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文檔簡介

1、 第八節(jié) 高斯公式和格林公式的運用1、（空間第一公式）設(shè)S為光滑閉曲面，S圍成區(qū)域為V，在V，S上有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，證明：1) ；2) .2、.V,S條件同上題，函數(shù)為V上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，證明：. 3、V,S條件同上題，函數(shù)為V上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且.證明：4、 V,S條件同上題，函數(shù)為V上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且證明：。證明 在第 3題公式中,取，得到，從而，故成立5.（空間第二公式），這里區(qū)域V的邊界為S，在V+S有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，為S的單位外法線方向.例1. 設(shè)是高斯公式中的閉區(qū)域，表示的單位外法向量場.求證：（1）；（2）；（3），（此公式稱為格林第二公式，非常

2、有用.這三個公式實質(zhì)上多重積分的分部積分公式.）證明（1）應(yīng)用高斯公式，得 ；（2）應(yīng)用高斯公式，得；（3）利用（2）的結(jié)果，得，此兩式兩邊分別相減，即得 .例 2. 設(shè)在單位圓盤上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且，證明 .證明 取，顯然；利用格林公式，并利用條件，得 .例3. 設(shè)是上二次連續(xù)可微函數(shù)，滿足，計算積分.解 設(shè)，利用格林公式, 并利用條件，得 .例4. 設(shè)在單位圓盤上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且，試證 成立 ，其中.證明 取，顯然；記，利用格林公式，并利用條件，得，即結(jié)論得證.或者利用在極坐標(biāo)表示下有，即結(jié)論得證.例5 設(shè)在單位圓盤上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且，證明 .證明 取，顯然；利用格林公式，并利用條件，得 .例6、

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