量子力學初步-作業(yè)(含答案)

1、量子力學初步1. 設描述微觀粒子運動的波函數(shù)為，則表示_；須滿足的條件是_；其歸一化條件是_.2. 將波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大D倍，則粒子在空間的分布概率將_. (填入：增大D2倍、增大2D倍、增大D倍或不變)3. 粒子在一維無限深方勢阱中運動（勢阱寬度為a），其波函數(shù)為粒子出現(xiàn)的概率最大的各個位置是x = _.4. 在電子單縫衍射實驗中，若縫寬為a=0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，電子束垂直射在單縫面上，則衍射的電子橫向動量的最小不確定量= _N·s.(普朗克常量h=6.63×10-34 J·s)5. 波長= 5000 Å的光沿x軸

2、正向傳播，若光的波長的不確定量= 10-3 Å，則利用不確定關系式可得光子的x坐標的不確定量至少為_.6. 粒子做一維運動，其波函數(shù)為式中>0，粒子出現(xiàn)的概率最大的位置為x = _.7. 量子力學中的隧道效應是指_這種效應是微觀粒子_的表現(xiàn).8. 一維無限深方勢阱中，已知勢阱寬度為a，應用測不準關系估計勢阱中質量為m的粒子的零點能量為_.9. 按照普朗克能量子假說，頻率為的諧振子的能量只能為_；而從量子力學得出，諧振子的能量只能為_.10. 頻率為的一維線性諧振子的量子力學解，其能量由下式給出：_，其中最低的量子態(tài)能量為_，稱為“零點能”.11. 根據(jù)量子力學，粒子能透入勢能大

3、于其總能量的勢壘，當勢壘加寬時，貫穿系數(shù)_；當勢壘變高時，貫穿系數(shù)_. (填入：變大、變小或不變)12. 寫出以下算符表達式：_；_；_.13. 與的對易關系等于_.14. 試求出一維無限深方勢阱中粒子運動的波函數(shù)的歸一化形式. 式中a為勢阱寬度.15. 利用不確定關系式，估算在直徑為d = 10-14 m的核內的質子最小動能的數(shù)量級.（質子的質量m=1.67×10-27 kg， 普朗克常量h=6.63×10-34 J·s）16. 已知粒子處于寬度為a的一維無限深方勢阱中運動的波函數(shù)為試計算n=1時，在x1=a/4 x2=3a/4 區(qū)間找到粒子的概率.17. 一維

4、無限深方勢阱中的粒子，其波函數(shù)在邊界處為零，這種定態(tài)物質波相當于兩段固定的弦中的駐波，因而勢阱的寬度a必須等于德布羅意波半波長的整數(shù)倍。試利用這一條件求出能量量子化公式18. 一彈簧振子，振子質量m = 10-3 kg，彈簧的勁度系數(shù)km=10 N·m-1. 設它作簡諧振動的能量等于kT（k為玻爾茲曼常量），T=300 K. 試按量子力學結果計算此振子的量子數(shù)n，并說明在此情況下振子的能量實際上可以看作是連續(xù)變化的. （k=1.38×10-23 J·K-1，h=6.63×10-34 J·s）19. 一粒子被限制在相距為l的兩個不可穿透的壁之間，

5、如圖所示. 描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)為，其中c為待定常量. 求在0區(qū)間發(fā)現(xiàn)該粒子的概率.20. 威爾遜云室是一個充滿過飽和蒸汽的容器。射入的高速電子使氣體分子或原子電離成離子。以離子為中心過飽和蒸汽凝結成小液滴，在強光照射下，可看到一條白亮的帶狀痕跡，即粒子的軌跡。徑跡的線度是10-4 cm，云室中的電子動能等于108 eV。討論威爾遜云室中的電子是否可以看成經(jīng)典粒子?21. 粒子在一維無限深勢阱中運動，其波函數(shù)為試計算動量和動能的平均值.22. 諧振子的歸一化的波函數(shù)為。其中，是歸一化的諧振子的定態(tài)波函數(shù)。求：和能量的可能取值，以及平均能量。23. 氫原子的直徑約10-10 m，求原子中電子速度

6、的不確定量。按照經(jīng)典力學，認為電子圍繞原子核做圓周運動，它的速度是多少？結果說明什么問題？答案1. 粒子在t時刻在(x, y, z)處出現(xiàn)的概率密度單值、有限、連續(xù)2. 不變3. a/6, a/2, 5a/64. 1.06×10-24 (或6.63×10-24或0.53×10-24或3.32×10-24)參考解：根據(jù) （或或或），可得以上答案5. 250 cm6.7. 微觀粒子能量E小于勢壘U0時，粒子有一定的幾率貫穿勢壘的現(xiàn)象波動性8.9. （n=1, 2, ） （n=0, 1, 2, ）10. （n=0, 1, 2, ）11. 變小變小12. ，13

7、.14. 解：所謂歸一化就是讓找到粒子的概率在可能找到的所有區(qū)域內進行積分，并使之等于100%，即這里，我們的問題是要即 所以 于是，得到歸一化的波函數(shù)15. 解：由不確定關系得 最小值為時，的最小值（數(shù)量級）也為，應用動能與動量的經(jīng)典關系即 16. 解：找到粒子的概率為=17. 解：據(jù)已知條件 又據(jù)德布羅意公式 得 無限深勢阱中粒子的能量為 即 由、式解得 以代入得 所以 18.解：按量子力學中的線性諧振子能級公式可得相鄰能級間隔 此能量間隔與振子能量比較，實在太小了，因此振子的能量可以看作是連續(xù)改變的19. 解：由波函數(shù)的性質得 即 由此解得 設在0區(qū)間內發(fā)現(xiàn)該粒子的概率為P，則20. 解：，電子的平均動量為:可見，在威爾遜云室中，電子坐標和動量的取值基本上可以認為是確定的，可以使用軌道的概念.21.解：動量算符為故，動量的平均值為動能算符為故，22.解：由歸一化條件得： 解得：根據(jù)諧振子波函數(shù)的表達式，可知能量