九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽第06講二次函數(shù)

1、第六講 二次函數(shù)二次函數(shù)是一類十分重要的最基本的初等函數(shù)，也是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著承上啟下的作用，它及一元二次方程、一元二次不等式知識(shí)的綜合運(yùn)用，是初中代數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一另外，二次函數(shù)在工程技術(shù)、商業(yè)、金融以及日常生活中都有著廣泛的應(yīng)用通過對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，使我們能進(jìn)一步理解函數(shù)思想和函數(shù)方法，提高分析問題、解決問題的能力正確掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是學(xué)好二次函數(shù)的關(guān)鍵1二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)例1 (1)設(shè)拋物線y=2x2，把它向右平移p個(gè)單位，或向下移q個(gè)單位，都能使得拋物線及直線y=x-4恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求p，q的值(2)把拋物線y=2x2向左平移p個(gè)單位，向上平移q

2、個(gè)單位，則得到的拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1，3)及(4，9)，求p，q的值(3)把拋物線y=ax2bxc向左平移三個(gè)單位，向下平移兩個(gè)單位析式 解 (1)拋物線y=2x2向右平移p個(gè)單位后，得到的拋物線為y=2(x-p)2于是方程2(x-p)2=x-4有兩個(gè)相同的根，即方程2x2-(4p+1)x+2p24=0的判別式=(4p+1)2-4·2·(2p24)=0，拋物線y=2x2向下平移q個(gè)單位，得到拋物線y=2x2-q于是方程2x2-q=x-4有兩個(gè)相同的根，即=1-4·2(4-q)=0，(2)把y=2x2向左平移p個(gè)單位，向上平移q個(gè)單位，得到的拋物線為y=2(x+p)2q

3、于是，由題設(shè)得解得p=-2，q=1，即拋物線向右平移了兩個(gè)單位，向上平移了一個(gè)單位解得h=3，k=2原二次函數(shù)為說明 將拋物線y=ax2bxc向右平移p個(gè)單位，得到的拋物線是y=a(x-p)2b(x-p)c；向左平移p個(gè)單位，得到的拋物線是y=a(xp)2b(xp)c；向上平移q個(gè)單位，得到y(tǒng)=ax2bxcq；向下平移q個(gè)單位，得到y(tǒng)=ax2bxc-q例2 已知拋物線y=ax2bxc的一段圖像如圖37所示(1)確定a，b，c的符號(hào)；(2)求abc的取值范圍解 (1)由于拋物線開口向上，所以a0又拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，-1)，合a0便知b0所以a0，b0，c0(2)記f(x)=ax2bxc由圖像及(

4、1)知所以a+bc=a(a-1)-1=2(a-1)，-2abc0例3 已知拋物線y=ax2-(ac)x+c(其中ac)不經(jīng)過第二象限(1)判斷這條拋物線的頂點(diǎn)A(x0，y0)所在的象限，并說明理由；(2)若經(jīng)過這條拋物線頂點(diǎn)A(x0，y0)的直線y=-x+k及拋物線的另一解 (1)因?yàn)槿鬭0，則拋物線開口向上，于是拋物線一定經(jīng)過第二象限，所以當(dāng)拋物線y=ax2-(ac)x+c的圖像不經(jīng)過第二象限時(shí)，必有a0又當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即拋物線及y軸的交點(diǎn)為(0，c)因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過第二象限，所以c0于是所以頂點(diǎn)A(x0，y0)在第一象限B在直線y=-x+k上，所以0=-1+k，所以k=1又由于直線y

5、=-x+1經(jīng)過 -2x2+2x2求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)y=ax2bxc(a0)的解析式，需要三個(gè)獨(dú)立的條件確定三個(gè)系數(shù)a，b，c一般地有如下幾種情況：(1)已知拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，此時(shí)可把三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解方程組可得系數(shù)a，b，c或者已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，這時(shí)把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得兩個(gè)方程，再利用其他條件可確定a，b，c或者已知拋物線經(jīng)過某一點(diǎn)，這時(shí)把這點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合其他條件確定a，b，c(2)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)，這時(shí)拋物線可設(shè)為ya(x-h)2k，再結(jié)合其他條件求出a(3)已知拋物線及x軸相交于兩點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)，

6、此時(shí)的拋物線可設(shè)為y=a(x-x1)(x-x2)，再結(jié)合其他條件求出a例4 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2bxc滿足條件：f(0)=2，f(1)=-1，解 由f(0)=2，f(1)1，得即c=2，b=-(a3)因此所求的二次函數(shù)是yax2-(a3)x2由于二次函數(shù)的圖像在x軸上所截得的線段長(zhǎng)，就是方程ax2-(a3)x2=0兩根差的絕對(duì)值，而這二次方程的兩根為于是因此所求的二次函數(shù)表達(dá)式為例5 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2bx+c，當(dāng)x=3時(shí)取得最大值10，并且它的圖像在x軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求a，b，c的值分析 當(dāng)x=3時(shí)，取得最大值10的二次函數(shù)可寫成f(x)a(x-3)210，且a0解 因?yàn)?/p>

7、拋物線的對(duì)稱軸是x=3，又因?yàn)閳D像在x軸上截得的線段長(zhǎng)是4，所以由對(duì)稱性，圖像及x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是1，5因此，二次函數(shù)又可寫成f(x)=a(x-1)(x-5)的形式，從而a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)，所以例6 如圖38，已知二次函數(shù)y=ax2bxc(a0，b0)的圖像及x軸、y軸都只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別為點(diǎn)A，B，且AB=2，b2ac=0(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若一次函數(shù)y=xk的圖像過點(diǎn)A，并和二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)C，求ABC的面積解 (1)因二次函數(shù)的圖像及x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，故b2-4ac0，而b+2ac=0，所以b22b=0，b=-2(因?yàn)閎0)點(diǎn)B的坐

8、標(biāo)為(0，c)，AB=2，由勾股定理得所以 1a2c2=4a2因?yàn)閍c=1，所以4a2=2，練習(xí)六1填空：(1)將拋物線y=2(x-1)2+2向右平移一個(gè)單位，再向上平移三個(gè)單位，得到的圖像的解析式為_(2)已知y=x2pxq的圖像及x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)(-1，0)，則(p，q)=_(3)已知二次函數(shù)y=a(x-h)2k的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，最小值為-8，且形(4)二次函數(shù)y=ax2bxc的圖像過點(diǎn)A(-1，0)，B(-3，2)，且它及x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為4，則它的解析式為_(5)已知二次函數(shù)y=x2-4xm8的圖像及一次函數(shù)y=kx+1的圖像相交于點(diǎn)(3，4)，則m=_，k=_(6)關(guān)于自變量x的二次函數(shù)y=-x2(2m2)x-(m2+4m-3)中，m是不小于零的整數(shù)，它的圖像及x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為_2設(shè)拋物線y=x22axb及x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)(1)把它沿y軸平移，使所得到的拋物線在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度是原來的2倍，求所得到的拋物線；(2)通過(1)中所得曲線及x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，及原來的拋物線的頂點(diǎn)，作一條新的拋物線，求它的解析式3已知拋物線y=ax2bxc及x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C(2)若ABC是等腰直角三角形，求b2-4ac的值；(3)若b2-4ac=12，試判斷ABC的形狀4有兩個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)C1：