)，也稱(chēng)為的無(wú)界間斷點(diǎn)，也稱(chēng)為 的瑕點(diǎn)，故無(wú)界函數(shù)的廣義積分也稱(chēng)為瑕積分的瑕點(diǎn)，故無(wú)界函數(shù)的廣

40、義積分也稱(chēng)為瑕積分. . xfc ,b ,a xf xf xfxF（2）設(shè)）設(shè)，則則當(dāng)當(dāng) 為為 的瑕點(diǎn)時(shí)，的瑕點(diǎn)時(shí)， ax xf ；aFbFtFlimbFdxxfatba.當(dāng)當(dāng) 為為 的瑕點(diǎn)時(shí)，的瑕點(diǎn)時(shí)， bx xf ,aFbFaFtFlimdxxfbtba,當(dāng)當(dāng) 為為 的瑕點(diǎn)時(shí)的瑕點(diǎn)時(shí) cx xf,bca dxxfdxxfdxxfbccaba cFcFaFbF.例例4 4 計(jì)算廣義積分 . axadx022.arctanatarctanlimxadxata20022解解 ， 是瑕點(diǎn)， 221xalimaxax .這個(gè)廣義積分的幾何意義是當(dāng)這個(gè)廣義積分的幾何意義是當(dāng) 時(shí)，時(shí)，圖中陰影部分趨近于

41、圖中陰影部分趨近于 的面積值的面積值. . atax yxotaa1221xay.例例5 5 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分 . dxx20211解解 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以 是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)， 2111xlimx1xdxxdxxdxx212102202111111而而 ， 111111102tlimdxxt所以所以 發(fā)散發(fā)散. dxx20211. 注注：若按定積分計(jì)算（不考慮若按定積分計(jì)算（不考慮 是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)),),就會(huì)導(dǎo)致以下的錯(cuò)誤就會(huì)導(dǎo)致以下的錯(cuò)誤. . 1x.xdxx2111120202(3)(3)若積分區(qū)間是有限的，必須先考察是定積分若積分區(qū)間是有限的，必須先考察是定積分還是瑕積分，如是瑕積

42、分而按定積分計(jì)算就會(huì)出還是瑕積分，如是瑕積分而按定積分計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，即使是按定積分求得的結(jié)果與按瑕積分現(xiàn)錯(cuò)誤，即使是按定積分求得的結(jié)果與按瑕積分求得的結(jié)果相同，前者的概念也是錯(cuò)誤的求得的結(jié)果相同，前者的概念也是錯(cuò)誤的. . .例例6 6 考察廣義積分考察廣義積分 的斂散性的斂散性. . 010pdxxp解解 是瑕點(diǎn)，積分區(qū)間是無(wú)窮區(qū)間，是瑕點(diǎn)，積分區(qū)間是無(wú)窮區(qū)間， 0 xa,dxxdxxdxxapapp011100.先考察先考察 的斂散性的斂散性. . 010pdxxap當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 1p0atlnlimalndxxta001當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 1p0apptaptalimpdxx11001

43、1111011p,p,pap. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng) 時(shí)發(fā)散；時(shí)發(fā)散； dxxap0110 p1p再考察再考察 的斂散性的斂散性. . 01pdxxap當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 1p0a,alntlnlimdxxta1當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 1p0apptapatlimpdxx11111.10111p,p,papdxxap11p10 p 當(dāng)當(dāng) 時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng) 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散. . 則廣義積分則廣義積分 發(fā)散發(fā)散. . dxxp01(4)(4)若積分區(qū)間是無(wú)窮區(qū)間，被積函數(shù)是無(wú)界函若積分區(qū)間是無(wú)窮區(qū)間，被積函數(shù)是無(wú)界函數(shù)的廣義積分，應(yīng)把廣義積分分拆成幾項(xiàng)，使數(shù)的廣義積分，應(yīng)把廣義積分分拆成幾項(xiàng)，使每項(xiàng)是

44、單純的無(wú)窮積分或瑕積分，再按各自的每項(xiàng)是單純的無(wú)窮積分或瑕積分，再按各自的積分方法計(jì)算積分方法計(jì)算. . .傳染病分析傳染病分析在傳染病流行期間人們被傳染患病的速度可以近似地在傳染病流行期間人們被傳染患病的速度可以近似地表示為表示為 rt這里這里 的單位是人的單位是人/ /天，天， 為傳染病開(kāi)始流行的天數(shù)。為傳染病開(kāi)始流行的天數(shù)。 （1 1）什么時(shí)候人們患病速度最快？）什么時(shí)候人們患病速度最快？（2 2）共有多少人患病？）共有多少人患?。縯ter5 . 01000.05001000)1000(5 . 05 . 05 . 0ttttteeter解解（1 1）設(shè)在）設(shè)在 t 時(shí)刻人們患病速度最快，

45、由題意得時(shí)刻人們患病速度最快，由題意得解得解得2t解得解得)21 (4000ex（2 2）設(shè)當(dāng)）設(shè)當(dāng) 共有共有 x 人患病人患病，由題意得，由題意得dttext205 . 010002t.三、小結(jié)三、小結(jié)無(wú)窮限的廣義積分無(wú)窮限的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分.一、一、 定積分應(yīng)用的微元法定積分應(yīng)用的微元法二、用定積分求平面圖形的面積二、用定積分求平面圖形的面積三、用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積三、用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積四、平面曲線的弧長(zhǎng)四、平面曲線的弧長(zhǎng).變力沿直線所做的功變力沿直線所做的功 badxxFW)(已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程 ba

46、dttvs)( badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 dA面積元素面積元素ab xyo)(xfy xdxx 用用A 表表示示小小區(qū)區(qū)間間,xxx 上上曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，則則dxxfdAA)( ，.用定積分來(lái)計(jì)算的量用定積分來(lái)計(jì)算的量A具有以下特點(diǎn)：具有以下特點(diǎn)：1量量A與函數(shù)與函數(shù) f(x)及及x的變化區(qū)間的變化區(qū)間 a, b有關(guān)。有關(guān)。 若若 f(x)常數(shù)，則常數(shù)，則 A= f(x)(ba)。1量量A對(duì)區(qū)間具有可加性。即：把對(duì)區(qū)間具有可加性。即：把a(bǔ)，b分成若干分成若干 部分區(qū)間，部分區(qū)間， 則則 A相應(yīng)地被分成了許多部分量之和。相應(yīng)地被分成了許多部分量之和。1在區(qū)間在

47、區(qū)間 a, b的任一個(gè)子區(qū)間的任一個(gè)子區(qū)間x, x+x 上，上， 部分量部分量Af (x)x。.設(shè)設(shè)A A是可用定積分表達(dá)的量，則計(jì)算量是可用定積分表達(dá)的量，則計(jì)算量A A的步驟為：的步驟為：定積分的微元法定積分的微元法 選擇函數(shù)選擇函數(shù) f(x)，并確定自變量，并確定自變量 x 的變化區(qū)間的變化區(qū)間a, b; 在在a, b內(nèi)考慮典型小區(qū)間內(nèi)考慮典型小區(qū)間x, x+dx，求出相應(yīng)于這，求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量個(gè)小區(qū)間的部分量A的近似值的近似值 f(x)dx。稱(chēng)。稱(chēng)f(x)dx為量為量A的微元，記為的微元，記為dA= f(x)dx。 計(jì)算計(jì)算 A= badxxf)(應(yīng)用方向：應(yīng)用方向： 平面

48、圖形的面積、體積及平面曲線的弧長(zhǎng)；平面圖形的面積、體積及平面曲線的弧長(zhǎng)；功、水壓力、功、水壓力、 引力和平均值等引力和平均值等.O y x x x d x a b ) ( x f y 用微元法將平面圖形的面積表示成定積分用微元法將平面圖形的面積表示成定積分.x O y x x d x a ) ( x f y ) ( x g y b .O y x y c d ( )xy ( )xy dyy . O y x x x d x 1 (1,1) ,d)(d2xxxA10103232. 313132d)(xxxxxA.例例 2 2 求求xy22及及4 xy所所圍圍成成圖圖形形面面積積. . 解解 作作圖圖

49、（如如下下圖圖） 求出交點(diǎn)坐標(biāo)為求出交點(diǎn)坐標(biāo)為)4 , 8(),2, 2(BA. . 觀察圖得知，宜取觀察圖得知，宜取 y為積分變量，為積分變量， y 變化范圍為變化范圍為 2 2，44（考慮一下，若（考慮一下，若取取 x為積分變量，即豎條切割，有什么不方便之處） ，為積分變量，即豎條切割，有什么不方便之處） ，于是得于是得 ,d21)4(d2yyyA.1861421d21)4(4242322yyyyyyAO y B A 4 -2 y x y+dy .解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 . 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)三、旋轉(zhuǎn)體的體積三、旋轉(zhuǎn)體的體積.一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成