高等代數(shù)張禾瑞矩陣

1、第五章 矩 陣教學(xué)目的：1. 掌握矩陣的加法，乘法及數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算法則。及其基本性質(zhì)，并熟練地對(duì)矩陣進(jìn)行運(yùn)算。2. 了解幾種特殊矩陣的性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容：5.1 矩陣的運(yùn)算 1 矩陣相等 我們將在一個(gè)數(shù)域上來討論。令F是一個(gè)數(shù)域。用F的元素aij作成的一個(gè)m 行n 列矩陣 A= 叫做F上一個(gè)矩陣。A 也簡(jiǎn)記作（aij）。為了指明 A的行數(shù)和列數(shù)，有時(shí)也把它記作Amn或（aij ）mn。 一個(gè) m行n列矩陣簡(jiǎn)稱為一個(gè)m*n矩陣。特別，把一個(gè)n*n 矩陣叫做一個(gè) n階正方陣，或n階矩陣。 F上兩個(gè)矩陣，只有在它們有相同的行數(shù)和列數(shù)，并且對(duì)應(yīng)位置上的 元素都相等時(shí)，才認(rèn)為上相等的。以下提到矩陣時(shí)，都

2、指的是數(shù)域F上的矩陣。我們將引進(jìn)三種運(yùn)算：數(shù)與矩陣的乘法，矩陣的加法以及矩陣的乘法。先引入前兩種運(yùn)算。2 矩陣的線性運(yùn)算定義 1 數(shù)域F的數(shù) a 與F上一個(gè)m*n 矩陣A=(aij) 的乘法aA指的是m*n 矩陣（aaij） 定義 2 兩個(gè)m*n 矩陣A=(aij)，B=(bij) 的和A+B指的是m*n 矩陣（aij+bij）。注意 ，我們只能把行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個(gè)矩陣相加。以上兩種運(yùn)算的一個(gè)重要特例是數(shù)列的運(yùn)算。 現(xiàn)在回到一般的矩陣。我們把元素全是零的矩陣叫做零矩陣，記作0。如果矩陣 A=(aij )，我們就把矩陣（- aij），叫做A 的負(fù)矩陣，記作A。3 矩陣線性運(yùn)輸?shù)囊?guī)律A+B=

3、B+A；(A+B)+C=A+(B+C)；0+A=A；A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab；(a+b)A=Aa+Ba ；a(bA)=(ab)A ；這里A,B 和 C 表示任意m*n 矩陣，而a 和 b 表示 F中的任意數(shù)。利用負(fù)矩陣，我們?nèi)缦露x矩陣的減法：AB=A+（B）。于是有A+B=CA=CB。由于數(shù)列是矩陣的特例，以上運(yùn)算規(guī)律對(duì)于數(shù)列也成立。 4 乘法定義 3 數(shù)域F 上的m*n矩陣A=(aij)與n*p矩陣B=(bij) 的乘積AB 指的是這樣的一個(gè)m*p 矩陣。這個(gè)矩陣的第I行第j列（I=1,2,，m; j=1,2, p） 的元素cij等于A的第I行的元素與B的第j列的對(duì)應(yīng)元素

4、的乘積的和： cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj。 注意，兩個(gè)矩陣只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)才能相乘。 我們看一個(gè)例子: =.5 矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律：對(duì)于數(shù)的乘法成立的運(yùn)算規(guī)律，對(duì)于矩陣的乘法說并不都成立。值得一提的是以下兩點(diǎn)。兩個(gè)非零矩陣的乘積肯是零矩陣，例如： .矩陣的乘法不滿足交換律。首先，當(dāng) p¹ m時(shí) AmnBnp有意義，但BnpAmn沒有意義。其次，AmnBnp 和BnmAmn雖然有意義，但是當(dāng)m¹n時(shí)，頭一個(gè)乘積是m階矩陣而第二個(gè)是n階矩陣，它們不相等。最后，AnnBnn和BnnAnn雖然都是n階矩陣，但它們也未必相等。 例如

5、但是距陣乘法滿足結(jié)合律: (AB)C=A(BC)事實(shí)上,可以假定A=(aij)mn,B=(bij)np, C=(cij)pq,那么(AB)C和A(BC)都是m*n距陣,我們來證明它們的對(duì)應(yīng)元素相等,令 AB=U=(uij), BC=V=(vij).由距陣乘法知, = , ,因此(AB)C=UC的第I行第j列的元素是 (1) 另一方面, A(BC)=AV 的第I行第 j列的元素是(2) 由于雙重求和符號(hào)可以交換次序,所以(1)和(2)的又端相等.這就證明了結(jié)合律.我們知道,數(shù)1乘任何數(shù)a仍得a.對(duì)距陣的乘法來說,存在這樣的距陣,他們有類似于數(shù)1的性質(zhì).我們把主對(duì)角線上(從左上角到右下角

6、的對(duì)角線)上的元素都是1,而其它元素都是0的n階正距陣1 0 00 1 00 0 1叫做n階單位距陣 ，記作In,有時(shí)簡(jiǎn)記作I.In顯然有以下性質(zhì)：InAnp=Anp; AmnIn=Amn.距陣的乘法和加法滿足分配律：A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;這兩個(gè)式子的驗(yàn)證比較簡(jiǎn)單，我們留給讀者。注意，由于距陣的乘法不滿足結(jié)合律，所以著兩個(gè)式子并不能互推。距陣的乘法和數(shù)與距陣的乘法顯然滿足以下運(yùn)算規(guī)律： a(AB)=(aA)B=A(aB).給了任意r個(gè)距陣A1,A2, Ar,只要前一個(gè)距陣的列數(shù)等于后一個(gè)距陣的行數(shù)，就可以把它們依次相乘，由于距陣的乘法滿足結(jié)合律，作這樣的乘積時(shí)，我

7、們可以把因子任意結(jié)合，而乘積A1A2A r有完全確定的意義。特別，一個(gè)n階正方陣A的r 次方（r 是正整數(shù)）有意義 我們?cè)偌s定 A0=I這樣一來，一個(gè)n 階距陣的任意非負(fù)整數(shù)次方都有意義。設(shè) f(x)=a0+a1+amxm是Fx中有確定的意義，它仍然是F 上的一個(gè)n階正方陣，我們將它記作f(x): f(A)=a0I+a1A+amAm.如果f(x), g(x)Fx,而A 是一個(gè) n階距陣，令 u(x)=f(x)+g(A),v(x)=f(x)g(x) 于是有 u(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A)5 距陣的轉(zhuǎn)置 定義4 設(shè)m*n距陣 a11 a12 a1n A= a21 a22

8、a2n am1 am2   amn把A的行變?yōu)閭z所得到的n×m距陣 a11 a21 am1A= a12 a22 am2 a1n a2n amn 叫A 的轉(zhuǎn)置距陣的轉(zhuǎn)置規(guī)律a) (A)=A,b) (A+B)=A+Bc) (AB)=BAd) (aA)=aA 我們只驗(yàn)證(5),其它三個(gè)規(guī)律容易驗(yàn)證.設(shè)A= , B= 首先容易看出,(AB)和BA都是pm矩陣.其次,位于(AB)的第i行第j列的元素就是位于AB的第j行第i列的元素,因而等于 aj1b1i+aj2b2i+ajnbni. 位于BA的第i行第j列的元素等于B的第i行的元素與A的第j列的對(duì)應(yīng)元素的乘積之和,因而等于B的第i列

9、的元素與A的第j行的對(duì)應(yīng)元素的乘積之之和: b1iaj1+b2iaj2+bniajn 上面兩個(gè)式子顯然相等,所以(5)成立.等式(4)和(5)顯然可以推廣到n個(gè)矩陣的情形,也就是說,以下等式成立: (A1+A2+An)=A1+A2+An , (A1A2An)=AnAn-1A2A15.2 可逆矩陣 矩陣乘積的行列式 教學(xué)目的： 1 掌握逆矩陣的概念及逆矩陣存在的充要條件。2 掌握求逆矩陣的方法，尤其能利用矩陣的行初等變換求逆矩陣。教學(xué)內(nèi)容：1 逆矩陣的定義： 令 A是數(shù)域F上的一個(gè)n階矩陣。若是存在F上n階矩陣B，使得 AB=BA=I，那么A叫作一個(gè)可逆矩陣（或非奇異矩陣），而B叫作A的逆矩陣。

10、若是矩陣A可逆，那么A的逆矩陣由A唯一決定。事實(shí)上，設(shè)B和C都是A的逆矩陣： AB=BA=I，AC=CA=I。那么 B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C。2 逆矩陣的性質(zhì)：我們以后把一個(gè)可逆矩陣A的唯一的逆矩陣用A-1來表示。我們有以下簡(jiǎn)單的事實(shí)：可逆矩陣A的逆矩A-1也可逆，并且 （A-1）-1=A這由算式 AA-1=A-1A=I可以直接推出。兩個(gè)可逆矩陣A和B的乘積AB也可逆，并且 （AB）-1=B-1A-1這是因?yàn)?（AB）(B-1A-1)=（B-1A-1）(AB)=I一般，m個(gè)可逆矩陣A1，A2，Am的乘積A1A2Am也可逆，并且（A1A2Am）-1=Am-1 A2-1

11、A1-1可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置A也可逆，并且 （A）-1=（A-1）這是因?yàn)榍蟮仁?AA-1=A-1A=I中三個(gè)相等的矩陣的轉(zhuǎn)置，得 （A-1）A=A(A-1)=I=I一個(gè)n階矩陣未必可逆。例如，令 a11 a12 A= 0 0 而B是任意一個(gè)2階矩陣。那么乘積AB的第二行的元素都是零，因此不存在二階矩陣B，使AB=I，從而A不是可逆矩陣。3 初等變換首先注意以下事實(shí)：對(duì)于一個(gè)矩陣施行一個(gè)行或列初等變換相當(dāng)于把這個(gè)矩陣左乘或右乘以一個(gè)可逆矩陣。我們把以下的三種正方陣叫做初等矩陣： i列 j列 1 1 0 1 i 行 1 Pij = 1 1 0 j行 1 1 i 列 1 1 Di(k) = k i行

12、1 1 i列 j列 1 1 k i 行 Tij(k) = 1 j行 1 這里沒有注明的元素在主對(duì)角線上的都是1，在其它位置的都是零。通過驗(yàn)算容易看出：交換一個(gè)m×n矩陣A的第和第i 和第j行或第i和第j 列，相當(dāng)于把A左乘以m階矩陣Pij或右乘以n階矩陣Pij；把A的第i行或列乘以數(shù)k，相當(dāng)于把A左乘以m階的Di(k)，或右乘以n階的Di(k)；把A的第j行乘以數(shù)k后加到第i行相當(dāng)于把A左乘以m階的Tij(k),把A的第j列乘以數(shù)k后加到第i列相當(dāng)于把A右乘以n階的Tij(-k)初等變換都是可逆的，并且它們的逆矩陣仍是初等變換。因?yàn)槿菀昨?yàn)證： P-1ij=Pij ; Di(k)-1=

13、Di( ), Tij(k)-1=Tij(-k)現(xiàn)在容易證明以下引理 5.2.1 設(shè)對(duì)正方陣A施行一個(gè)初等變換后，得到矩陣A，那么A可逆的充分且必要條件是 可逆。證 我們只就行初等變換來證明這個(gè)引理，列初等變換的情形可以完全類似地證明。設(shè)是通過對(duì)A施行一個(gè)行初等變換而得到的。那么存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等矩陣E，使得（1） =EA由于初等矩陣E是可逆的，（1）式說明，當(dāng)A可逆時(shí)，是兩個(gè)可逆矩陣的乘積。因?yàn)橐部赡?。另一方面，用E的逆矩陣E-1左乘（1）式的兩端，得（2） E-1=E-1EA=IA=A因?yàn)镋-1也可逆，由（2）式得，當(dāng)可逆時(shí)，A也可逆。引理說明，矩陣是否可逆這一性質(zhì)不因施行初等變換

14、而有所改變。由定理4.1.2，給了任意一個(gè)m×n 矩陣A，總可以通過行初等變換和交換兩列的初等變換，把A化為以下的一個(gè)矩陣： 1 0 0 c1,r+1 c1n 0 1   0 c2,r+1 c2n （3） 0 0 1 cr,r+1 crn 00 00 繼續(xù)對(duì) （3）施行第三種列初等變換，顯然可以把cij都化為零，因此，我們有定理 一個(gè)m×n 矩陣A總可以通過初等變換化為以下形式的一個(gè)矩陣。 = 這里Ir 是r 階單位矩陣，Ost表示s×t的零矩陣、r等于A的秩。 特別，當(dāng)A是一個(gè)n階矩陣時(shí)，上面的矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣（即主對(duì)角線以外的元素都是0的矩陣）。根

15、據(jù)引理5.2.1，n階矩陣A是否可逆，決定于是否可逆。然而對(duì)角矩陣是否可逆很容易看出。當(dāng)?shù)扔趩挝痪仃嘔時(shí)，可逆。因?yàn)镮本身就是I的逆矩陣。當(dāng)不等于I時(shí)，至少有一個(gè)元素全是零的行，因而右乘以任意一個(gè)n階矩陣B，所得的乘積B中也至少有一個(gè)元素 全是零的行，所以不可逆。這樣，n階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它可以通過初等變換化為單位矩陣I 。4 矩陣可逆的條件：定理 n階矩A可逆，當(dāng)且它可以寫成初等矩陣的乘積。證 A可以通過初等變換化為單位矩陣I，就是說，I可以通過初等變換化為A，也就是說，存在初等矩陣E1,Es,Es+1,Et，使 A=E1EsIEs+1Et =E1EsEs+1Et 定理 5.2.4 n階

16、矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A的秩等于n。證 A可以通過初等變換化為單位矩陣I。就是說，A的秩等于n。 我們把n階矩陣 A= 的唯一的n階子式 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 叫做矩陣A的行列式，記作|A|。我們知道，A的秩等于n的充分且必要條件是 |A|0。于是由定理5.2.4得 定理 5.2.5 n 階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式 |A|0我們常需要求出一個(gè)可逆矩的逆矩陣來。現(xiàn)在給出兩種求逆矩陣的方法。第一種還是要用到初等變換。先說明以下事實(shí)：一個(gè)n階可逆矩陣A可以通過行初等變換化為單位矩陣I。事實(shí)上，根據(jù)定理5.2.4，|A|0。因此A的第一列至少有一個(gè)元

17、素不等于零。我們顯然可以通過行初等變換把A化為 這里A1是一個(gè)n-1階矩陣。行列式|A1|顯然等于矩陣（4）的行列式，而后者與|A|最多差一個(gè)不等于零的因子，因此|A1|0，從而A1的第一列至少有一個(gè)元素不等于零。于是通過行初等變換可由（4）得到 這里A2是一個(gè)n-2階矩陣。這樣下去，最后我們得到單位矩陣I。但對(duì)于一個(gè)矩陣施行行初等變換相當(dāng)于以初等矩陣左乘這個(gè)矩陣，因此給了一個(gè)可逆矩陣A，可以找到一些初等矩E1，E2，Es，使（5） EsE2E1A=I用A-1右乘這個(gè)等式的兩端，得（6） EsE2E1I=A-1比較矩式（5）和（6）。5 求矩陣的方法：在通過行初等變換把可逆矩陣A化為單位矩陣I

18、時(shí)，對(duì)單位矩陣I施行同樣的初等變換，就得到A的逆矩陣A-1。例 1 求矩陣 A= 的逆矩陣。我們寫下A，并把單位矩陣I寫在A的右邊： , 我們施行行初等變換把A化為I。第二種求逆矩陣的方法是從行列式的性質(zhì)得來的。設(shè)n階矩陣 A= 那么以下等式成立： ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn= a1iA1j+a2iA2j+aniAnj = 這里Ast是行列式|A|中元素ast 的代數(shù)余子式，由此容易看出，若是令 = 那么 (7) AA*=A*A= 我們把矩陣A*叫做矩陣A的伴隨矩陣。當(dāng)A是可逆矩時(shí)，由定理5.2.5，|A|0，因此由（7）得 A=A=I 這就是說（8） A-1 = A* 這樣，我

19、們得到了一個(gè)求逆矩陣的公式。利用這個(gè)公式去求逆矩陣，計(jì)算量一般很大，公式（8）的意義主要在理論方面。例如，我們可以應(yīng)用它來給出克萊姆規(guī)則的另一種推導(dǎo)法。考慮線性方程組 a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1, a21x1+a22x2+ +a2nxn=b2 an1x1+an2x2+ +annxn=bn利用矩陣的乘法可以把這個(gè)線性方程組寫成 (9) = , 這里（aij）=A是方程組的系數(shù)矩陣。當(dāng)方程組的行列式|A|0時(shí)，系數(shù)矩陣A可逆，用A的逆矩陣A-1左乘（9）式的兩端，那么由（8）式得 = 由此，對(duì)i=1,2,n,有= =(b1A1i+b2A2i+bnAni) 這正是克萊姆規(guī)則給出的方

20、程組的解。最后我們研究一下矩陣乘積的行列式和矩陣乘積的秩。我們將要得出兩個(gè)有用的結(jié)論。先看矩陣乘積的行列式。首先證明引理 5.2.6 一個(gè)n階矩A總可以通過第三種行和列的初等變換化為一個(gè)對(duì)角矩陣 = ,并且|A|=|=d1d2dn證 如果A的第一行和第一列的元素不都是零。那么必要時(shí)總可以通過第三種初等變換使左上角的元素不為零。于是再通過適當(dāng)?shù)牡谌N初等變換可以把A化為 .如果A的第一行和第一列的元素都是零，那么A已經(jīng)具有（10）的形式。對(duì)A1進(jìn)行同樣的考慮，易見可用第三種初等變換逐步把A化為對(duì)角矩陣。根據(jù)行列式的性質(zhì)，我們有 |A|=|=d1d2dn 設(shè)A，B是任意兩個(gè)n階矩陣。那么 |AB|

21、=|A|B|證 先看一個(gè)特殊情形，即A是一個(gè)對(duì)角矩陣的情形。設(shè) A = . 令B=（bij），容易看出 AB = 因此由行列式的性質(zhì)得|AB|= =|A|B|現(xiàn)在看一般情形，由引理5.2.6，可以通過第三種初等變換把A化為一個(gè)對(duì)角矩陣，并且|A|=|。矩陣A也可以反過來通過對(duì)施行第三種初等變換而得出。這就是說，存在Tij(k)型T1,T2,Tq,使 A= T1 TpTp+1 Tq于是AB=（T1 Tp）（Tp+1 TqB）。然而由行列式的性質(zhì)知道，任意一個(gè)n階矩陣的行列式不因?qū)λ┬械谌N行或列初等變換而有所改變，換句話說，用一些Tij(k)型的初等矩陣乘一個(gè)n階矩陣不改變這個(gè)矩陣的行列式。因

22、此，注意到是一個(gè)對(duì)角矩陣，我們有 |AB|= |T1 TpTp+1 TqB| = |Tp+1 TqB| = |Tp+1 TqB| = |B| = |A|B| . 由這個(gè)定理顯然可以得出，對(duì)于m個(gè)n階矩陣A1，A2，Am來說，總有 |A1A2Am|=|A1|A2|Am| 6 關(guān)于矩陣乘積的秩 兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于每一因子的秩。特別，當(dāng)有一個(gè)因子是可逆矩陣時(shí)，乘積的秩等于另一因子的秩。證 設(shè)A是一個(gè) m×n矩陣，B是一個(gè)n×p矩陣，并且秩A=r。由定理5.2.2，可以對(duì)A施行初等變換將A化為 = . 換句話說 ，存在m階初等矩陣E1，Ep和n階初等矩陣Ep+1,Eq,使 E1

23、EpAEp+1Eq= . 于是 = , 這里B=，顯然，除前r行外，其余各行的元素都是零，所以秩 r。另一方面，E1EpAB是由AB通行初等變換而得到的，所以它與AB有相同的秩。這樣就證明了 秩AB秩A，同理可證秩AB秩B。如果A，B中有一個(gè)，例如A是可逆矩陣。那么一方面，秩AB秩B；另一方面，由于B=A-1（AB），所以秩B秩AB。因此，秩AB=秩B。這個(gè)定理也很容易推廣到任意m個(gè)矩陣的乘積的情形。任意m個(gè)矩陣乘積的秩不大于每一因子的秩。5.3 矩 陣 的 分 塊教學(xué)目的：1、掌握矩陣運(yùn)算的分塊技巧。教學(xué)內(nèi)容：設(shè)A 是一個(gè)矩陣。 我們?cè)谒男谢蛄兄g加上一些線，把這個(gè)矩陣分成 若干小塊。例如

24、 ，設(shè)A是一個(gè)4*3矩陣 a11 a12 a13 a21 a22 a23 A= a31 a32 a33 a41 a42 a44我們可以如下地把它分成四塊： a11 a12 a13 a21 a22 a23A= a31 a32 a33 a41 a42 a44 用這種方法被分成若干小塊的矩陣叫做一個(gè)分塊矩陣。 上面的分塊矩陣A是由以下四個(gè)矩陣組成的： a11 , a12 a13 A11= a21 A12= a22 a23 a31 , a23 a33A21= a41 A22= a42 a43 我們可以把A 簡(jiǎn)單地寫成： A= A11 A12 A21 A22給了一個(gè)矩陣，可以有各種不同的分塊方法。例如，我們也可以把上面的矩陣A 分成兩塊： a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 a31 a32 a33