2011年高考一輪課時(shí)訓(xùn)練（理）11.2.2空間角的概念及其求法和空間距離的求法 （通用版）

1、第二節(jié) 空間角的概念及其求法和空間距離的求法一、選擇題1(2008年福建)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A. B. C. D.解析：連A1C1與B1D1交與O點(diǎn)，再連BO，則OBC1為BC1與平面BB1D1D所成角. sinOBC1，OC1，BC1sinOBC1.答案：D2(2008年四川延考)一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如右圖所示，B，C，D為原正方體的頂點(diǎn)，A為原正方體一條棱的中點(diǎn)在原來(lái)的正方體中，CD與AB所成角的余弦值為 ()A. B.C. D.解析：還原正方體如下圖所示，設(shè)AD1，則AB，AF1，BEEF2，AE3，CD

2、與AB所成角等于BE與AB所成角，所以余弦值為cosABE，選 D.答案：D3設(shè)E，F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點(diǎn)，在正方體的12條面對(duì)角線中，與截面A1ECF成60°角的對(duì)角線的數(shù)目是()A0 B2 C4 D6解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1(1,0,0)，E，C(0,1,0)設(shè)平面A1ECF的法向量為n(x，y，z)，則由·n0及·n0，可得xzy，于是可取n(1,2,1).(0,1,1)，(1,1,0)，而且可計(jì)算得到這四個(gè)向量與向量n所成的角為30°，于是這四個(gè)向量與

3、平面A1ECF所成的角為60°.而其它的面對(duì)角線所在的向量均不滿(mǎn)足條件答案：C4如右圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G(01)，則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為()A. B.C. D.解析：因?yàn)锳1B1EF，G在 A1B1上，所以G到平面D1EF的距離即是A1到面D1EF的距離，即是A1到D1E的距離，D1E，由三角形面積可得所求距離為，故選D.答案：D5(2009年重慶卷)已知二面角l的大小為50°，P為空間中任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與平面和平面所成的角都是25°的直線的條數(shù)為()A

4、2 B3 C 4 D5答案：B二、填空題6(2009年四川卷)如右圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是_解析：作BC的中點(diǎn)N，連接AN，則AN平面BCC1B1，連接B1N，則B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，B1NBM，AB1BM.即異面直線AB1和BM所成的角的大小是90°.答案：90°7(2008年四川延考)已知AOB90°，C為空間中一點(diǎn)，且AOCBOC60°，則直線OC與平面AOB所成角的正弦值為_(kāi)解析：由對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)C在平面AOB內(nèi)的射影D必在AOB的平分線上，作D

5、EOA于E，連結(jié)CE，則由三垂線定理CEOE，設(shè)DE1OE1，OD，又COE60°，CEOEOC2，所以CD，因此直線OC與平面AOB所成角的正弦值sinCOD.答案：8PA，PB，PC是從P點(diǎn)引出的三條射線，他們之間每?jī)蓷l的夾角都是60°，則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為_(kāi)答案：三、解答題9如右圖所示，等腰三角形ABC的底邊AB6，高CD3，點(diǎn)E是線段BD上異于B、D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BEx，V(x)表示四棱錐PACEF的體積 (1)求V(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，V(x)取得最大值？

6、(3)當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值解析：(1)由折起的過(guò)程可知，PE平面ABC，SABC9，SBEF·SBDCx2，V(x)x(0x3)(2)V(x)，所以x(0,6)時(shí)，V(x)0 ，V(x)單調(diào)遞增；6x3時(shí)V(x)0 ，V(x)單調(diào)遞減；因此x6時(shí)，V(x)取得最大值12；(3)過(guò)F作MFAC交AD于M，則，MB2BE12，PM6，MFBFPFBC，在PFM中， cosPFM，異面直線AC與PF所成角的余弦值為.10(2008年四川延考卷)如右圖所示，一張平行四邊形的硬紙片ABC0D中，ADBD1，AB.沿它的對(duì)角線BD把BDC0折起，使點(diǎn)C0到達(dá)

7、平面ABC0D外點(diǎn)C的位置(1)證明：平面ABC0D平面CBC0；(2)如果ABC為等腰三角形，求二面角ABDC的大小解析：(1)證明：因?yàn)锳DBC0BD1，ABC0D，所以DBC090°，ADB90°.因?yàn)檎郫B過(guò)程中，DBCDBC090°，所以DBBC，又DBBC0，故DB平面CBC0.又DB平面ABC0D，所以平面ABC0D平面CBC0.(2)法一：如右圖，延長(zhǎng)C0B到E，使BEC0B，連結(jié)AE，CE.因?yàn)锳D綊BE，BE1，DB1，DBE90°，所以AEBD為正方形，AE1.由于AE，DB都與平面CBC0垂直，所以AECE，可知AC1.因此只有ACAB時(shí)，ABC為等腰三角形在RtAEC中，CE1，又BC1，所以CEB為等邊三角形，CBE60°.由(1)可知，BDBC，BDBE，所以CBE為二面角ABDC的平面角，即二面角ABDC的大小為60°.法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DB分別為x軸正半軸和y軸正半軸，建立如右圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,0,0)由(1)可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,1，z)，其中z0，則有x2z21.因?yàn)锳BC為等腰三角形，所以AC1或AC.若AC1，則有(x1)21z21.