正弦交流電路

1、§ 3-2周期交流電量的有效值設(shè)有一個直流電流I ,通過同一電阻R, 一個周期時間內(nèi)消耗的電能為W =1 2R T。假設(shè)二者一周期內(nèi)消耗的電能相等，那么有i2dtI2R T即Ii(t)2dt( 3-2-1)式中，I稱為周期交流電流i(t)的有效值，它等于瞬時值i(t)的平方在一個周期內(nèi)的平均值 再取平方根，因此有效值又稱為均方根值。從物理意義上講，周期電流的有效值是從功耗 相等的觀點來衡量一個周期電流的大小。它把交流電流等效成一個相應(yīng)的直流電流。當(dāng)這 一直流電流通過同一電阻時，在一個周期時間內(nèi)產(chǎn)生與交流電流同樣的電能消耗。對于周期性變化的電壓u(t)，它的有效值U也有類似的定義，即(

2、3-2-2 )11 T 2u 珂!o u(t) dt當(dāng)周期性電流為正弦電流時，設(shè)i = Im sin()把電流代入式(3-2-1)，得ImTios2( t )dt0 2(3-2-3)可見正弦電流的有效值等于最大值lm除以。Um=2類似地可以得到正弦電壓的最大值與它的有效值之間的關(guān)系(3-2-4 )這樣，我們可以把式(3-1-1)重新表示成(3-2-5)式中，I為正弦交流電流的有效值。電氣工程上一般所說的正弦電壓電流的大小都是指它們的有效值。通常所說的單相交流電壓為220V，電流為10A等，都是指正弦交流電的有效值。一般工程上的電氣測量儀 表所指的值也大都是指有效值。§ 3-3正弦交流

3、電量的相量表示正弦量除了用波形和瞬時表達(dá)式來表示以外，利 用歐拉公式還可以表示成復(fù)指數(shù)的形 式。一個正弦交流電流i二2 Is in (t宀，)可以表示為復(fù)指數(shù)形式(3-3-1 )i *2 I sin( t：；叩)=lm、2 Ier eb t方括號內(nèi)是一個復(fù)數(shù)，符號Im表示取復(fù)數(shù)的虛部。復(fù)指數(shù)的模即為正弦函數(shù)的幅值.2 I，幅角為正弦函數(shù)的相位 .r，它隨時間以角度增長。假設(shè)把復(fù)數(shù),2 Iej*ej上在復(fù)平面上的對應(yīng)點與原點之間用一帶箭頭的有向線段相連，如圖3-3-1所示，那么可得到一個幅角隨 時間變化的旋轉(zhuǎn)矢量。這條用來表示正弦函數(shù)的矢量稱為正弦量的相量。相量在復(fù)平面上 的圖形稱為相量圖。圖中

4、畫出了該相量在t=0和t =t!時的位置。當(dāng)t=0時，該相量與實軸 夾角為正弦函數(shù)的初始相位角-：。該相量以角速度隨時間向逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)t = &時 刻，相量轉(zhuǎn)到圖中虛線所示位置。此時與實軸夾角為-.t< o由圖可以看出，該相量在虛 軸上的投影長度等于.2 I si n (t 即等于對應(yīng)的正弦函數(shù)在該時刻的瞬時值。在用復(fù)平面上的相量表示正弦函數(shù)時，只要確定其初相位時的相量即可，即相當(dāng)于取 t =0時的復(fù)指數(shù)函數(shù) 2lej*。實際的正弦時間函數(shù)只要把該復(fù)數(shù)乘以ej t ,再取其虛部就 可以得到。在電工計算中，復(fù)數(shù)中的模一般取為正弦量的有效值，即可以把復(fù)數(shù)表示為 Ier ,這里I

5、為有效值，為初相角。這樣我們可以把式(3-1-1 )的正弦交流電流表示成 相量形式為I =肆(3-2-2 )或I( 3-2-3 )掌握正弦函數(shù)的瞬時值表達(dá)式，相量表示圖形和復(fù)數(shù)表達(dá)式，并理解它們之間的內(nèi)在轉(zhuǎn)換 關(guān)系和意義，是穩(wěn)態(tài)正弦交流電路中相量計算的根底。下面來討論兩個同頻率正弦量的計算問題。對于圖3-3-2所示的電路，假設(shè)兩條支 路中的電流為h *2 I1 sin(t 宀】)i2 二対2 I2 sin( t - 2)那么合成電流i為 = i1 i2由前面分析得i =i1 i2=lm 72 lie"e+lm 72 加“飛矽=lm | J2 (h +2 )ej 上 Tm 2 I ej

6、 1=2 I sin( 1 '-)這里ll =1：lh - l2( 3-3-4 )由上式可知，要計算合成電流i只要知道合成電流的相量l即可，于是兩個同頻率的正弦 電流相加問題，就轉(zhuǎn)化成這兩個正弦電流對應(yīng)的相量的相加問題，即把三角函數(shù)的相加轉(zhuǎn) 化為兩個復(fù)數(shù)的相加運算。我們還可以在相量圖上直觀地來分析兩個正弦量的相量相加的意義。電流ii與i2的相 量 山、仏示于 圖3-3-3 中。圖 3-3-3當(dāng)t =0時相量處于初始位置。按兩個相量相加的平行四邊形法那么，作l1與l2的合成相 量|1，如圖3-3-3b所示。由圖可見l在虛軸上的投影即為l1與ll2相量在虛軸上的投影值之 和，合成相量l在虛

7、軸上的投影即為i, i2的瞬時值。經(jīng)過時刻t1，相量l1與l2都沿著逆時 針方向旋轉(zhuǎn)了 七角度，如圖3-3-3a所示，由于li與£的相對位置沒有變化，因此其合成 相量|1的長度也沒有變化。與t =0時刻相比，l也逆時針旋轉(zhuǎn)了 七相角。此時l1與l2在虛 軸上的投影值之和仍等于合成相量在虛軸上的投影。在任意時刻都可以用合成相量l在虛 軸的投影來表示li與氐的投影之和。相量在虛軸的投影即為該相量對應(yīng)的正弦函數(shù)的瞬時 值，這樣兩個正弦函數(shù)瞬時值相加之和就等于合成相量所表示的正弦函數(shù)瞬時值，從而把 三角函數(shù)運算變成為相量相加減的復(fù)數(shù)運算。必須指出，只有同頻率的 正弦量才可以進(jìn)行相量運算。圖

8、3-3-4例 3-3-1 在圖 3-3-4 中，比=. 2 40 sin ，t, u2 = . 2 30 sin，t 90，試求總電壓 u的值。解：根據(jù)基爾霍夫定律有u =山 u2,用相量來表示那么U U2,d40 0 v U2 =30. 90'V，那么可求得U U2 =40. 0：V 30. 90：V =40 - j30V =50. 36.9V總電壓u的瞬時表達(dá)式為u = .2 50 sinC t 36.9V§ 3-4正弦交流電路中的電阻元件電阻元件兩端的電壓與通過它的電流之間關(guān)系受歐姆定律約束。當(dāng)正弦電流流過電阻 R時，如圖3-4-1所示，選定電壓與電流的參考方向一致，那

9、么根據(jù)歐姆定律有u =iR 3-4-1 假設(shè)選電流i為參考正弦量，那么i=2lsi nt，代入上式有u =、2 IR sin t = . 2 U sin，t電流與電壓的波形示于圖3-4-1中。由上可見，當(dāng)流過圖 3-4-1電阻的電流為正弦函數(shù)時，電阻上的電壓是與電流同頻率的正弦量。電流與電壓同相位， 它們的有效值也服從歐姆定律，即U =IR 3-4-2如果用相量形式來表示，那么有3-4-3 U =iR上式是復(fù)數(shù)形式的歐姆定律表達(dá)式。該式同時表述了電阻元件上正弦電壓與電流之間的相 位關(guān)系和有效值關(guān)系。根據(jù)式3-4-3，可畫出電壓、電流的相量圖，如圖3-4-1所示。§ 3-5正弦交流電路

10、中的電感元件線性非時變電感元件是電路中一種重要和根本的元件，在實際電路中經(jīng)常遇到由導(dǎo)線 繞制而成的電感線圈。當(dāng)電流通過自感為L的線性電感元件時，假設(shè)取電感元件兩端電壓與 電流的參考方向一致，如圖3-5-1所示，那么由楞次定律知，電流與電壓之間的關(guān)系式為d-diU|_L 3-5-1 dtdt式中，L為電感值，單位為亨利H 。圖 3-5-1當(dāng)通過電感的電流為正弦交流電流時，即i =.柩I si n t，代入上式可得電感元件兩端的電壓為九九討2| 590(3-5-2)=2Ul sin(t 901)1由上式可見，電感端電壓uL是與iL同頻率的正弦量，電壓uL的相位超前電流iL -周期，即4rad 或

11、90 。2從式3-5-2可得，電感電流的有效值|L與電感端電壓的有效值之間有關(guān)系式UL = 丫丄1 L 3-5-3式中，丄叫做電感線圈的自感電抗，簡稱感抗，它和電阻具有相同的量綱。當(dāng)電感L的 單位取H ,角頻率的單位取rad/時，感抗的單位為門。感抗一般用字母XL表示，即Ul二 L =2二 fL(3-5-4)例3-5-1 一個電阻可忽略的線圈，其電感數(shù)值為L=31.8 1OH，設(shè)流過電流i =x/Fsi n伸t -60'A，頻率f=5 0Hz問線圈電壓uL為多少？假設(shè)電流頻率f = 5000Hz，重求線圈端電壓uL。解：設(shè)電流相量1=1 -60 A,當(dāng)頻率f =50Hz時，感抗XL 二

12、 L =2： fL =314 31.8 10 =10-?由式3-5-5可得電壓向量UL = jXLI =10. 301 V那么有 uL =2 10 si n.(臨0 °)V當(dāng)頻率f =5000H時，感抗XL =2二fL=3 1 400 31.8 10】=1Q0電壓向量 UL =jXLll =1000£30：'V，電壓瞬時式 uL ='：;；2 1000 sint( ° 3 0O) V§ 3-6正弦交流電路中的電容元件線性非時變電容元件C兩端加上交流電壓uC時，電容中就將有電流iC流過。假設(shè)取電容 元件支路ic的參考方向與電壓Uc的參考方向一致，如圖3-6-1所示，那么有(3-6-1 )idq=CdUCdt dt當(dāng)所施加的電壓為正弦交流電壓uC nf2uC Si nt - 9o時,電容電流為(3-6-2 )ic =C 包C 二 2 CUc cos，t -90 dt=2 IC s i nt 電容元件上的電壓與電流的變化波形見圖3-6-1 o由上分析可得，電容上電壓uc與電流ic為同頻率的正弦量，電流ic在相位上超前電壓 UC 901 O從波形圖上可看出，當(dāng)電容電壓過零值時，電壓的變化率最大，此時流過電容的 電流幅值到達(dá)最大振幅值。而當(dāng)電容電壓到達(dá)最大幅值時，其電壓