機械振動(總復(fù)習(xí))

1、機械振動基礎(chǔ)目錄第一章導(dǎo)論§ 1.1 后§ 1.2 振動的分類§ 1.3 離散系統(tǒng)各元件的特征§ 1.4 簡諧振動及其表示方法§ 1.5 疊加原理§ 1.6 振動的幅值度量第二章單自由度系統(tǒng)§ 1 言§ 1 阻尼自由振動§ 1 尼自由振動§ 1 自由度系統(tǒng)的簡諧強迫振動§ 1 諧強迫振動理論的應(yīng)用§ 1 期強迫振動§ 1 周期強迫振動第三章二自由度系統(tǒng)1 言1 動微分方程1 同坐標(biāo)系下的運動微分方程1 阻尼自由振動第四章多自由度系統(tǒng)1 動微分方程1 固有頻率與振型1

2、 力響應(yīng)分析1 力響應(yīng)分析中的變換方法第五章隨機振動§1 機過程§1 隨機過程的數(shù)字特征§1 穩(wěn)過程和各態(tài)歷經(jīng)過程§1 態(tài)隨機過程§1 關(guān)函數(shù)§1 功率譜密度函數(shù)§1 性振動系統(tǒng)在單一一隨機激勵下的響應(yīng)§1 性系統(tǒng)在兩個隨機激勵下的響應(yīng)第一章導(dǎo)論言振動：指一個物理量在它的平均值附近不停地經(jīng)過極大值和極小值而往復(fù)變化。機械振動：機械或結(jié)構(gòu)在它的靜平衡位置附近的往復(fù)彈性運動。機械振動研究對象：機械或結(jié)構(gòu)，在理論分析中要將實際的機械或結(jié)構(gòu)抽象為力學(xué)模型，即形成一個力學(xué)系統(tǒng)。激勵或輸入：外界對振動系統(tǒng)的激勵或作用。響應(yīng)或輸

3、由：系統(tǒng)對外界影響的反應(yīng)，如振動系統(tǒng)某部位產(chǎn)生的位移、速度、加速度及應(yīng)力等。機械振動研究內(nèi)容：研究激勵、響應(yīng)和系統(tǒng)三者之間的關(guān)系激勵響應(yīng)系統(tǒng)輸入輸出激勵、系統(tǒng)和響應(yīng)三者知其二可求由第三者。常見的振動問題的三種基本課題：.振動設(shè)計已知外界激勵的條件下設(shè)計系統(tǒng)的振動特性，使其響應(yīng)滿足預(yù)期的要求。.系統(tǒng)識別根據(jù)已知的激勵與響應(yīng)的特性分析系統(tǒng)的性質(zhì)，得到振動系統(tǒng)的全部參數(shù)。.環(huán)境預(yù)測已知系統(tǒng)振動性質(zhì)和響應(yīng)，研究激勵的特性。振動的分類線性振動和非線性振動振動可分成線性振動和非線性振動兩種。線性振動：系統(tǒng)在振動過程中，振動系統(tǒng)的慣性力、阻尼力、彈性力分別與絕對加速度、相對速度、相對位移成線性關(guān)系。線性振動

4、系統(tǒng)可以用線性微分方程描述。非線性振動：系統(tǒng)的慣性力、阻尼力、彈性力與絕對加速度、相對速度、相對位移不是線性關(guān)系。非線性振動系統(tǒng)只能用非線性微分方程描述。確定性振動和隨機振動確定性振動：系統(tǒng)的振動對任意時刻t,都可以預(yù)測描述它的物理量的確定的值xo反之為隨機振動。在確定性振動中，振動系統(tǒng)的物理量可以用隨時間變化的函數(shù)描述。隨機振動只能用概率統(tǒng)計方法描述。離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)的自由度數(shù)：描述系統(tǒng)運動所需要的獨立坐標(biāo)的數(shù)目。連續(xù)系統(tǒng)：振動系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度都是連續(xù)分布的，需要無限多個自由度才能描述它們的振動，它們的運動微分方程是偏微分方程。離散系統(tǒng)：在結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布很不均勻時，或為了解決實際

5、問題的需要，把連續(xù)結(jié)構(gòu)簡化為由若干個集中質(zhì)量、集中阻尼和集中剛度組成的系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是指系統(tǒng)只有有限個自由度。描述離散系統(tǒng)的振動可用常微分方程。其他的分類按外界激勵情況和系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)情況分類。按激勵情況分類：自由振動：系統(tǒng)在初始激勵下或原有的激勵消失后的振動。強迫振動：系統(tǒng)在持續(xù)的外界激勵作用下產(chǎn)生的振動。按響應(yīng)情況分類：大致可分為確定性振動和隨機振動。其中確定性振動又可分為：簡諧振動：振動的物理量為時間的正弦或余弦函數(shù)。周期振動：振動的物理量為時間的周期函數(shù)，可用諧波分析的方法歸結(jié)為一系列簡諧振動的疊加。顯然，簡諧振動也是周期振動。瞬態(tài)振動：振動的物理量為時間的非周期函數(shù)，在實際的振動中

6、通常只在一段時間內(nèi)存在。離散系統(tǒng)各元件的特征離散振動系統(tǒng)三個最基本的元件：慣性元件、彈性元件和阻尼元件。彈性元件：忽略其質(zhì)量和阻尼，在振動過程中儲存和釋放勢能。彈性力與其兩端的相對位移成比例，方向相反。Fs2=-k(x2-Xi)線性扭轉(zhuǎn)彈簧：Ts2-Kd)阻尼元件：在振動過程中消耗振動能量。在線性振動系統(tǒng)中，阻尼力的大小與阻尼元件兩端的相對速度成比例，方向相反，這種阻尼又稱為粘性阻尼。忽略粘性阻尼元件的質(zhì)量和彈性。Fd2二c(X2-Xi)慣性元件：完全剛性且無阻尼，在振動過程中儲存和釋放動能。集中質(zhì)量的慣性力與慣性坐標(biāo)系下的加速度(絕對加速度)成正比，方向相反Fm=-mx扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)：Tm若干

7、個元件串聯(lián)或并聯(lián)的情況，等效剛度、等效阻尼和等效質(zhì)量。簡諧振動及其表示方法簡諧振動周期運動滿足x(tT)=x(t)簡諧運動滿足：x(t)=Asin(wt+9)或x(t)=Bcosft-中)2二Q=Tf11f=-=T21.4.2兩種常用的簡諧振動表示方法.向量表示法.復(fù)數(shù)表示法疊加原理疊加原理：一個線性振動系統(tǒng)，激勵F1(t)、F2(t)、Fn(t),分別對應(yīng)于響應(yīng)x1(t)、x2(t)、xn(t),若激勵為F1(t尸C1F1(t)+C2F2(t)+.+CnFn(t),則有對應(yīng)的響應(yīng)x(t)=C1x1(t)+C2x2(t)+.+Cnxn(t)成立。振動的幅值度量.峰值X=|x(t)Lx,平均值x

8、="中fx(t)dtT；T03,均方值x2=加1fx2(t)dtT-T04.均方根值(rms)是x2的平方根。xrms=Vx2第二章單自由度系統(tǒng)基本內(nèi)容：無阻尼自由振動阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)的簡諧強迫振動簡諧強迫振動理論的應(yīng)用周期強迫振動非周期強迫振動§2.1引言單自由度系統(tǒng)：只有一個自由度的振動系統(tǒng)?？捎靡粋€常系數(shù)的二階線性常微分方程描述其振動規(guī)律。阻尼自由振動自由振動：系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后的一種振動形態(tài)。運動微分方程列由系統(tǒng)的運動微分方程步驟：.取一個坐標(biāo)系，原點為靜平衡時質(zhì)量所在位置。.設(shè)質(zhì)量沿坐標(biāo)正向有一移動，考察質(zhì)量的受力情況，畫由隔離體圖。.按牛頓

9、第二定律寫由運動微分方程。.確定系統(tǒng)初始的運動狀態(tài)。'mX+kx=0x(0)=X0,x(0)=X0或x2x=0n.x(0)=X0,x(0)=X0系統(tǒng)的固有頻：®n=Jk/m方程的通解為：x-AcosntAsinnt=Acos(nt-)A1=X0，&=x。/nA=x2(%/n)2=arctgx°'n單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動。周期：T二石二2二mnk頻率：fn=也=工區(qū)T2n2nm系統(tǒng)的動能、勢能：Etmx2,Ukx222d(EtU)=0即Et+U=E=常數(shù)無阻尼自由振動時，振動系統(tǒng)為一保守系統(tǒng)，總機械能在運動中保持不變定義動能系數(shù):Etma

10、xUmaxT'=1mA2=1mx22maxk/m=UmaJTmax對于單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動系統(tǒng)，有以下結(jié)論:.單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動。運動的中點為系統(tǒng)的靜平衡位置。.振動頻率只與系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量有關(guān)。.3、fn與Vk成正比而與。桁成反比。.振動得以維持的原因是系統(tǒng)有儲存動能的慣性元件和儲存勢能的彈性元件。振動時動能、勢能不斷相互轉(zhuǎn)換。上面的結(jié)論與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，但選擇合適的坐標(biāo)系有助于簡化問題的求解2.2.2求固有頻率的方法方法1:列由系統(tǒng)運動微分方程，求生系統(tǒng)的固有頻率，°n=Jk/m。需已知系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量。方法2:靜態(tài)位移法。根據(jù)虎克定律，彈簧質(zhì)量

11、系統(tǒng)靜止時在重力的作用下彈簧被壓縮，有：k=mg故：2=k/m=g/方法3:能量法。用能量法求固有頻率有兩種方法：一種方法是求生系統(tǒng)的動能和勢能，再根據(jù)d(Et+U)=0求生系統(tǒng)的運動微分方程，從而得到固有頻率。另一種方程是求生系統(tǒng)的最大勢能和動能系數(shù)1212T'=2mA=2mxmax,然后根據(jù)o：=k/m=Umax/T,求生固有頻率。2.2.3有效質(zhì)量離散系統(tǒng)模型約定，系統(tǒng)的質(zhì)量集中在慣性元件上，彈性元件無質(zhì)量。當(dāng)彈性元件的質(zhì)量占系統(tǒng)質(zhì)量的相當(dāng)部分時，略去它會使計算得到的固有頻率住偏高。可以采用能量等效的方法，加大慣性元件的數(shù)值，使慣性元件的動能等于系統(tǒng)的總動能，再把彈性元件的質(zhì)量略

12、去。對于質(zhì)量均布彈簧，在考慮彈簧質(zhì)量的條件下，系統(tǒng)的固有頻率:nmm'/3系統(tǒng)在動能意義下的質(zhì)量為系統(tǒng)的等效質(zhì)量。它并不一定等于系統(tǒng)慣性元件的質(zhì)量加上其他元件的質(zhì)量。等效剛度的定義同理。§2.3阻尼自由振動阻尼：度量系統(tǒng)自身消耗振動能量的能力的物理量。最常用的阻尼是氣體和液體的粘性阻尼粘性阻尼力的大小與相對速度成正比，方向與速度方向相反。阻尼自由振動系統(tǒng)運動微分方程為：mxcxkx=0x(0)=x。，x(0)=X。定義系統(tǒng)的臨界阻尼：Ce=2mk=2mn定義,為系統(tǒng)的阻尼比(相對阻尼系數(shù))：一C_C£2mn2、mkc0利用,，可把阻尼自由振動系統(tǒng)運動微分方程為變換為

13、：x2nx2x=0根據(jù)'的大小，可得到三種不同形式的解：'>1：強阻尼(過阻尼)。系統(tǒng)運動微分方程的通解為:x=e-nt(Ae2-1ntA2e-nt)入,2=1(%-"2n%)2,-2-1n強阻尼情況下系統(tǒng)的運動不是振動。，=1：臨界阻尼。系統(tǒng)運動微分方程的通解為：x=Ae-ntAte7A=X0,A2=X0+缶nX0臨界阻尼情況下系統(tǒng)的運動也不是振動。1:弱阻尼。系統(tǒng)運動微分方程的通解為：x=e"nt(c1cosdtc2sindt);Xe-ntcos(dt-)C1=X0,c2=(X0nX0)/d定義阻尼固有頻率：/d=h，2Mn只有當(dāng)弱阻尼時，系統(tǒng)的運

14、動才是振動(衰減振動)。隨著時間增長，即t趨于無窮時，振動逐漸衰減為零，系統(tǒng)趨于靜止。由于有衰減項e-3，振動既不是簡諧振動，也不是周期振動。在阻尼自由振動時，振動的振幅隨時間增長按指數(shù)規(guī)律衰減。阻尼對自由振動的頻率，周期都有影響，d=1-'2nT2二T2由于存在阻尼，振動頻率降低，振動周期增大。阻尼對阻尼自由振動的振幅影響很大。由于阻尼的存在，可有效地抑制振幅。Xi2二定義對數(shù)/減率：6=m=X2i1-2有，二,.,.(2二)2、2可以測生系統(tǒng)阻尼自由振動時的響應(yīng)，求生對數(shù)衰減率，進(jìn)而得到系統(tǒng)的阻尼比。§2.4單自由度系統(tǒng)的簡諧強迫振動簡諧強迫振動：激勵是時間簡諧函數(shù)。系統(tǒng)

15、在簡諧激勵下的響應(yīng)單自由度簡諧強迫振動系統(tǒng)運動微分方程：mxcxkx=f(t)簡諧激勵：f(t)"F0cost=kAcost定義A為：A=F0/k簡諧強迫振動系統(tǒng)運動微分方程：x2nx：x=；Acost單自由度簡諧強迫振動系統(tǒng)運動微分方程是二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程。它的解由兩部分組成：通解+特解一部分是方程X+2*nX+8；x=0對應(yīng)的齊次方程的通解，由于系統(tǒng)存在阻尼，這部分解只在振動開始后的一段時間內(nèi)有意義，超過這段時間后，由于阻尼的影響，最終被衰減到零（瞬態(tài)響應(yīng)）。另一部分是*'+2；63+82*=878*八的一個特解，它表示系統(tǒng)在簡諧激勵下的強迫振動，為穩(wěn)態(tài)解，其

16、響應(yīng)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。特解可表示為:x=Xcos(t-)2)2XA.1-(/n)22(2/2/二二arctg1-(/n)2穩(wěn)態(tài)解（特解）為A-,2/Acost-arctgx(t)=：1-(/n)22(2/n)21-(/'單自由度系統(tǒng)受簡諧激勵的微分方程的解為：x=X1Xcos（t-）從穩(wěn)態(tài)解（特解）可以得由：激勵幅值的大小只影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值，二者之間成正比，并不影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相角。而激勵頻率既影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值，也影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相2.4.2復(fù)頻率響應(yīng)幅頻特性與相頻特性1定義復(fù)頻率響應(yīng)H(s)：H(o)_(w/wn)2+i2：(w/wn)H(3)的模為系統(tǒng)的放大因子H()1/1-(/n)2

17、2(2/n)2XA1-(/n)22(2/n)2=AH)或HR)=X/Aeg)為復(fù)頻率響應(yīng)H(Q的幅角：()=2/narctg丁世1-(/n)系統(tǒng)在簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(穩(wěn)態(tài)解)可表示為：x=Rez=ReAH()ei('一)=AH()cos(t-)引入復(fù)頻率響應(yīng)的意義：復(fù)頻率響應(yīng)H(。)可以用來描述激勵頻率對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。它的模|H儂)|體現(xiàn)了激勵頻率對響應(yīng)幅值的影響，它的幅角9儂)體現(xiàn)了激勵頻率對響應(yīng)相位的影響，靜位移A體現(xiàn)了激勵幅值對響應(yīng)幅值的影響。系統(tǒng)的復(fù)頻率響應(yīng)只取決于兩個參數(shù)：激勵頻率和系統(tǒng)固有頻率的比值(頻率比)60和系統(tǒng)的阻尼比,即H()二H(/>,)幅頻特性圖

18、和相頻特性圖：橫坐標(biāo)一頻率比®/n,系統(tǒng)的阻尼比,為參數(shù)，縱坐標(biāo)-放大因子H3)或相角華o圖幅頻特性圖和相頻特性圖從幅頻特性圖和相頻特性圖可以看由:當(dāng)/行時('>0,707),放大因子沒有峰值。這時在整個頻率范圍內(nèi)，|H3)WI。通常把，<1/72稱為小阻尼情況。只有在小阻尼情況下，放大因子|H3)才在6>0時有峰值，而且峰值H(o)ma01。關(guān)注仍=0、9、6n這三個特殊點，|H和中()分別為II1H(0)|=1,|H(s)|=0,|Hn)lN(0)=0,(二)=二，(n)=二/2根據(jù)頻率比0/0n的大小，可以把系統(tǒng)響應(yīng)分成三個不同的范圍，由向量圖可清楚看

19、由這三個范圍的特點。當(dāng)缶/%<<1時：激勵主要是與彈性力平衡。因為激勵的頻率很低，系統(tǒng)的速度、加速度都很小，相應(yīng)地阻尼力、慣性力也很小，響應(yīng)的振幅接近于靜位移。當(dāng)仍/%>>1：激勵主要是與慣性力平衡。因為激勵頻率很高，使激勵力方向變化過快，系統(tǒng)由于慣性來不及跟隨。當(dāng)6%即共振時：響應(yīng)的振幅比靜位移大，激勵力與阻尼力平衡，彈性力與慣性力平衡。稱6/n=1附近為系統(tǒng)的共振區(qū)。峰值點并不在頻率比"n=l的位置，而在O0=Jl-21處,即激勵頻率小于固有頻率的地方。2.4.3能量關(guān)系與等效阻尼.能量關(guān)系對于無阻尼系統(tǒng)，由于無阻尼，振動時無能量消耗。當(dāng)激勵頻率通。儲時，

20、無能量輸入，外力對系統(tǒng)不做功。當(dāng)與=切時，外力對系統(tǒng)做功，使系統(tǒng)能量越來越大，以致振動的振幅越來越大。無阻尼系統(tǒng)受簡諧激勵時，如果激勵頻率等于系統(tǒng)固有頻率，由于系統(tǒng)無阻尼，因此外力對系統(tǒng)做的功全部轉(zhuǎn)成系統(tǒng)的機械能即振動的能量。外力持續(xù)給系統(tǒng)輸入能量，使系統(tǒng)的振動能量直線上升，振幅逐漸增大。由此可知，即使是無阻尼系統(tǒng)共振時，也需要一定的時間來積累振動能量。在實際中有些機械結(jié)構(gòu)在起動或停機時無法避免通過共振區(qū)，為避免在共振區(qū)給結(jié)構(gòu)造成損壞，可以采用迅速通過共振區(qū)的辦法來解決。.等效阻尼假定系統(tǒng)做簡諧振動，令原系統(tǒng)耗散的能量與粘性阻尼耗散的能量相同，從而求生等效阻尼系數(shù)。簡諧強迫振動理論的應(yīng)用旋轉(zhuǎn)失

21、衡引起的強迫振動一v尸/A27r圖失衡激勵下的幅頻特性圖、相頻特性圖特點：當(dāng)6/3T0,即轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)低于系統(tǒng)的固有頻率時,M，XT0,也就是說失衡激勵引起的振動很小。me當(dāng)0/0一,即轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的固有頻率時,M，XT1,即響應(yīng)的振幅XT當(dāng)，為一個確定的值。meM®/"nTl,即轉(zhuǎn)速接近但略高于系統(tǒng)的固有頻率時,響應(yīng)的振幅最大（共振）支承運動引起的強迫振動特點：當(dāng)缶/%=拒時，無論阻尼比,為何值，響應(yīng)幅值總是與激勵幅值相等，即X/A=lo當(dāng)6/3MJ2時，阻尼抑制了響應(yīng)的幅值，阻尼比;越大，響應(yīng)的幅值越小。但無論阻尼為何值，響應(yīng)的幅值總大于支承運動的幅值，即X>A。當(dāng)缶

22、/3>四時，響應(yīng)的幅值總小于支承運動的幅值，即XA但:越大，響應(yīng)的幅值反而增大。隔振原理振動隔離指將機器或結(jié)構(gòu)與周圍環(huán)境用減振裝置隔離，它是消除振動危害的重要手段。積極隔振：自身是振源，為減少其對周圍環(huán)境的影響，將其與支承它的基礎(chǔ)隔離開。消極隔振：對允許振動很小的精密儀器和設(shè)備，為減少周圍環(huán)境振動對其影響，需要把它與支承它的基礎(chǔ)隔離。兩種隔振的原理相似，基本作法都是把需要隔離的機器設(shè)備安裝在合適的具有彈性和阻尼的減振裝置或隔振裝置上，使大部分振動被減振裝置或隔振裝置吸收，以阻斷振動的傳遞。隔振與頻率比和阻尼比的關(guān)系圖（振源作簡諧振動時）隔振要求：無論阻尼大小，僅當(dāng)頻率比。/3>后才

23、有隔振效果。即在隔振設(shè)計中，系統(tǒng)的固有頻率要小于振源振動頻率。隨8/Sn增大,隔振效果提高，在實際應(yīng)用中取切/環(huán)=2.55已足在8/%>J2時，阻尼增大使隔振系數(shù)增大，降低了隔振效果。但阻尼比不是越小越好，實際問題中激勵頻率是由零逐步增加到某一定值，此過程中不可避免要與系統(tǒng)的固有頻率重合，產(chǎn)生共振。阻尼過小將使系統(tǒng)過共振時振幅過大，造成破壞，因而要兼顧。一般希望有點阻尼以限制過共振時的振幅，但又不要太大以免降低隔振效果。常用的隔振材料阻尼并不大，因此在切/環(huán)>2.5以后計算隔振系數(shù)時可不考慮阻尼的影響。慣性式測振儀原理圖慣性式測振儀系統(tǒng)的幅頻特性圖、相頻特性圖當(dāng)6/%<<

24、;1,即激勵頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時raz，2H（«）|電1,Z定ARn）測振儀殼體（被測結(jié)構(gòu)）的加速度幅值：|y'=A02,即Z與測振儀殼體的加速度幅值成比例（加速度計）。加速度計是高固有頻率儀器。當(dāng)。/跖1,即激勵頻率很高時，Z=AR/Qn）H儂）定A即激勵頻率很高時，測振儀的質(zhì)量塊在慣性空間中幾乎保持不動，與結(jié)構(gòu)相接的儀器殼體相對質(zhì)量塊運動。儀器的相對振幅Z與激勵幅值A(chǔ)相等，此時儀器用于測量振動位移（位移計）。位移計是低固有頻率儀器。轉(zhuǎn)軸的橫向振動特點：如果轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速。遠(yuǎn)小于6n時，圓盤的撓度e很小。當(dāng)切=3即共振時，圓盤的撓度為如，如果阻尼很小，圓盤的撓度將很大。當(dāng)8

25、28n時，圓盤的撓度約等于e。周期強迫振動周期強迫振動的求解方法：如果周期激勵中的更一諧波的幅值比其他諧波的幅值大的多，可視為簡諧激勵。反之，則應(yīng)按周期激勵求解。求解周期激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)問題需要將激勵展為傅里葉級數(shù)，然后分別求生各個諧波所引起響應(yīng)，再利用疊加原理得到系統(tǒng)的響應(yīng)。在周期激勵時，只要系統(tǒng)固有頻率與激勵中莫一諧波頻率接近就會發(fā)生共振。非周期強迫振動采用卷積積分處理：在系統(tǒng)受任意持續(xù)的激勵時，按照高等數(shù)學(xué)中積分時對被積函數(shù)的處理，可把激勵看為一系列脈沖力的疊加。傅里葉變換方法傅里葉變換：在頻率域內(nèi)分析激勵頻譜，響應(yīng)頻譜以及系統(tǒng)特性的頻域描述之間的關(guān)系。拉普拉斯變換方法第三章二自由度系統(tǒng)

26、引言多自由度系統(tǒng)：指需要用兩個或兩個以上的獨立坐標(biāo)才能描述其運動的振動系統(tǒng)。運動微分方程MxCxKx=F(t)求系統(tǒng)的運動微分方程的一種比較簡單的方法:先求生系統(tǒng)的動能、勢能和能量耗散函數(shù)，然后利用:m3kJ：Xi；Xj；Xi;Xj4求生系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻.XpiXj尼矩陣和剛度矩陣，最終求出系統(tǒng)的運動微分方程。不同坐標(biāo)系下的運動微分方程系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣（包括阻尼矩陣）的具體形式與所選取的描述系統(tǒng)振動的廣義坐標(biāo)有關(guān)，合適的廣義坐標(biāo)能夠解除方程的耦合。由于不同廣義坐標(biāo)之間存在著線性變換關(guān)系，所以，方程解耦的問題就歸結(jié)為尋找一個合適的線性變換矩陣u,使變換后系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩

27、陣成為對角矩陣。無阻尼自由振動1、基本概念固有頻率固有振型（振型）振型圖：用圖形直觀顯示固有振動時各個坐標(biāo)之間的相互位置關(guān)系(橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)各點的靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示各點的振幅比)2、二自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率、振型和自由振動響應(yīng)的求解方法(1)利用特殊初始條件(對稱或反對稱條件)(2)任意的二自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率、振型和自由振動響應(yīng)的求解方法步驟：求系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；列由系統(tǒng)的特征方程或頻率方程A(®2)=|Ki2M|=，j-切加卜0求生2個固有頻率；將2個固有頻率依次代入(K-«2M)u=0求生各自對應(yīng)的振型；求系統(tǒng)的響應(yīng)。第四章多自由度系統(tǒng)多自由度振

28、動系統(tǒng)：指需要用兩個或兩個以上的獨立坐標(biāo)才能描述其運動的振動系統(tǒng)。描述其振動的運動微分方程為常微分方程組。本章主要內(nèi)容：多自由度系統(tǒng)振動的基本理論；多自由度系統(tǒng)的固有頻率和振型；多自由度系統(tǒng)動力響應(yīng)分析-振型迭加方法；多自由度系統(tǒng)動力響應(yīng)分析-變換法(傅里葉變換和拉普拉斯變換)運動微分方程n個自由度的振動系統(tǒng)的運動微分方程可以寫為M偽C»K處=fx(0)=«,x(0剛度矩陣K各元素kjj的意義(定義法求剛度矩陣)：如果系統(tǒng)的第j個自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個單位位移，其余各個自由度的位移保持為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)需要在各個自由度施加外力，其中在第i個自由度上施加的外力就

29、是kijO系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣定義類似。能量法求解系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣xixj：2EtXjxmjickijcjikji質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均為對稱矩陣。MxCxKx=f方程Ix(0)=%,x(0)=Xo的求解方法:尋找一個新的描述系統(tǒng)運動的廣義坐標(biāo)系，在這個新的坐標(biāo)系下，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為對角矩陣。固有頻率與振型在無阻尼自由振動時，系統(tǒng)的運動微分方程為:MxKx=0求固有頻率：由頻率方程Kj一2口=0求得n個固有頻率以2,缶2,'1n。將固有頻率%2依次代入方程(-02M+K)u=0可以求生與缶2相對應(yīng)的非零的振型ur。由于(K-«

30、r2M)Ur=0只給由了振型的方向，而振型的大小需要人為指定(振型的正規(guī)化)。振型的正規(guī)化：指定振型的大小。常用的兩種振型正規(guī)化方案：(1)令5滿足UrTMUr=1此時有：UrTKU1=：UrTMUr=2(2)令5的某一分量為1。比如在振動模態(tài)實驗中常常取UJ的分量中絕對值最大的分量為1,這樣便于對振型和實際結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。再令urTMur二Mr此時有：Kr=UrTKUr=2UMUr=；M,振型的一個重要性質(zhì)：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交（振型的正交性）。即：如果當(dāng)r，s時，6"明，則必然有UTMU:0UsTKU0振型正交性的物理意義：系統(tǒng)的動能和勢能均

31、分別為各階動能和勢能之和；各個振型之間的動能、勢能不交換，各振型在振動時相互獨立、互不影響。振型的正交性和正規(guī)化可用統(tǒng)一的公式表達(dá)（振型的正規(guī)正交化條件）rs如果取振型正規(guī)化為UrTMU:=1,則振型的正規(guī)正交化條件可以寫為UsTMUj二飛UsTKUj=2'仔§二如果取振型正規(guī)化為UrTMUr=Mr,則振型的正規(guī)正交化條件可以寫為UsTMU=M二UsTKu=K2M“0n振型矩陣u:列向量為相應(yīng)的振型，即u=u1,u2,Un由全體振型構(gòu)成的向量組線性無關(guān)。振型矩陣U就是線性變換的矩陣。在振型坐標(biāo)下n自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的運動微分方程：x=uyMuyKuy=0y(0)二Miu

32、TMx(0)y(0)=MruTMx(0)MJ=uTMuKi=uTKu如果振型取uJTMuJ=1、urTKur=®2正規(guī)化：yr2y=0-T-y(0)=uMx(0)y(0)=uTMx(0)如果振型取urTMu=Mr、Kr=u,TKur2Mr正規(guī)化：MyKy=0y(0)=M>uTMx(0)<y(0)=M>uTMx(0)動力響應(yīng)分析動力響應(yīng)分析：系統(tǒng)在外部激勵作用下的響應(yīng)分析。常用的動力響應(yīng)分析方法：振型疊加法(本書討論的內(nèi)容)和逐步積分法，后者是數(shù)值積分方法。這兩種方法的特點是適于已知系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和激勵，求系統(tǒng)響應(yīng)的情況，且便于用計算機編程求解。振型疊加法步驟：MxCxKx=f振型疊加方法求解式Ix(0)=Xo,x(0)=Xj的步驟如下