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1、第五章 高階微分方程§1 幾個例子一、【內(nèi)容簡介】本節(jié)結(jié)合幾個具體的實例,介紹了與高階微分方程有關(guān)的定解條件、定解問題和高階微分方程的降階技巧。二、【關(guān)鍵詞】 自治微分方程三、【目的與要求】掌握高階微分方程的降階技巧,能熟練地運用降階法解二階方程,會用已有知識建立高階微分方程及其相應(yīng)的條件解決簡單的幾何、物理問題。四、【教學(xué)過程】 §2 n維線性空間中的微分方程一、【內(nèi)容簡介】在這一節(jié)里,主要介紹如何把n階微分方程式化為標(biāo)準(zhǔn)微分方程組并采用向量的記號,將標(biāo)準(zhǔn)微分方程組寫成向量的形式,從而可以從理論上把n維向量形式的微分方程的研究與一階微分非常的研究統(tǒng)一起來。二、【關(guān)鍵詞】
2、模;線性微分方程組三、【目的與要求】掌握將高階微分方程化成等價的n階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組的方法;會敘述n維向量形式的微分方程和n階線性微分方程組相應(yīng)的畢卡存在和唯一性定理;掌握n階線性微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。四、【教學(xué)過程】§3 解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性一、【內(nèi)容簡介】在這一節(jié)里,主要討論解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性,由于解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性問題可歸結(jié)為解對參數(shù)的同一問題。因此我們只討論方程的解對參數(shù)的連續(xù)依賴性。二、【關(guān)鍵詞】 參數(shù);連續(xù)依賴性三、【目的與要求】解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性定理揭示了微分方程的解的重要性質(zhì),要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。四、
3、【教學(xué)過程】§4 解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性一、【內(nèi)容簡介】本節(jié)主要討論解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性。如上一節(jié)一樣,只考慮方程的解對參數(shù)的連續(xù)可微性。二、【關(guān)鍵詞】 連續(xù)可微性;變分方程三、【目的與要求】與上一節(jié)一樣,解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性揭示了微分方程的重要性質(zhì),要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。四、【教學(xué)過程】教學(xué)過程前面我們主要討論的是關(guān)于一階方程的幾個初等解法,在實際應(yīng)用中,大多數(shù)微分方程是高階的。二階以及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。對于高階微分方程沒有較為普遍的解法,下面我們通過例題介紹幾種高階微分方程的解法。這些解法的基本思想就是把高階微分方程通過某些
4、變換降為低階的微分方程。§1 幾個例子若方程不明顯包含字變量,即: (1)這類方程叫作自治(或駐定)微分方程。若方程明顯包含字變量,即: (2)這類方程叫作非自治(或非駐定)微分方程。對于(1)可考慮降階。令,則代入(1),則得一個n-1階的微分方程例 (3)這是一個二階的自治方程。令,則 代入(3)則得一階方程分離變量積分得或 (4)其中是常數(shù),是的一個原函數(shù)。 對于固定的,(4)是一個一階微分方程 分離變量,積分得, (5)其中是第二個常數(shù),而,稱(5)為微分方程(3)的通積分。例1、 單擺方程取一根長度為的細(xì)線,把端點固定在一頂板上,而另一端點掛上一個質(zhì)量為m的小球,將小球拉離
5、平衡位置,然后松開,讓它在一垂直平面內(nèi)自由擺動,這樣就構(gòu)成一個單擺。(設(shè)單擺除重力外不受其他力的作用)。設(shè)直線與垂線的有向夾角為,并設(shè)逆時針方向為正,則單擺的振動可以用弧度來描述,單擺振動時,端只能在圓周上運動,且它的角速度為,切線速度為,切向加速度為?,F(xiàn)將重力分解到切線及向徑上,在上的分力為其中負(fù)號的力學(xué)意義:與的方向總是相反的,即與異號。由牛頓第二定律,即可得單擺的運動方程為: 或?qū)懗?(6)其中常數(shù)方程(6)為自治方程,可以用上述方法降階,令則得 或?qū)懗蛇@是一個為函數(shù)為自變量的一階微分方程,積分得,上式可改寫為 (7)分離變量積分得 上式出現(xiàn)了橢圓積分,為了克服這一困難,我們可以利用的泰
6、勒級數(shù)線性化。即當(dāng)很小時,可用線性方程 (8)來代替方程(6)。對于方程(8),以乘以方程(8),即得對它可以直接積分,得 () 或 于是有分離變量積分得通積分 由此求得通解 (9)其中 是兩個任意常數(shù)。由通解(9)可見,當(dāng)時,得到單擺的靜止?fàn)顟B(tài): ;當(dāng)時,單擺將以為振幅,為頻率作簡諧振動。由(9)可知,單擺將作周期振動,而且周期由此說明,單擺的振動周期只與單擺的長度和重力加速度有關(guān),而與初始條件無關(guān)。這就是所謂單擺振動的等時性。老式的單擺鐘就是利用了這種“等時性”。例2 懸鏈線方程設(shè)一理想的柔軟而不能伸縮的細(xì)線,將兩端掛在支點和上,由于受重力的作用,自然彎曲,試求懸鏈線的形狀 。這個問題是歷
7、史上的名題,最初1690年由詹姆斯貝努里提出來,伽里略曾猜想這條曲線是拋物線,但是后來發(fā)現(xiàn)不對,最后由約翰貝努里解決了,萊布尼茲把它命名為懸鏈線。下面就來解決這一問題。設(shè)在平面上,懸鏈線的最低點為,過作垂直線為軸,在上取一點,的長度后面再確定,過點,取與軸垂直的直線為軸(如圖) 對于曲線是任意一點,在弧段上為張力,為重力。由于處于平衡狀態(tài),則有 為單位長度的重量,為弧長。消去,得 令 則有 為了消去,將上式求導(dǎo)得 而 代入得 (10)此方程是一個二階的自治系統(tǒng),令,則方程(10)降為一階方程,分離變量積分,得 因為當(dāng)時,代入得從而得 即 (11)由此又可得 (12)(11)+(12) 得即 積
8、分,得 若把 軸取在合適的位置,使當(dāng)=0 時 代入 得 于是所求懸鏈線方程為 例3 二體問題天體運動中的二體問題是歷史上一個著名的問題,牛頓早在發(fā)明微積分的同時,就研究了二體問題。假設(shè)太陽是靜止的,它的質(zhì)量為,地球的質(zhì)量為,由于太陽系中除太陽外所有行星的總質(zhì)量遠(yuǎn)小于,因此我們可以忽略別的行星的作用?,F(xiàn)把坐標(biāo)系的原點取在太陽上,這就構(gòu)成了一慣性坐標(biāo)系,地球的坐標(biāo)向量為,則的速度和加速度分別為 由牛頓第二定律 ,則地球的慣性力為再根據(jù)萬有引力定律,可建立地球的運動方程為即 (13)將(13)寫成分量形式,即得如下的非線性方程組 (14)這是一個自治的微分方程組。求解這種高階非線性方程組常用首次積分
9、,由(14)可以得到 即 由此可得一個首次積分 (15)其中是任意常數(shù),同理可得: (16) (17)這里,都是任意常數(shù)。用乘以(15),乘以(16),乘以(17),然后相加得,這就是地球運行軌道所在平面的方程,這就證明了地球運行的軌道永遠(yuǎn)在一平面上。即二體問題是一個平面問題。下面設(shè)這個平面為,坐標(biāo)平面。即地球的軌道永遠(yuǎn)在平面=0上,那么描述地球位置的坐標(biāo)只要兩個,即和,而運動的方程為一個4階方程: (18)其中 用乘以(18)的第一式,用乘以(18)的第二式,相減得: 由此可得一個首次積分 (19)用乘以(18)的第一式,用乘以(18)的第二式,相加得:即 由此又得到一個首次積分 (20)為討論方便,引進(jìn)極坐標(biāo),那么 (21)代入(19)得 (22)即有 注意在時間內(nèi)向量掃過的扇形面積為,故向量在單位時間掃過的面積為。這樣就得到了開普勒第二定律:從太陽到行星的向量在單位時間內(nèi)掃過的面積是常數(shù)。將(21)代入(20),得:即 (23)注意到(22)式有為使上式有意義,我們設(shè)因此有再利用(22),推得從而得積分得其中為任意常數(shù),若又記,則可得行星運行軌道方
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