二次函數(shù)中的競賽題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 20112012 初中培優(yōu)競賽講義（初三組）第 4 講 二次函數(shù)競賽訓練題1二次函數(shù)的圖象的頂點為 D，與 x 軸正方向從左至右依次交于 A，B 兩點，與 y 軸正方向cbxxy2交于 C 點，若ABD 和OBC 均為等腰直角三角形（O 為坐標原點） ，則 cb22在直角坐標系中有三點 A（0，1） ，B（1，3） ，C（2，6） ；已知直線上橫坐標為 0、1、2 的點分baxy別為 D、E、F.試求的值使得 AD2+BE2+CF2達到最大值.ba,3.（2004 年“TRULY信利杯”全國初中數(shù)學競賽試題）實數(shù) x、y、z 滿足 x+y+z=5，x

2、y+yz+zx=3，則 z 的最大值是_4.已知直線與拋物線相交于 A、B 兩點，O 為坐標原點，那么OAB 的面積等于32 xy2xy _。5.（2003 年“TRULY信利杯”全國初中數(shù)學競賽試題）已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c（其中 a 是正整數(shù)）的圖象經(jīng)過點 A（-1，4）與點 B（2，1） ，并且與 x軸有兩個不同的交點，則 b+c 的最大值為_6.設(shè)拋物線的圖象與 x 軸只有一個交點， （1）求 a 的值；（2）求的452122axaxy618323aa值.7. 通過實驗研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學生聽課的注意力指標數(shù)是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣激增，中

3、間有一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開始分散. 學生注意力指標數(shù) y隨時間 x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示（y 越大表示學生注意力越集中）. 當時，圖象是拋物100 x線的一部分，當和時，圖象是線段.2010 x4020 x精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)（1）當時，求注意力指標數(shù) y 與時間 x 的函數(shù)關(guān)系式；100 x（2）一道數(shù)學競賽題需要講解 24 分鐘. 問老師能否經(jīng)過適當安排，使學生在聽這道題時，注意力的指標數(shù)都不低于 36.8課題研究：現(xiàn)有邊長為 120 厘米的正方形鐵皮，準備將它設(shè)計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大 初三（1）班數(shù)學興趣小組經(jīng)

4、討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大為此，他們對水槽的橫截面進行了如下探索： （1）方案：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖 a） 若ACB=90，設(shè) AC=x 厘米，該水槽的橫截面面積為 y 厘米2，請你寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出 x 的取值范圍） ，并求出當 x 取何值時，y 的值最大，最大值又是多少？ 方案：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽（如圖 b） 若ABC=120，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案中的 y 的最大值比較大?。?）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供兩種方案，使你所設(shè)計的水槽的橫截面面積更

5、大畫出你設(shè)計的草圖，標上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程） 9如圖，拋物線與雙曲線相交于點 A，B. 已知點 A 的坐標為（1，4） ，點 B 在第2(0)yaxbx akyx三象限內(nèi)，且AOB 的面積為 3（O 為坐標原點）.（1）求實數(shù) a，b，k 的值；（2）過拋物線上點 A 作直線 ACx 軸，交拋物線于另一點 C，求所有滿足EOCAOB 的點 E 的坐標.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)10.如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點.2230ymxmxm mxAB、yC（1）請求出拋物線頂點的坐標（用含的代數(shù)式表示） ，兩點的坐標；MmAB、（2）經(jīng)探究可知，與的面積比不變，試求

6、出這個比值；BCMABC（3）是否存在使為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明BCM理由.11已知拋物線與動直線有公共點，且.2yxcxty) 12(),(11yx),(22yx3222221ttxx （1）求實數(shù) t 的取值范圍； （2）當 t 為何值時，c 取到最小值，并求出 c 的最小值.12.已知，且，求的最小值.0a0b0cacbacb242acb4213. 在自變量 x 的取值范圍 59x60 內(nèi)，二次函數(shù)的函數(shù)值中整數(shù)的個數(shù)是( )212yxxA.59 B.120 C.118 D.6014. 在直角坐標系中，拋物線與 x 軸交于 A，B 的兩點.若 A，B 兩點

7、到原點的距223(0)4yxmxm m離分別為 OA，OB，且滿足，則 m=_ _.1123OBOA15. RtABC 的三個頂點 A，B，C 均在拋物線上，并且斜邊 AB 平行于 x 軸若斜邊上的高為 h，則2xy （ ）（A）h1 （B）h=1 （C）1h216. 設(shè) 0k1，關(guān)于 x 的一次函數(shù)，當 1x2 時的最大值是（ ）)1 (1xkkxy（A）k （B） （C） （D）kk12 k1kk117. 平面直角坐標系中，如果把橫坐標、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，那么函數(shù)的圖象上整點1212xxy的個數(shù)是 （ ）精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 圖 6-2 y x 0 1 （A

8、）2 個 （B）4 個 （C）6 個 （D）8 個18. 函數(shù)的最小值是 1422xxy19.對，二次函數(shù)的最小值為（）220baab ，)(bxaxyA. B. C. D. 2)2(ba 2)2(ba 2)2(ba 2)2(ba 20.兩拋物線和與 x 軸交于同一點（非原點） ，且 a、b、c 為正數(shù)，222baxxy222bcxxyac，則以 a、b、c 為邊的三角形一定是（） A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形21.當 n=1，2，3，2003，2004 時，二次函數(shù)的圖象與 x 軸所截得的線1) 12()(22xnxnny段長度之和為（）A.

9、B. C. D. 2003200220042003200520042006200522.已知二次函數(shù)圖象如圖 6-2 所示，則下列式子： ab，ac，a+b+c，cbxaxy2a-b+c，2a+b，2a-b 中，其值為正的式子共有 個.23.如果當 m 取不等于 0 和 1 的任意實數(shù)時，拋物線在平面直角坐標系上都過兩mmxmxmmy3212個定點，那么這兩個定點間的距離為24.已知拋物線與 x 軸兩個交點 A、B 不全在原點的左側(cè)，拋物線頂點為 C，要使ABC1) 1(2xkxy恰為等邊三角形，那么 k 的值為25.設(shè) x 為實數(shù)，則函數(shù)的最小值是12156322xxxxy26.設(shè)二次函數(shù)

10、的圖象經(jīng)過點（2，-1） ， 且與 x 軸交于不同的兩點 A（x1，0） B（x2，0） ，qpxxy2精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)FEGABCDAtsONMHGFEDCBADtsOBtsOCtsOM 為二次函數(shù)圖象的頂點，求使AMB 面積最小時的二次函數(shù)的解析式.27.已知：3x2+2y2=6x, x 和 y 都是實數(shù)，求：x2+y2 的最大、最小值.28.中,B=，AC=1，求 BA+BC 的最大值及這時三角形的形狀.ABC6029.如圖，點、在直線上，點、在直線上，若，從如圖所示 的GDCaEFABbabRt GEF位置出發(fā)，沿直線向右勻速運動，直到與重合運動過程中與矩形重

11、合部分的面積bEGBCGEFABCD隨時間變化的圖象大致是（ ） S t30.（南京）如圖，、分別是邊長為的正方形的邊上的點，,直線 EF4ABCDBCCD，413CECF，EF交的延長線于，過線段上的一個動點作，垂足分別為，設(shè)，ABGFGHHMAGHNADMN，HMx矩形的面積為AMHNy 求與之間的函數(shù)關(guān)系式；yx 當為何值時，矩形的面積最大，最大面積為多少？xAMHN31.已知某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示（1）請說明圖中、兩段函數(shù)圖象的實際意義（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額 w（元）與批發(fā)量 m（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；在下圖的坐標系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什

12、么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，該經(jīng)銷商擬每日精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)-2-1 O1x2價 價 價 價 kg價價 價 價 價 價 價 價O602045售出 60kg 以上該種水果，且當日零售價不變，請你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計進貨和銷售的方案，使得當日獲得的利潤最大.764080價 價 價 價 價 價價 價 價 價 價 價 kg價O32函數(shù)的最小值為 m，則當 m 達到最大時，x_623) 12(222kkxkxy（2004 年全國初中數(shù)學聯(lián)賽）33設(shè) a，b 為實常數(shù)，k 取任意實

13、數(shù)時，函數(shù)的圖像與 x)3()(2) 1(2222bakkxkaxkky軸交于點 A（1，0） （1）求 a，b 的值（2）若函數(shù)與 x 軸的另一個交點為 B，當 k 變化時，求 AB 的最大值34.（2007 年福州）如圖所示，二次函數(shù)（a0）的圖象經(jīng)過點（1，2） ，且與 x 軸交點的2yaxbxc橫坐標分別為、，其中21，01，下列結(jié)論：1x2x1x2x；a1；.其中正確的有：（ ）420abc20ab284baac A、1 個 B、2 個 C、3 個 D、4 個 35.（2007 年天門）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為 6 米，寬度 OM 為 12 米，現(xiàn)在O 點為

14、原點，OM 所在直線為 x 軸建立直角坐標系（如圖所示） （1）直接寫出點 M 及拋物線頂點 P 的坐標； （2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使 A、D 點在拋物線上，B、C 點在地面 OM上為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿 AB、AD、DC 的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 36.（2009 年天津市）已知函數(shù)為方程的兩個根，點在212yxyxbxc，120yy1MT，函數(shù)的圖象上2y（）若，求函數(shù)的解析式；1132，2y（）在（）的條件下，若函數(shù)與的圖象的兩個交點為，當?shù)拿娣e為時，求 的值；1y2yAB，ABM112t（）若，當時，試確定三者之間的大小關(guān)系，并說明理由0101t T，37. 已知點 A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)為拋物線 yx2上位于三角形 ABC 內(nèi)（包括邊界）的一動點，BP 所在的直線交 AC 于 E， CP 所在的直線交 AB 于 F。將表示為自變量 t 的函數(shù)。BFCE38在直角坐標系 xOy 中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸的正半軸分別交于 A，B 兩點，bkxy0k （）xy且使得OAB 的面積值等于3OAOB（1）用 b 表示 k；（2