181911 112　弧度制和弧度制與角度制的換算

1、弧度制和弧度制與角度制的換算學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解弧度制，能熟練地進(jìn)行弧度制與角度制之間的換算(重點(diǎn))2.掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1角度制與弧度制的定義(1)角度制：用度作單位來度量角的制度叫做角度制角度制規(guī)定60分等于1度，60秒等于1分(2)弧度制：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1 rad.以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制2角的弧度數(shù)的計(jì)算在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對圓心角為 rad，則.3角度與弧度的互化4一些特殊角與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系角度0153045607590120135150弧度0角度1802102252402

2、70300315330360弧度2思考1：某同學(xué)表示與30角終邊相同的角的集合時(shí)寫成S|2k30，kZ，這種表示正確嗎？為什么？提示這種表示不正確，同一個(gè)式子中，角度、弧度不能混用，否則產(chǎn)生混亂，正確的表示方法應(yīng)為或|k36030，kZ5扇形的弧長與面積公式設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，為其圓心角，則為度數(shù)為弧度數(shù)扇形的弧長llr扇形的面積SSlrr2思考2：在弧度制下的扇形面積公式Slr可類比哪種圖形的面積公式加以記憶？提示此公式可類比三角形的面積公式來記憶基礎(chǔ)自測1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)1弧度是1度的圓心角所對的弧()(2)1弧度是長度為半徑的弧()(3)1弧度是1度的弧與

3、1度的角之和()(4)1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位()解析根據(jù)弧度制的定義知(4)正確答案(1)(2)(3)(4)21 080等于()A1 080BC D6D1 0801806，所以1 080化為弧度是6.3圓心角為弧度，半徑為6的扇形的面積為_解析扇形的面積為626.答案6合 作 探 究攻 重 難弧度制的概念下列命題中，假命題是()A“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B1的角是周角的，1 rad的角是周角的C1 rad的角比1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)思路探究由題目可獲取以下主要信息：各選項(xiàng)中均涉及到角度與弧度，解答本題可從角度

4、和弧度的定義著手解析根據(jù)角度和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長短無關(guān)，而是與弧長與半徑的比值有關(guān)，所以D項(xiàng)是假命題，A、B、C項(xiàng)均為真命題答案D規(guī)律方法弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；定義不同聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大小無關(guān)的定值.跟蹤訓(xùn)練1下列各說法中，錯誤的說法是()A半圓所對的圓心角是 radB周角的大小等于2C1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度D根據(jù)1弧度角的定義可知選項(xiàng)C正確，D錯誤；由半角和周角概念及角度與

5、弧度換算可知A，B項(xiàng)正確角度制與弧度制的轉(zhuǎn)換設(shè)角1570，2750，1，2.(1)將1，2用弧度制表示出來，并指出它們各自所在的象限；(2)將1，2用角度制表示出來，并在7200之間找出與它們有相同終邊的所有角思路探究由題目可獲取以下主要信息：用角度制給出的兩個(gè)角570，750，用弧度制給出的兩個(gè)角，；終邊相同的角的表示解答本題(1)可先將570，750化為弧度角再將其寫成2k(kZ,02)的形式，解答(2)可先將1、2用角度制表示，再將其寫成k360(kZ)的形式解(1)要確定角所在的象限，只要把表示為2k0(kZ,002)的形式，由0所在象限即可判定出所在的象限15704，27504.1在

6、第二象限，2在第一象限(2)1108，設(shè)1k360(kZ)，由7200，得720108k3600，k2或k1，在7200間與1有相同終邊的角是612和252.同理2420且在7200間與2有相同終邊的角是60.規(guī)律方法角度制與弧度制的轉(zhuǎn)換中的注意點(diǎn)(1)在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式 rad180是關(guān)鍵.由它可以得：度數(shù)弧度數(shù)，弧度數(shù)度數(shù).(2)特殊角的弧度數(shù)與度數(shù)對應(yīng)值今后常用，應(yīng)該熟記.(3)在同一個(gè)式子中，角度與弧度不能混合用，必須保持單位統(tǒng)一，如2k30，kZ是不正確的寫法.(4)判斷角終邊所在的象限時(shí)，若2，2，應(yīng)首先把表示成2k，2，2的形式，然后利用角終邊所在的象限來確定角

7、終邊所在的象限.跟蹤訓(xùn)練2用弧度表示終邊落在如圖116所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.【導(dǎo)學(xué)號：79402019】圖116解因?yàn)?0 rad,210 rad，這兩個(gè)角的終邊所在的直線相同，因?yàn)榻K邊在直線AB上的角為k，kZ，而終邊在y軸上的角為k，kZ，從而終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為.弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用探究問題1用公式|求圓心角時(shí)，應(yīng)注意什么問題？提示應(yīng)注意結(jié)果是圓心角的絕對值，具體應(yīng)用時(shí)既要注意其大小，又要注意其正負(fù)2在使用弧度制下的弧長公式及面積公式時(shí)，若已知的角是以“度”為單位，需注意什么問題？提示若已知的角是以“度”為單位，則必須先把它化成弧度后再計(jì)算，否則結(jié)果出

8、錯(1)設(shè)扇形的周長為8 cm，面積為4 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A1B2C3 D4(2)已知扇形的周長為20 cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？思路探究(1)可由扇形周長和面積建立方程組，通過解方程組求得；(2)可通過建立扇形面積的目標(biāo)函數(shù)來求解解析(1)設(shè)扇形半徑為r，弧長為l，由題意得解得則圓心角2 rad.答案B(2)設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，面積為S.則l202r，Slr(202r)rr210r(r5)225(0r10)當(dāng)半徑r5 cm時(shí)，扇形的面積最大，為25 cm2.此時(shí)2 rad.當(dāng)它的半徑為5 cm，圓心角為2 rad時(shí)

9、，扇形面積最大，最大值為25 cm2.規(guī)律方法弧度制下解決扇形相關(guān)問題的步驟：(1)明確弧長公式和扇形的面積公式：l|r，Sr2和Slr；(這里必須是弧度制下的角)(2)分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式；(3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解.母題探究：(變條件)用30 cm長的鐵絲圍成一個(gè)扇形，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解設(shè)扇形的圓心角為，半徑為r，面積為S，弧長為l，則有l(wèi)2r30，l302r，從而Slr(302r)rr215r2.當(dāng)半徑r cm時(shí)，l30215 cm，扇形面積的最大值是 cm2，這時(shí)2 rad.當(dāng)扇形的圓心角為2 rad，半徑為 cm時(shí)，面積最大，為 cm2.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1把5615化為弧度是()A. B.C. D.D561556.25.2與角終邊相同的角是()A. B2k(kZ)C2k(kZ) D(2k1)(kZ)C選項(xiàng)A中2，與角終邊相同，故A項(xiàng)錯；2k，kZ，當(dāng)k1時(shí)，得0,2)之間的角為，故與有相同的終邊，B項(xiàng)錯；2k，kZ，當(dāng)k2時(shí)，得0,2)之間的角為，與有相同的終邊，故C項(xiàng)對；(2k1)，kZ，當(dāng)k0時(shí)，得0,2)之間的角為，故D項(xiàng)錯3在半徑為10的圓中，240的圓心角所對弧長為()A. B.C. D.A240240 rad rad，弧長l|r10，選A.