高中數(shù)學(xué)平面向量從位移的合成到向量的加法例題與探究北師大

1、2.2 從位移的合成到向量的加法典題精講例1下面給出了四個(gè)式子：+；+；-+-；.其中值為0的是（ ）A. B. C. D.思路解析：+=+=0；+=(+)+(+)= +=; -+-=+=0；=0.答案：C綠色通道：(1)解決向量的加減法的有關(guān)問題時(shí)，要結(jié)合幾何圖形的特征，善于應(yīng)用+=和-=解決.(2)化簡(jiǎn)含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法：利用幾何方法通過作圖實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)；利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量.變式訓(xùn)練如圖2-2-4，已知四邊形ABCD是梯形，ABCD，E、F、G、H分別是AD、BC、A

2、B與CD的中點(diǎn)，則等于（ ）圖2-2-4A.+ B.+ C. D.思路解析：連結(jié)交于點(diǎn)M，則有=+=.答案：C例2用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.思路分析：要證四邊形是平行四邊形，只需證一組對(duì)邊平行且相等.根據(jù)向量相等的意義，只需證其一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)向量相等即可.此問題是純文字?jǐn)⑹龅膯栴}，首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言描述.答案:已知：如圖2-2-5所示，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于O，且AO=OC,DO=OB.圖2-2-5求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：根據(jù)向量加法的三角形法則，有=+, =+.又=，=,+=+.=.，=,即AB與DC平行且相等.四邊形ABCD是平行四

3、邊形.綠色通道：用向量法解決應(yīng)用問題的步驟為：（1）將應(yīng)用問題中的量抽象成向量；（2）化歸為向量問題，進(jìn)行向量運(yùn)算；(3)將向量問題還原為應(yīng)用問題.變式訓(xùn)練一艘船以5 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船的實(shí)際速度.思路分析：可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.解：如圖2-2-6，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對(duì)岸方向行駛的速度，表示船的實(shí)際速度，圖2-2-6則AOC=30°，|=5 km/h.四邊形OACB為矩形，|=，|=,即水流速度是km/h，船的實(shí)際速度為10 km/h.問題探究問題1已知向量a、b，試

4、探索|a+b|與|a|+|b|的大小.導(dǎo)思：利用向量加法的幾何意義來分析.因?yàn)橄蛄堪L(zhǎng)度和方向，所以在比較向量長(zhǎng)度的大小時(shí)，要考慮其方向.探究：（1）當(dāng)a、b至少有一個(gè)為零向量時(shí)，有a+b=0+a或a+b=0+b，|a+b|=|0+a|=|a|+|b|或|a+b|=|0+b|=|a|+|b|.|a+b|=|a|+|b|.（2）當(dāng)a、b均為非零向量時(shí)，作=a,=b,則a+b=.圖2-2-7若a、b不共線，如圖2-2-7所示，則點(diǎn)O、A、B不共線，則點(diǎn)O、A、B構(gòu)成OAB.由三角形任意兩邊之和大于第三邊得|+|.即|a+b|a|+|b|.若a、b同向共線時(shí)，如圖2-2-8所示，圖2-2-8則點(diǎn)O、A、B共線.此時(shí)|+|=|,即|a+b|=|a|+|b|.當(dāng)a、b異向共線時(shí)，如圖2-2-9所示,圖2-2-9則點(diǎn)O、A、B共線.此時(shí)如圖2-2-9（甲）所示，有|=|+|，則|a|=|a+b|+|b|.如圖2-2-9（乙）所示，有|+|=|，則|a|+|a+b|=|b|.|a+b|a|+|b|.綜上所得,|a+b|a|b|.由本題還可得結(jié)論：|a+b|a|b|.對(duì)于向量a、b，有如下結(jié)論：|a|b|a+b|a|b|.下面看此結(jié)論的應(yīng)用.例如