《二次函數(shù)的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計

1、二次函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)知識與技能：能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān) 系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大（或?。┲担囵B(yǎng)學(xué)生 解決問題的能力.過程與方法：應(yīng)用已有的知識，經(jīng)過自主探索和合作交流嘗試解決 問題.情感、態(tài)度與價值觀：在經(jīng)歷和體驗數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)的過程中，提高 思維品質(zhì)，在勇于創(chuàng)新的過程中樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.重點難點重點:二次函數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用.難點：從現(xiàn)實問題中建立二次函數(shù)模型，學(xué)生較難理解和掌握.教學(xué)過程一、問題引入在日常生活、生產(chǎn)和科研中，常常會遇到求什么條件下可使面積最 大、利潤最大、材料最省、時間最少、效率最高等問題，這類問題稱為最優(yōu)化問題.其

2、中一些問題可以歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小 值.如何利用二次函數(shù)分析解決這樣的問題呢 ？本節(jié)課我們來研究二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用.做一做：從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度h（單位:m）與 小球的運動時間t（單位:s）之間的關(guān)系式是：h=30t-5t 2（0Wt W6）.小球運動的時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？我們可以借助函數(shù)圖象解決這個問題，畫出函數(shù)h=30t-5t 2（0 <t < 6）的圖象，如圖所示，可以看出這個函數(shù)的圖象是一條拋物線的一 部分.這條拋物線的頂點是這個函數(shù)圖象的最高點，也就是說，當(dāng)t取 頂點的橫坐標(biāo)時，這個函數(shù)有最大值.因此，當(dāng)

3、t=-=-=3時,h有最大值二45,也就是說，小球運動的時間是3s時，小球最高，小球運動中的最大高度是45 m.一般地，當(dāng)a>0（或a<0）時,拋物線y=ax2+bx+c的頂點是最低（或高）點，也就是說，當(dāng)x=-時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最?。ɑ虼螅┲?二、新課教授問題1.用總長為60 m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當(dāng)l是多少時,場地面積眼大？師生活動：學(xué)生積極思考，找到等量關(guān)系式，并嘗試解答.教師巡視、指導(dǎo)，最后給出解答過程.解:矩形場地的周長是60 m, 一邊長I,則另一邊長為（-1）,場地的 面積S=l（30-I）, 即S=-I 2+30

4、I（0<I<30）.因此，當(dāng)I=-=-=15（m）時,S有最大值=225附）.即當(dāng)I是15 m0i,場地面積S最大,最大值是225 m2.問題2.某商品現(xiàn)在的售價是每件60元，每星期可賣出300牛，市場 調(diào)查反映，如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元, 每星期可多賣出20件.已知商品的進(jìn)價為每件40元，如何定價才能使 利潤最大？師生活動：教師分析存在的問題，書寫解答過程.分析：調(diào)整價格包括漲價和降價兩種情況.我們先來看漲價的情 況.設(shè)每件漲價x元，則每星期售出商品的利潤y隨之改變.我們先來確 定y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式，漲價x元時，每星期少賣10x件，實際賣出 (

5、300-10X)元.銷售額為(60+x)(300-10x)元，買進(jìn)商品需付 40(300-10x)元.因此，所得利潤為y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0< x< 30)即 y=-10x2+100x+600=-10(x2-10x)+600=-10(x 2-10x+25)+850=-10(x-5) 2+850(0<x<30)所在，在漲價的情況下，漲價5元，即定價65元時,利潤最大，最大為 850元.思考：在降價的情況下，最大利潤是多少？(降價2.5元，即定價57.5元時，利潤最大，最大為6 125元.)思考：由上面的討論及現(xiàn)在的銷售情況，你知道

6、如何定價才能使利 潤最大了嗎？(在漲價的情況下，定價65元；在降價的情況下，定價57.5元.)問題3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2 m,水面寬4 m.若水面下降1 m,水面寬度增加多少？師生活動：學(xué)生完成解答.教師分析存在的問題，書寫解答過程.分析：我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就 可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù).為解題簡便，以拋物線的對稱 軸為y軸建立直角坐標(biāo)系.可設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y=ax2.由拋物線經(jīng)過點(2,-2),可得-2=aX 2 ,解得 a=-,這條拋物線表示的二次函數(shù)為y=-x2.水面下降1 m,水面所在位置的縱坐標(biāo)為y=-3，

7、代入上述表達(dá)式得 x=±.故水面下降1 m,水面寬度增加(2-4)m.讓學(xué)生回顧解題過程，討論、交流、歸納解題步驟：(1)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；(2)研究自變量的取值范圍；(3)研究所得的函數(shù)；（4）檢驗x的取值是否是自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關(guān)的值；（5）解決提出的實際問題.學(xué)生嘗試從前面四道題中找到解題規(guī)律.教師補充學(xué)生回答中的不足，及時糾正.三、鞏固練習(xí)1 .已知二次函數(shù)y=（3+x）（1-2x）,當(dāng)乂=時，函數(shù)有最 值，為.2 .二次函數(shù)y=x2-8x+c的最小值為0,那么c的值等于（）A.4B.8C.-4D.163 .沿墻用長32 m的竹籬笆圍成一個矩形的

8、護(hù)欄（三面），怎樣圍才 能使矩形護(hù)欄面積最大渥大面積為多少？試畫出所得函數(shù)的圖象.4 .某旅社有客房120間，每間客房的日租金為50元，每天都客滿，旅 社裝修后要提高租金，經(jīng)市場調(diào)查，如果一間客房的日租金增加5元， 則客房每天出租會減少6間，不考慮其他因素，旅社將每間客房的日租 金提高到多少元時，客房日租金的總收入最高？比裝修前的日租金總 收入增加多少元？5 .某產(chǎn)品每件的成本價是120元，試銷階段，每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（臺）之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示x（元）130150165y（臺）705035并且日銷售量y是每件售價x的一次函數(shù).(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)為

9、獲得最大利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日 銷售的利潤是多少？四、課堂小結(jié)1 .得出用二次函數(shù)知識解決實際生活中的最值問題的一般步驟：(1)列出二次函數(shù)的表達(dá)式，并根據(jù)自變量的實際意義確定自變量 的取值范圍；(2)在自變量的取值范圍內(nèi)，運用公式法或通過配方求出二次函數(shù) 的最大值或最小值.2 .解題循環(huán)圖：抽象運用實際問題數(shù)學(xué)問題-間我的解轉(zhuǎn)化教學(xué)知識返回解釋檢驗教學(xué)反思本節(jié)課充分運用導(dǎo)學(xué)提綱，教師提前通過一系列問題的設(shè)置引導(dǎo) 學(xué)生課前預(yù)習(xí).在課堂上通過對一系列問題的解決與交流，讓學(xué)生通 過二次函數(shù)掌握解決面積最大、利潤最大等這一類題的方法，學(xué)會用 建模的思想去解決和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題.所以在例題的處理中適當(dāng)?shù)亟档土穗y度，讓學(xué)生的思維有一個拓 展的空間.在訓(xùn)練的過程中，通過學(xué)生的獨立思考與小組合作探究相 結(jié)合，使學(xué)生的分析能力、表達(dá)能力及思維能力都得到訓(xùn)練和提高.同時也注重對解題方法與解題模式的歸納與總結(jié)，并適當(dāng)?shù)貪B透