直線和圓錐曲線的交點及弦長

1、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系廠V"例32.AB為過橢圓>+=1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的右核心，那么AFB的面積crlr最大值是()(A)Z?2(B)ab(C)ac(D)bc五、圓錐曲線綜合問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情形：相交、相切、相離.直線方程是二元一次方程，圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組，通過消元取得一個一元二次方程，直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件別離是>()、=0、A<0.直線與圓錐曲線相交所得的弦長直線具有斜率加直線與圓錐曲線的兩個交點坐標(biāo)別離為4%/).8(占,乃

2、),那么它的弦長IA闿=J1+笳忖一|="+3)(+?)2_4內(nèi)£=+?N必I注:實質(zhì)上是由兩點間距離公式推導(dǎo)出來的，只是用了交點坐標(biāo)設(shè)而不求的技術(shù)罷了(因為y-y2=k(xx-Xj),運用韋達定理來進行計算.當(dāng)直線斜率不存在是，那么|A卻=舊一對.注：1.圓錐曲線，一要重視概念，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方式，二要數(shù)形結(jié)合,既熟練把握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運算。2 .當(dāng)涉及到弦的中點時，通常有兩種處置方式：一是韋達定理：二是點差法.3 .圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑試探:一是成立函數(shù)，用求值域的方式求范圍：二是成立不等式，通過解不等式求范闈

3、。例32.AB為過橢圓二+二=1中心的弦，F(xiàn)（c,0）為橢圓的右核心，那么的面積crb一最大值是（）（A）b?（B）砧（C）uc（D）機，例33假設(shè)直線，=履+2與雙曲線V一丁=6的右支交于不同的兩點，那么k的取值范圍是（）（A）（孚.半）（8）（0.半）（C）（一半.0）（0）（一半一）例34.假設(shè)雙曲線X2右支上一點P（a,b）到直線y=x的蹌離為&，那么”+/?的值是（）.（A）-，（B）-（C）_1或,（D）2或一22222例35拋物線產(chǎn)/上的點到直線2a-y=4的距離最近的點的坐標(biāo)是()1139(A)(-,-)(B)(1J)(0(-,-)(D)(2,4)例36拋物線.V2=4

4、x截直線)，=2x+Z所得弦長為3石，那么k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4例37若是直線y=k(x-l)與雙曲線/一/=4沒有交點，那么女的取值范圍是.例38已知拋物線y=2/上兩點43，以），8。2,乃）關(guān)于直線）'=x+"i對稱，且X/）=一!，那么小的值為-2四、求點的軌跡問題例25.B例26.D例27.C例28.A例29.B例30.%+16尸0（橢圓內(nèi)部份）例31.y2=-Sx五、圓錐曲線綜合問題例32解析：S*以=2S4",.當(dāng)點A位于短軸極點處面積最大.答案：D例33.D例34.B例35.B數(shù)形結(jié)合估算出D例36D；rI261273例或女

5、33例38,2例39解：設(shè)A8：y=-Lx+,明代入雙曲線方程得11F+4加tYG2+i）=o,2那個地址/=（4加2-4X11-4（wr+/）J=/6（2/+）>o恒成立，4m設(shè)AG/J7）,B&2方2），A8的中點為A/（必g），則X+肛=一丁，：2m112mx（）=>yo=-x（）+m=,11211若A、B關(guān)于直線v=2x對稱，那么M必在直線y=2x上，:工竺=-±"得m=1，由雙曲線的對稱性知，直線與雙曲線的交點的A、B必11112關(guān)于直線y=2x對稱.2191存在A、B且求得A（三，三，）vnviivnvii例39雙曲線3f-«=l上

6、是不是存在關(guān)于直線產(chǎn)2x對稱的兩點A、B?假設(shè)存在，試求出A、B兩點的坐標(biāo)：假設(shè)不存在，說明理由.1.圓錐曲線的弦長求法設(shè)圓錐曲線C：f（x,丫）=0與直線1：丫=1+1）相交于八（西，），|）、8（不，乃）兩點，那么弦長|AB|為:（1）心=+Y氏F=Jl+k>J（勺+町立-4町幺2或|AB|=J1+J|力-y2|=l+p-*/仇+七>-4yM（2）假設(shè)弦AB過圓錐曲線的核心F,那么可用焦半徑求弦長，AB=|AF+;BF|.例1過拋物線），=-1/的核心作傾斜角為。的直線/與拋物線交于A、B兩點，旦|AB=8,分析一：由弦長公式易解.解答為：拋物線方程為x2=-4y,核心為(0,

7、-1).設(shè)直線1的方程為y-(-l)=k(x-0),即y=kx-l.將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0.Axl+x2=-4,xl+x2=-4k.由IAB=8得：8=Jl+%2J(一44丫一4x1x(4)，k=±l又有ianar=±l得：=巳或。=些.44分析二:利用焦半徑關(guān)系.=一月+g怛日=一為+§二.AB=-(y1+y2)+p-(kx1-1)+(kx2-l)+p=k(xi+x£)+2+p.由上述解法易求得結(jié)果，可由同窗們自己試試完成.2.與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)的問題在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是成立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代

8、數(shù)方式求出相應(yīng)的最值.注意點是要考慮曲線上點坐標(biāo)G,y)的取值范圍.例2已知/+4(y1)2=4,求：x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值.解一：將X2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y=-3(7-1)2+y.由點(x,y)知足V+4(y-1)2=4知：4(y-1)24即y-l|Wl，0WyW2.,.當(dāng)y=g時,.+力皿=,當(dāng)y=0時,(x2+y2)min=0.解二：分析：顯然采納中方式行不通.若是令"x+y,那么將此代入Y+4(yT)2=4中得關(guān)于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值.令x+y=u,那么有x=u-y,代入/+4