高中數(shù)學(xué)2015新課標(biāo)步步高34

1、§3.4定積分1用化歸法計(jì)算矩形面積和用逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積的具體步驟為分割、近似代替、求和、取極限2定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式f(i)x.當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx.3定積分的運(yùn)算性質(zhì)(1)kf(x)dxkf(x)dx (k為常數(shù))(2)f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx (a<c<b)4微積分基

2、本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式可以把F(b)F(a)記為F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)1判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則f(x)dxf(t)dt.()(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)且恒正，則f(x)dx>0.()(3)若f(x)dx<0，那么由yf(x)，xa，xb以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方(×)(4)若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)dx2f

3、(x)dx.()(5)若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)dx0.()(6)曲線yx2與yx所圍成的面積是(x2x)dx.(×)2(2013·湖北)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2答案C解析令v(t)0得t4或t(舍去)，汽車行駛距離s(73t)dt(7tt225ln(1t)|282425ln 5425ln 5.3設(shè)函數(shù)f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x1，則f(x)dx的值等于()A.

4、B. C. D.答案A解析由于f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)為f(x)2x1，所以f(x)x2x，于是f(x)dx(x2x)dx|.4(2013·湖南)若x2dx9，則常數(shù)T的值為_答案3解析x2dxx3|×T39.T327，T3.5由ycos x及x軸圍成的介于0與2之間的平面圖形的面積，利用定積分應(yīng)表達(dá)為_答案解析如圖：陰影部分的面積為.題型一定積分的計(jì)算例1(1)設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A. B. C. D不存在(2)若定積分dx，則m等于()A1 B0 C1 D2思維啟迪(1)利用定積分的性質(zhì)和微積分基本定理計(jì)算；(2)利用定積分的幾何意義計(jì)算答案(1)C(2)A

5、解析(1)如圖，f(x)dxx2dx(2x)dxx3|.(2)根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分dx的值就是函數(shù)y的圖象與x軸及直線x2，xm所圍成圖形的面積，y是一個(gè)半徑為1的半圓，其面積等于，而dx，即在區(qū)間2，m上該函數(shù)圖象應(yīng)為個(gè)圓，于是得m1，故選A.思維升華(1)計(jì)算定積分要先將被積函數(shù)化簡后利用運(yùn)算性質(zhì)分解成幾個(gè)簡單函數(shù)的定積分，再利用微積分基本定理求解；(2)對函數(shù)圖象和圓有關(guān)的定積分可以利用定積分的幾何意義求解(1)設(shè)f(x)若f(f(1)1，則a_.(2)sin xdx_.答案(1)1(2)0解析(1)由題意知f(1)lg 10，f(0)0a3031，a1.(2)由于函數(shù)ysin

6、 x在區(qū)間，上是一個(gè)奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，在x軸上方和下方面積相等，故該區(qū)間上定積分的值為面積的代數(shù)和，等于0，即sin xdx0.題型二利用定積分求曲邊梯形的面積例2如圖所示，求由拋物線yx24x3及其在點(diǎn)A(0，3)和點(diǎn)B(3,0)處的切線所圍成的圖形的面積思維啟迪求出兩切線交點(diǎn)M的坐標(biāo)，將積分區(qū)間分為兩段、.解由題意，知拋物線yx24x3在點(diǎn)A處的切線斜率是k1y|x04，在點(diǎn)B處的切線斜率是k2y|x32.因此，拋物線過點(diǎn)A的切線方程為y4x3，過點(diǎn)B的切線方程為y2x6.設(shè)兩切線相交于點(diǎn)M，由消去y，得x，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.在區(qū)間上，曲線y4x3在曲線yx24x3的上方；在

7、區(qū)間上，曲線y2x6在曲線yx24x3的上方因此，所求的圖形的面積是S(4x3)(x24x3)dx(2x6)(x24x3)dxx2dx (x26x9)dx.思維升華對于求平面圖形的面積問題，應(yīng)首先畫出平面圖形的大致圖形，然后根據(jù)圖形特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的積分變量及被積函數(shù)，并確定被積區(qū)間已知函數(shù)yf(x)的圖象是折線段ABC，其中A(0,0)、B(，5)、C(1,0)函數(shù)yxf(x)(0x1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為_答案解析由已知可得f(x)則yxf(x)畫出函數(shù)圖象，如圖所示，所求面積S(10x2)dx(10x210x)dx01(5)(×5×).題型三定積分在物理中的應(yīng)

8、用例3一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其vt曲線如圖所示，則該物體在 s6 s間的運(yùn)動(dòng)路程為_思維啟迪從題圖上可以看出物體在0t1時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)，1t3時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，3t6時(shí)也做加速運(yùn)動(dòng)，但加速度不同，也就是說0t6時(shí)，v(t)為一個(gè)分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積分才能求出曲邊梯形的面積答案 m解析由題圖可知，v(t)，因此該物體在 s6 s間運(yùn)動(dòng)的路程為sv(t)dt2tdt2dtdtt2|12t| (m)思維升華定積分在物理方面的應(yīng)用主要包括：求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程；求變力所做的功設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上，使M沿x軸正向從x1運(yùn)動(dòng)到x10，已知F(x)x21且和x軸正向相同，求變力F(x)對質(zhì)點(diǎn)M所做的功

9、解變力F(x)x21使質(zhì)點(diǎn)M沿x軸正向從x1運(yùn)動(dòng)到x10所做的功為WF(x)dx(x21)dx(x3x)|342，即變力F(x)對質(zhì)點(diǎn)M所做的功為342.函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想在定積分中的應(yīng)用典例：(12分)在區(qū)間0,1上給定曲線yx2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值思維啟迪(1)題目要求是求S1與S2之和最小，所以要先構(gòu)造SS1S2的函數(shù)，利用函數(shù)思想求解(2)S1、S2的面積只能通過定積分求解，所以要選準(zhǔn)積分變量規(guī)范解答解S1面積等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線yx2與x軸、直線xt所圍成的面積，即S1t·t2x2dxt3.2分

10、S2的面積等于曲線yx2與x軸，xt，x1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1t，即S2x2dxt2(1t)t3t2.4分所以陰影部分的面積SS1S2t3t2(0t1)6分令S(t)4t22t4t0，得t0或t.8分t0時(shí)，S；t時(shí)，S；t1時(shí)，S.10分所以當(dāng)t時(shí)，S最小，且最小值為.12分溫馨提醒(1)本題既不是直接求曲邊梯形面積問題，也不是直接求函數(shù)的最小值問題，而是先利用定積分求出面積的和，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求面積和的最小值，難點(diǎn)在于把用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值的問題置于先求定積分的題境中，突出考查知識(shí)的遷移能力和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識(shí)(2)本題易錯(cuò)點(diǎn)：一是缺乏函數(shù)的意識(shí)；二是不能正確選擇被

11、積區(qū)間.方法與技巧1求定積分的方法(1)利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強(qiáng)(2)利用微積分基本定理求定積分步驟如下：求被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)；計(jì)算F(b)F(a)(3)利用定積分的幾何意義求定積分2求曲邊多邊形面積的步驟：(1)畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖形(2)借助圖形確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上限、下限(3)將曲邊梯形的面積表示為若干個(gè)定積分之和(4)計(jì)算定積分失誤與防范1被積函數(shù)若含有絕對值號(hào)，應(yīng)先去絕對值號(hào)，再分段積分2若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量3定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限4定積分的幾何意義

12、是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù)5將要求面積的圖形進(jìn)行科學(xué)而準(zhǔn)確的劃分，可使面積的求解變得簡捷.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題1(sin xacos x)dx2，則實(shí)數(shù)a等于()A1 B1 C D.答案A解析a12，a1.2由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A. B1C. D.答案D解析sin sin.3(2013·江西)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()AS1<S2<S3 BS2<S1<S3CS2<S3<S1 DS3<

13、;S2<S1答案B解析利用定積分的幾何意義知B正確4圖中陰影部分的面積是()A16 B18C20 D22答案B解析Sdy|18.5一物體在變力F(x)5x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30°方向作直線運(yùn)動(dòng)，則由x1運(yùn)動(dòng)到x2時(shí)F(x)做的功為()A. J B. JC. J D2 J答案C解析F(x)×cos 30°dx(5x2)×dx×|，F(xiàn)(x)做的功為 J. 二、填空題6(x21)dx_.答案12解析(x21)dx|×33312.7如圖所示，函數(shù)yx22x1與y1相交形成一個(gè)閉合圖形(圖中的陰影部分)，

14、則該閉合圖形的面積是_答案解析由，得x10，x22.S(x22x11)dx(x22x)dx|4.8汽車以v3t2 (單位：m/s)作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1 s至第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是_ m.答案6.5解析s(3t2)dt|×4410 (m)三、解答題9求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積解由得交點(diǎn)A(1,1)；由得交點(diǎn)B(3，1)故所求面積Sdxdx|.10汽車以54 km/h的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等加速度3 m/s2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多遠(yuǎn)？解由題意，得v054 km/h15 m/s.所以v(t)v0at153t.令v(t)0，得153t

15、0.解得t5.所以開始剎車5 s后，汽車停車所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為sv(t)dt(153t)dt|37.5(m)故汽車走了37.5 m.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)1設(shè)f(x)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx的值為()A. B. C. D.答案A解析根據(jù)定積分的運(yùn)算法則，由題意，可知f(x)dxx2dxdxx3|ln x|1.2曲線y與直線yx，x2所圍成的圖形的面積為_答案ln 2解析Sxdxdxx2|ln x|(ln 2ln 1)ln 2.3作變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度是v(t)(單位m/s)(1)該質(zhì)點(diǎn)從t10到t30時(shí)所經(jīng)過的路程是_ m；(2)該質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到結(jié)束運(yùn)動(dòng)共經(jīng)過_ m.答案(1)350(2)1 600解析(1)s1v(t)dttdt20dt350.(2)s2v(t)dttdt20dt(100t)dt1 600.4曲線C：y2x33x22x1，點(diǎn)P(，0)，求過P的切線l與C圍成的圖形的面積解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，y6x26x2，則f(x0)6x6x02，切線方程為y(6x6x02)(x)，則y0(6x6x02)(x0)，即2x3x2x01(6x6x02)(x0)，整理得x0(