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1、直線和平面垂直的判定定理2直線和平面垂直的性質(zhì)定理教案教學(xué)目的1 .進(jìn)一步理解直線與平面垂直定義的兩種用法;2 .理解并掌握直線與平面垂直的判定定理2;3 .理解并掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)這節(jié)課的重點(diǎn)是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握直線和平面垂直的定義和判定定理.這節(jié)課的難點(diǎn)是直線和平面垂直的性質(zhì)定理的證明.b5E2RGbCb5E2RGbC教學(xué)設(shè)計(jì)過程一、復(fù)習(xí),講練上節(jié)課所留的作業(yè)師:先請(qǐng)一位同學(xué)講他所做的第32頁習(xí)題四中的第1題.(教師寫出已知、求證并畫出直觀圖)已知:/XABCl1AB,lAC(如圖1)求證:lBC生:因?yàn)閘1AB,l1AC所以l,平面ABC(線面垂直的判定定理
2、)故lLBC.(線面垂直的定義)師:對(duì),在上一節(jié)我們講直線和平面垂直的定義時(shí),就強(qiáng)調(diào)過在立體幾何中這是一個(gè)很重要的定義,我們一定要很好地理解、應(yīng)用.線面垂直的定義既是線面垂直最基本的判定方法,在線面垂直判定定理的證明思路就是回到定義去.關(guān)于這一應(yīng)用在上節(jié)課中已經(jīng)做了詳細(xì)的說明.線面垂直的定義又是線面垂直的最基本的性質(zhì),當(dāng)我們知道直線和平面垂直后,這平面的垂線就和平面內(nèi)任何一直線都垂直,所以應(yīng)用線面垂直的定義是證明兩直線垂直常用的方法之一.plEanqFDplEanqFD師:現(xiàn)在我們來看第32頁習(xí)題四的第2題.請(qǐng)一個(gè)同學(xué)回答.(寫出已知、求證和根據(jù)已知條件而畫的直觀圖,我們叫它為起始圖)DXDi
3、Ta9EDXDiTa9E已知:直線a/平面&直線b,平面a.(如圖2(1)求證:ba.生:過a作平面就設(shè)Bn=ac,因?yàn)閍/%所以a/c.(線面平行的性質(zhì)定理)又因?yàn)閎,%因止匕b,c,故b,a.師:我們?cè)鯓酉氲揭^a作平面洶呢?生:這是線面平行的性質(zhì)定理的要求.因?yàn)樵诰€面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線就和交線平行.在圖中沒有這條交線,所以我們就要作平面Bn.c,作出這條交線,以滿足定理的要求a平行交線C.RTCrpUDGRTCrpUDG師:這是定理要求我們作輔助面.在立體幾何解題過程中,我們經(jīng)常要作輔助線、輔助面,我們根據(jù)什么原則來
4、作輔助線、輔助面呢?有兩條原則:一是用概念來指導(dǎo)作圖,這在求異面直線所成的角時(shí),我們?cè)磸?fù)強(qiáng)調(diào);二是用定理來指導(dǎo)作圖.這就是今天我們?cè)谧C明這個(gè)題時(shí)要明確的.這是在立體幾何中作輔助線、輔助面的兩條基本原則,遵循這兩條原則就說明解題的思路是正確的,就使解題的正確性有了基本的保證;反之,如果違背了這兩條原則,那就說明了第一步就走錯(cuò)了方向.這一題肯定不可能做對(duì).所以作輔助線、輔助面這兩條原則我們一定要理解、記住,并且在解題過程中應(yīng)用.當(dāng)然,以后隨著課程內(nèi)容不斷的展開,我們還會(huì)反復(fù)強(qiáng)調(diào)這兩條原則.5PCzVD7H5PCzVD7H以前我們還講過要使直觀圖有好的視覺效果,還要注意視角的選擇,這一題的起始圖(
5、根據(jù)已知條件所畫出的直觀圖)看起來它的視覺效果并不好,但當(dāng)我們證完這道題,看到它的終止圖(解完題后的直觀圖)視覺效果就比較好,所以視角選擇好與不好要以終止圖的視覺效果好與不好為標(biāo)準(zhǔn).這樣在解完一道題后,有時(shí)要重新設(shè)計(jì)起始圖的畫法,以保證終止圖有最好的視覺效果.jLBHrnAIjLBHrnAI二、直線與平面垂直的判定定理2.師:這是課本第25頁白例1,我們把它正式升格為判定定理2.我們來看下面的模型就很容易了解定理的內(nèi)容.(這時(shí)拿出兩根小棍平行地放在課桌面上,并使其中一根與桌面垂直,讓學(xué)生觀察另一根與桌面的關(guān)系)a/b,如果a,平面那么b與平面a是什么關(guān)系?xHAQX74JxHAQX74J生:b
6、也垂直平面0L師:這就是線面垂直的判定定理2.圖3判定定理2如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于同一個(gè)平面.已知:a/b,a父(如圖3)求證:ba.師:判定定理1、判定定理2,這里的1,2不是人為的排列,而是有它內(nèi)在的邏輯關(guān)系,也就是說我們可以應(yīng)用判定定理1來證明判定定理2,那么我們?nèi)绾斡门卸ǘɡ?來證明判定定理2呢?LDAYtRyKLDAYtRyK生:為了用判定定理1,我們可以首先在平面咕作兩條相交直線min.因?yàn)閍la,所以amr1an.(線面垂直的定義)又因?yàn)閍/b,所以bmbin.(一條直線垂直于平行線中的一條也就垂直于另一條)故ba.(線面垂直的判定定理1)三、
7、直線和平面垂直的性質(zhì)定理師:現(xiàn)在我們來研究直線和平面垂直的性質(zhì)定理,先來看模型.(這時(shí)教師用兩根小棍都垂直于桌面,讓學(xué)生觀察、回答)Zzz6ZB2LZzz6ZB2L生:這兩直線平行.師:這就是直線和平面垂直的性質(zhì)定理.直線和平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.圖4已知:a,平面%(如圖4)b,平面%求證:a/b.師:我們講過了線面垂直的判定定理1、2,也曾經(jīng)在講線面垂直的定義時(shí),把課本中的兩句話(第24頁)升格為兩個(gè)定理,即:dvzfvkwMdvzfvkwM定理過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直.定理過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.現(xiàn)在可以根據(jù)上述定理來
8、證明線面垂直的性質(zhì)定理:生:可用反證法,假設(shè)b1a,設(shè)bC環(huán)O,過O點(diǎn)作b/a,因?yàn)閍,%所以b工a(判定定理2),所以過點(diǎn)O有兩條直線b,b都與平面通直,與垂線的唯一性矛盾,所以b水a(chǎn)不能成立,所以b/a.rqyn14ZNrqyn14ZN師:用反證法證明可以,也可以用同一法,即在證明的開始不做假設(shè)bla,證完ba后,根據(jù)垂線的唯一性b應(yīng)與b重合,所以b/a.當(dāng)然,對(duì)反證法和同一法,我們主要要掌握反證法,對(duì)同一法只要求有所了解.EmxvxOtOEmxvxOtO四、兩個(gè)定義1 .點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足問的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(教師可先用一根小棍垂直于
9、桌面演示,然后給點(diǎn)到平面的距離下定義,下完定義后可指出,點(diǎn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離,即這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離)SixE2yXPSixE2yXP2 .平行的直線和平面的距離一條直線和一個(gè)平面平行,這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離,叫做這條直線和平面的距離.6ewMyirQ6ewMyirQ(教師可先用一根小棍和平面平行,演示讓學(xué)生觀察,如何給平行的直線和平面的距離下定義,定義給出后,教師可指出平行的直線和平面的距離可能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離,當(dāng)然也就可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離)kavU42VRkavU42VR這:在這定義中,是這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線和平面的距離,那會(huì)不會(huì)因在直線上
10、所取的點(diǎn)不同,而使距離不同呢?y6V3ALoSy6V3ALoS生:不會(huì),它們之間的距離都相等.師:對(duì),但為了在理論上說明這個(gè)定義的合理性,我們來看下面這個(gè)例題例已知:l/平面內(nèi)ACl,BCl,AA工a于A;BBTB.(如圖5)求證:AA=BB.生:因?yàn)锳A工a,BBa,所以AA/BB(性質(zhì)定理),所以過AA;BB作平面3設(shè)BA七AB,因?yàn)閘/a,所以l/AB,故AA=BB.(平行線間的距離處處相等)M2ub6vSTM2ub6vST圖5這:通過這個(gè)例題的證明,我們就了解了定義的合理性.可以在直線上任意取點(diǎn).這對(duì)于以后我們求平行的直線和平面的距離,提供了很好的思路.0丫5CfmU0YujCfmU今
11、天我們講了直線和平面垂直的第2個(gè)判定定理,講了直線和平面垂直的性質(zhì)定理,在這個(gè)基礎(chǔ)上還講了點(diǎn)到平面的距離、平行的直線和平面的距離兩個(gè)定義.eUts8ZQVeUts8ZQV作業(yè)課本第32頁習(xí)題四第3,5,8題.補(bǔ)充題1 .已知:平面a印面片直線l.ACa,AB,行B,Bd行C.求證:Adl.提示:證明直線l,平面ABC2 .已知:ABt圓O勺直徑,C是圓O上不同于府口B的點(diǎn),PA!OO斤在的平面求證:BCLPC提示:證明BCL平面PAC3,已知:在RtABCK/AC氏90,PB,平面ABCBDLPCTD.求證:(1)ACLBR(2)BDLPA提示:(1)證明AB1平面PBC(2)證明BDL平面P
12、AC課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明1立體幾何第一章直線和平面主要研究的是空間兩條直線、空間直線和平面、空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系,其中以直線與直線的垂直、直線與平面的垂直、平面與平面垂直為重點(diǎn)而直線與平面的垂直是其中的最重要的一個(gè)環(huán)節(jié),它是三垂線定理及其逆定理、兩平面垂直的判定和性質(zhì)的基礎(chǔ)所以對(duì)直線與平面垂直的定義與判定定理一定要讓學(xué)生深刻理解、牢固記憶、靈活應(yīng)用sQsAEJkWsQsAEJkW2直線與平面垂直的定義,既是直線與平面垂直的最基本的判定方法,別的判定定理都是根據(jù)定義和有關(guān)定理經(jīng)過演繹推理而得,在這個(gè)意義上,我們說直線與平面垂直的定義是最基本的判定方法;直線與平面垂直的定義又是直線與平面垂直最基本的
13、性質(zhì)別的性質(zhì)定理是根據(jù)定義和有關(guān)定理經(jīng)過演繹推理而得,在這個(gè)意義上,我們說直線與平面垂直的定義是直線與平面最基本的性質(zhì)GMsIasNXGMsIasNX為了使學(xué)生理解直線與平面垂直的定義這兩種用法,以平面幾何中的平行四邊形的定義為例平行四邊形的定義既是平行四邊形的最基本的判定方法,也是平行四邊形的最基本的性質(zhì)別的判定定理和性質(zhì)定理都是根據(jù)定義和有關(guān)定理經(jīng)過演繹推理而得TIrRGchYTIrRGchY在這里一定要讓學(xué)生深刻的理解并掌握應(yīng)用直線與平面垂直的定義是證明兩直線垂直最常用的方法3在課本第24頁給直線與平面垂直下定義后的這兩句話:“過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直;過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面
14、和一條直線垂直”是兩個(gè)定理關(guān)于垂線的唯一性和垂面的唯一性的這兩個(gè)定理是可以證明的關(guān)于這兩個(gè)定理的證明可以參看1989年出版的立體幾何全一冊(cè)(甲種本)教學(xué)參考書第47頁第11題(1)、(2)要讓學(xué)生了解這兩個(gè)定理,并會(huì)應(yīng)用這兩個(gè)定理,在證明直線和平面垂直的性質(zhì)定理時(shí),用到垂線的唯一性,以后在證課本第38頁習(xí)題五第4題時(shí)還要用到垂線的唯一性和垂面的唯一性7EqZcWLZ7EqZcWLZ為什么課本在這里只是提出兩個(gè)唯一性沒有明確是兩個(gè)定理也沒有證明呢?這是課本的編者為了降低學(xué)習(xí)立體幾何的難度而這樣處理的但我以為還是明確垂線的唯一性、垂面的唯一性是兩個(gè)定理,但可以不予證明而直接應(yīng)用為好lzq7IGf0
15、lzq7IGf04前面我們提出了“視覺語言”這個(gè)概念,既然作為一種“語言”它應(yīng)該而且必須與思維過程相一致所以這里我們又提出“起始圖”(根據(jù)題中的條件而出現(xiàn)的“視覺語言”)和“終止圖”(解完題后,或思維過程完結(jié)時(shí)出現(xiàn)的“視覺語言”)這兩個(gè)概念zvpgeqJ1zvpgeqJ1前面我們也提到過為了使“視覺語言”達(dá)到最佳的視覺效果,必須注意視角的選擇,我們認(rèn)為視角的選擇要以終止圖有最佳的視覺效果為標(biāo)準(zhǔn),這樣有時(shí)會(huì)出現(xiàn)起始圖視覺效果較好而終止圖視覺效果并不好;或者起始圖視覺并不太好而終止圖視覺效果較好這樣不一致情況,所以這樣就要求教立體幾何的教師對(duì)于直觀圖要精心地、反復(fù)地設(shè)計(jì),務(wù)必使終止圖有最佳的視覺效
16、果,這樣才能使這個(gè)“視覺語言”起到它應(yīng)有正面效應(yīng);否則,這個(gè)“視覺語言”不但不能起到它應(yīng)有正面效應(yīng),相反,卻起到負(fù)面效應(yīng)增加了學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何中的困難這是每一個(gè)教立體幾何的教師務(wù)必要理解并切實(shí)掌握的基本功NrpoJac3NrpoJac3起始圖和終止圖不僅僅是形式上的不同,而且它們之間還應(yīng)該有“時(shí)間差”因?yàn)檫@兩個(gè)圖是與思維過程相一致,思維既然以一個(gè)過程而出現(xiàn),所以與這抽象思維過程相一致,或者說要以具體形象來表現(xiàn)這個(gè)抽象思維過程的“視覺語言”當(dāng)然也要以一個(gè)過程而展現(xiàn)這兩個(gè)過程當(dāng)然是一致的,但是“視覺語言”展現(xiàn)的過程應(yīng)該比思維過程慢“半拍”,而不是同步,也就是說動(dòng)腦先于動(dòng)手我們說以概念指導(dǎo)作圖,以
17、定理指導(dǎo)作圖,也就是說在我們動(dòng)手作圖前,腦中得先有有關(guān)概念和定理1nowfTG41nowfTG4在一篇文章中,我看到中國畫畫家在總結(jié)他們的創(chuàng)作國畫經(jīng)驗(yàn)時(shí),用“蓄圖在胸、意在筆先”這八個(gè)字來概括當(dāng)我看過這篇文章后,這八個(gè)字就牢記在心,感到對(duì)于立體幾何的教學(xué)很有啟發(fā)、很有教益我們?cè)谀X中所蓄的圖應(yīng)該是由起始圖到終止圖一個(gè)不斷的展現(xiàn)過程,而以終止圖為主這里的所謂意,就是思想,就是有關(guān)的概念和定理fjnFLDa5fjnFLDa5最后我還想以江澤民同志在1998年一次講話中所引用的李白的春夜宴桃李園序“夫天地者,萬物之逆旅也,光陰者,百代之過客也”后說李白已經(jīng)意識(shí)到了四維空間明確指出“視覺語言”是要在二維
18、平面來展現(xiàn)“四維空間”。不論用什么手段進(jìn)行教學(xué),一定要把這“時(shí)間差”表現(xiàn)出來即展現(xiàn)出一個(gè)隨時(shí)間的變化而變化的有“動(dòng)感”的空間圖形tfnNhnE6tfnNhnE6當(dāng)然有的立體幾何題的起始圖和終止圖是同一個(gè)圖形,不要作任何的輔助線和輔助面,如這節(jié)課所講的課本第32頁習(xí)題四中的第1題但伴隨著思維過程的進(jìn)展,作為對(duì)起始圖的認(rèn)識(shí)到對(duì)作為終止的認(rèn)識(shí)(由直線與直線的垂直,到直線與平面的垂直,再到直線與直線的垂直)也同樣有一個(gè)過程HbmVN777HbmVN777科學(xué)和藝術(shù)在一定條件下是可以統(tǒng)一的記得在新華月報(bào)上曾看到有名的華人物理學(xué)家請(qǐng)中國有名的美術(shù)家用他們的繪畫來展現(xiàn)高深抽象的物理內(nèi)容因此在立體幾何教學(xué)中我們有可能也有必要把科學(xué)和藝術(shù)統(tǒng)一起來,即所畫的每一個(gè)空間圖形既要展示它所包含的數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)涵,又要展示它的形式的藝術(shù)的美把數(shù)學(xué)中(立體圖形)的美
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